常微分方程期末复习提要(1)
大一常微分方程一知识点总结
大一常微分方程一知识点总结1.常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个未知函数的导数或高阶导数与该函数本身之间的关系的方程。
2.函数的导数和微分的概念导数描述了函数在其中一点上的变化率，基本导数法则包括常数规则、幂规则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数等；微分描述了函数在其中一点上的变化量。
3.一阶常微分方程一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一的微分方程。
常见的一阶微分方程形式包括可分离变量的方程、线性方程、齐次方程、恰当方程和一阶常系数线性齐次方程等。
4.可分离变量的方程可分离变量的方程是指方程中变量可分离为两个集合的乘积形式。
通过将变量分离，再进行积分求解得到方程的解。
5.线性方程线性方程是指方程中的未知函数和其导数只出现线性的形式。
线性方程的解可以通过积分因子法或变量代换法来求解。
6.齐次方程齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的次数相同的方程。
齐次方程可以通过变量代换法将其转化为可分离变量的方程来求解。
7.恰当方程恰当方程是指方程的左右两边可以写成一些函数的全微分形式。
通过判断方程是否恰当，并找到方程的积分因子，可以求解恰当方程。
8.一阶常系数线性齐次方程一阶常系数线性齐次方程是指方程中未知函数和其导数出现在同一个项中，并且未知函数和其导数的系数是常数的方程。
一阶常系数线性齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
9.二阶常微分方程二阶常微分方程是指导数的最高阶数为二的微分方程。
常见的二阶微分方程形式包括线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和欧拉方程等。
10.线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的齐次方程。
线性常系数齐次方程的解可以通过特征方程和指数函数来求解。
11.线性常系数非齐次方程线性常系数非齐次方程是指方程中未知函数及其导数的系数是常数的非齐次方程。
通过求解对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，可以得到线性常系数非齐次方程的通解。
常微分方程复习资料
（16）
2
（18）
1 a2 x2
dx arc sin
x C a
（19） （20）
1 a x
2 2
dx ln( x a 2 x 2 ) C
dx x a
2 2
ln | x x 2 a 2ln | cos x | C （22） cot xdx ln | sin x | C （23） sec xdx ln | sec x tan x | C （24） csc xdx ln | csc x cot x | C 注：1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把 x 换成 u 仍成立， u 是以 x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式：
f ( y, y)型, 例如：yy ( y) 2 0
dp dp , 代入原方程得yp p2 0 dy dy dp dy 当y 0, p 0时，约去p并分离变量得 p y dy p C1 y C1 y dx y C2 eC1x 令y p，则y p
常微分方程复习资料
一.基本概念： 含有一元未知函数一 y(x)（即待求函数）的导数或微分 的方程，称为常微分方程。 显然一个微分方程若有解，则必有无穷多解； 若 n 阶微分方程的解仲含有 n 个独立的附加条件（称为 定解条件）定出了所有任意常数的解称为特解； 微分方程连同定解条件一起，合称为一个定解问题； 当定解条件是初始条件（给出 y, y, y,, y ( n1) 在同一点 x0 处 的值）时，称为初值问题。 二.一阶微分方程 y ( x, y) 的解法
积分类型 1. f (ax b)dx 1 f (ax b)d (ax b) (a 0) a 1 2. f ( x ) x 1 dx f ( x )d ( x ) ( 0)
常微分方程内容提要
第一章 绪 论1. 常微分方程和偏微分方程在微分方程中，只含有一个自变量的方程称为常微分方程，有两个或两个以上自变量的方程称为偏微分方程。
2. 一阶与高阶微分方程在一个微分方程中，所出现的未知函数导数的最高阶数n 称为该方程的阶，当1=n 时，称为一阶微分方程；当1>n 时，称为高阶微分方程。
一阶常微分方程的一般显式形式为：),(y x f y ='。
一阶常微分方程的一般隐式形式为：0),,(='y y x F 。
n 阶显方程的一般形式为：),,,,()1()(-'=n n y y y x f y 。
n 阶隐方程的一般形式为：0),,,,()(='n y y y x F 。
其中F 及f 分别是它所依赖的变元的已知函数。
3. 线性和非线性微分方程如果微分方程 0),,,,()(='n y y y x F 的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则它称为线性微分方程，否则，为非线性微分方程。
n 阶线性微分方程的一般形式为：)()()()()1(1)(0x g y x a y x a y x a n n n =+++-其中0)(0≠x a ，)(),(,),(),(10x g x a x a x a n 均为x 的已知函数。
特别地，一阶线性微分方程的一般形式为：()()()a x y b x y g x '+=，其中()0a x ≠，(),(),()a x b x g x 均为x 的已知函数。
4. 方程的解对于微分方程0),,,,()(='n yy y x F ，若将函数)(x y ϕ=代入方程后使其有意义且两端相等，即0))(,),(),(,()(≡'x φx φx φx F n ，则称函数)(x y ϕ=为该方程的一个显式解。
若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。
方程显式解和隐式解统称为微分方程的解。
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试一、填空题（每空2 分，共16分）。
1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是8．方程440y y y '''++=的基本解组是二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x+=的积分因子是（ ）． （A ）⎰=x x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分方程期末复习提纲
y ce p(x)dx, c为任意常数
20 常数变易法求解
dy P(x) y Q(x) dx
(1)
(将常数c变为x的待定函数 c(x), 使它为(1)的解)
令y c(x)e p(x)dx为(1)的解,则
dy dc(x) e p(x)dx c(x) p(x)e p(x)dx dx dx
代入(1)得
X x Y y ,
则方程化为
dY a1 X b1Y dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
0 ,
0
得解 yx
,
20
作变换YX
x y
,
方程化为
dY dX
a1 X a2 X
b1Y b2Y
第一章：绪论
一、常微分方程与偏微分方程
定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关 系式称为微分方程.
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程.
如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称 为偏微分方程.
二、微分方程的阶
定义2 ：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的 阶数称为微分方程的阶数.
方程两边同乘以 1 , 得
( y)
1 dy f (x)dx 0,
( y)
1
( f (x)) 0 ( y)
y
x
是恰当方程.
对一阶线性方程:
dy (P(x) y Q(x))dx 0, 不是恰当方程.
方程两边同乘以e P(x)dx , 得
e
P(
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
常微分方程期末复习
1.求下列方程的通解。
1sin 4-=-x e dxdyy . 解：方程可化为1sin 4-+-=x e dxde y y令ye z =，得x z dxdzsin 4+-= 由一阶线性方程的求解公式，得[]xx x dx dx ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝xcex x -+-)cos (sin 22.求下列方程的通解。
1)(122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-dx dy y .解：设t p dxdysin ==，则有t y sec =， 从而c tgt t tdt c tdt tgt tx +=+=+⋅=⎰⎰2sec sec sin 1，故方程的解为221)(y c x =++， 另外1±=y 也是方程的解 .3.求方程2y x dxdy+=通过)0,0(的第三次近似解. 解：0)(0=x ϕ 20121)(x xdx x x==⎰ϕ5204220121)41()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕ dx x x x x dx x x x x x x⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=0710402523201400141)20121()(ϕ 8115216014400120121x x x x +++=4.求解下列常系数线性方程。
0=+'+''x x x解：对应的特征方程为：012=++λλ， .解得i i 23,23212211--=+-=λλ 所以方程的通解为：)23sin 23cos(2121t c t c ex t +=-5.求解下列常系数线性方程。
t e x x =-'''解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013=-λ，解得231,13,21i±-==λλ， 故齐线性方程的基本解组为：i e i ee t23sin ,23cos ,2121--，因为1=λ是特征根，所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，tt t t e Ate Ate Ae =-+3，所以31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x tt te i e c i 3123sin 23cos 213++-6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：5,1--=+--=y x dtdyy x dt dx 解： ⎩⎨⎧=--=+--050!y x y x 解得⎩⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3-经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X方程组化为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dtdy Y X dt dx因为,01111≠---又01)1(11112=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
临沂大学《常微分方程》期末考试复习题及参考答案
A、 阶 B、 解 C、 通解 D、 特解
正确答案： D
16、如果 f(x,y),f(x,y)/y 都在 xoy 平面上连续，那么方程 dy/dx= f(x,y)的任一解的存在区间 （2.0）
A、 必为(-∞,+∞) B、 必为(0,+∞) C、 必为(-∞, 0) D、 将因解而定
A、 y2-x=C B、 y-√x=C C、 y=x+C D、 y=-x+C
正确答案： BCD
三、 判断题 （共 10 题，20 分）
1、dy/dx=1+x+y2+xy2 是可分离变量的微分方程（2.0）
正确答案： 正确
2、方程 xydx + (2x2 + 3y2-20)dy = 0 的只与 y 有关的积分因子为 y（2.0）
正确答案： ABC
9、下列方程中，全微分方程为（2.0）
A、 (3x2 + 6xy2)dx+ (6x2y +4y2)dy=0 B、 edx+ (x·eY-2y)dy= 0 C、 y(x- -2y)dx-x2dy= 0 D、 (x2-y)dx-xdy= 0
正确答案： ABD
10、微分方程 2ydy-dx = 0 的通解不为（2.0）
6、微分方程 y" -2y + 2y= ex 的通解为 y=ex(c*cosx+c*sinx+1)（2.0）
正确答案： 正确
7、三阶常系数齐线性方程 y" -2y" +y= 0 的特征根是 1（2.0）
正确答案： 错误
8、微分方程 y -2y-3y = 0 的通解为 y=c*e-x+c*e3x（2.0）
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常微分方程期末复习提要中央电大 顾静相常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。
本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习．一、复习要求和重点第一章 初等积分法1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。
2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法．（1）显式变量可分离方程为：)()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分⎰⎰+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。
（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )()(d )()(2112求出通解。
3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为：)(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得xu u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-uu g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ϕ=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ϕ=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法．（1）一阶线性齐次微分方程为：0)(d d =+y x p xy 通解为：⎰=-x x p C y d )(e 。
（2）一阶线性非齐次微分方程为：)()(d d x f y x p xy =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：⎰⎰+⎰=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。
（3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p xy n，两端除以n y ，得 )()(d d 1x f y x p x y yn n =+--；令n y z -=1，代入后得到以z 为未知函数的线性方程)()(d d 11x f z x p xz n =+-，在求通解。
5．了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程解法及简单积分因子的求法．（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d ),(d ),(=+y y x N x y x M ；若二元函数),(y x U 满足：y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d +=，则上式的原函数为： ),(y x U .（2）如果存在连续可微函数0),(≠y x μ，使方程+x y x M y x d ),(),(μ0d ),(),(=y y x N y x μ成为全微分方程，则称),(y x μ积分因子.6．了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I 、II 的参数解法． 隐式方程0),,(='y y x F ，若能把y '解出，得一个或几个显式方程),,2,1(),(n i y x f y i =='如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到原方程的解。
如果不能解出y '时，则用“参数法”求解：类型Ⅰ )0),((,0),(='='y y F y x F若参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t x ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰C t t t y t x d )()()(ϕψϕ ； 或参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t y ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰)(d )()(t y C t t t x ϕψϕ 类型Ⅱ )),((),,(y y f x y x f y '='=若参数形式⎪⎩⎪⎨⎧=='=),(p x f y p y x x ，则参数形式解为：⎩⎨⎧==),(0),,(p x f y C p x G或参数形式⎪⎩⎪⎨⎧=='=),(p y f x p y y y ，则参数形式解为：⎩⎨⎧==Φ),(0),,(p y f x C p y7第一种可降阶的高阶方程 )1(.0),,,,()()1()(>=+k y y yx F n k k ；第二种可降阶的高阶方程 0),,,(='n y y y F ；假如方程0),,,,()(='n y y y x F 的左端恰为某一函数),,,,()1(-'Φn y y y x 对x 的导数，则称该方程为恰当导数方程.8本章重点：五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。
第二章 基本定理1．知道线素与线素场的概念，理解解的存在与唯一性定理的条件、结论，理解其证明方法．解的存在与唯一性定理的条件： 方程),(d d y x f xy =的右端函数),(y x f （1）在闭矩形域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-0000,:上连续； （2）在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一对点),(y x 和),(y x 有不等式： y y N y x f y x f -≤-),(),(结论： 初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(d d y x y y x f x y 在区间0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ。
其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==。
2．了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希兹条件，理解解的延3．了解奇解定义、包络线概念，掌握不存在奇解的判别法、包络线的C -判别式，掌（1）不存在奇解的判别方法：若方程在全平面上解唯一，则方程不存在奇解；若不满足解唯一的区域上没有方程的解，则方程无奇解．（2）求奇解的包络线求法．若L 是曲线族0),,(:)(=ΦC y x C 的包络线，则其满足C —判别式⎩⎨⎧=Φ'=Φ0),,(0),,(C y x C y x C ． 在非蜕化条件下，从C—判别式解出的曲线)(),(:C y C x ψϕ==Γ是曲线族的包络线．4．掌握利用解的存在与唯一性定理、解的延展定理证明有关方程解的某些性质的基本方法．本章重点：解的存在与唯一性定理，解的延展定理。
第三章 线性微分方程组1.了解一阶微分方程组的通解、通积分的概念，了解微分方程组的解的存在唯一性定理．微分方程组的解的存在与唯一性定理的条件： 方程组),(d d Y F Y x x=右边的函数F (x ,Y ) （1）在n +1维空间的区域 b x x R ≤-≤-00,|:|Y Y α 上连续； （2）在R 关于Y 满足李普希兹条件，即存在N >0,使对于R 上任意两点),(1Y x ，),(2Y x ，有2121),(),(Y Y Y Y Y Y -≤-N x x结论：存在00>h ,使初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(d d Y Y Y F Y x x x的解在00||h x x ≤-上存在且唯一，其中),(max ),,min(),(0Y F x M Mb a h R Y x ∈==. 2．了解一阶线性微分方程组的有关概念，了解一阶线性微分方程组的解的存在唯一性定理．3.了解一阶线性齐次方程组的解的性质，了解基本解组、标准基本解组的概念，理解一阶线性齐次微分方程组的解的结构、通解基本定理，掌握刘维尔公式（1）齐次方程组的解的性质：线性齐次方程组的任何有限个解的线性组合仍为其解.（2）n 个n 维向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 相关性的判别方法：如果向量组在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒等于零.如果向量组的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点x 0处不等于零，即0)(0≠x W , 则向量组在I 上线性无关.齐次方程组的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.（3）如果)(,),(),(21x x x n Y Y Y 是齐次方程组的基本解组，则其线性组合)()()()(2211x C x C x C x n n Y Y Y Y +++=是齐次方程组的通解,其中n C C C ,,,21 为n 个任意常数.线性齐次方程组的线性无关解的个数不能多于n 个.（4）如果)(,),(),(21x x x n Y Y Y 是齐次方程组的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组的系数有如下关系式⎰=+++xx nn t t a t a t a x W x W 02211d )]()()([0e )()(这个关系式称为刘维尔(Liouville )公式.4．理解一阶线性非齐次微分方程组通解结构，掌握拉格朗日常数变易法．（1）如果)(~x Y 是线性非齐次方程组)()(d d x x xF Y A Y +=的解，而)(0x Y 是其对应齐次方程组Y A Y )(d d x x =的解，则)(~)(0x x Y Y +是非齐次方程组的解. （2）线性非齐次方程组的任意两个解之差是其对应齐次方程组的解.（3）线性非齐次方程组的通解等于其对应的齐次方程组的通解与它的一个特解之和.即若)(~x Y 是非齐次方程组的一个特解，),(,),(),(21x x x n Y Y Y 是对应齐次方程组的一个基本解组，则通解为 )(~)()()()(2211x x C x C x C x n n Y Y Y Y Y ++++=这里n C C C ,,,21 是任意常数.5．了解常系数线性微分方程组的特征方程式、特征根、特征向量的概念，了解常系数线性微分方程组基本解组的概念，掌握求基本解组的方法，熟练掌握常系数线性微分方程组的待定指数函数解法（单特征根情形）． 如果常系数线性微分方程组AY Y =xd d 的系数阵A 的n 个特征根n λλλ,,,21 彼此互异，且),(,),(,21x x n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则 n x n x x n x x x T T T λλλe )(,,e )(,e )(221121===Y Y Y是方程组的一个基本解组.本章重点：线性微分方程组解的结构，常系数线性微分方程组的解法。