常微分方程期末考试题大全东北师大

合集下载

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16)班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。

常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。

证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。

应用洛比达法则得。

证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。

由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。

分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。

任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。

这就证明了方程组最多有个线性无关的解。

证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。

证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。

用常数变易法，求原方程的特解。

设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。

证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。

，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。

，，是方程组（1）的线性无关的解组。

证先证明，，.。

.，都是方程组（1）的解。

由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。

由易得。

(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。

再证明向量组，，.。

，线性无关。

因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。

给，两边关于求阶导数，则必有。

同理，可得,。

故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。

常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

常微分方程考试题(东北师大)

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ= ７、零稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyyy y ee yμ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=02()cos 2f t t=-2iλ=不是特征根，原方程有特解cos 2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in tii t e A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx⎛⎫+⎪⎝⎭=令dypdx=则有3284p yxyp+=（*）（*）两边对y求导：32232 2(4)(8)4dpy p y p y p y pdy-+-=即32(4)(2)0dpp y y pdy--=由20dpy pdy-=得12p cy=即2()pyc=将y代入（*）2224c pxc=+即方程的含参数形式的通解为：22224()c pxcpyc⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p为参数又由3240p y-=得123(4)p y=代入（*）得：3427y x=也是方程的解５、解：002100225200410725118 3002()4220()4400202204400160 xxxyxy xdxx x xy x dxx x x x x x x y x dxϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰６、解：由1050x yx y--+=⎧⎨--=⎩解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxx ydtdyx ydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为1111---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）由221121122011λλλλλλ+=+++=++=-+得1iλ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

《常微分方程》期末练习

B）一阶变量可分离方程 D）一阶隐方程（ C）特解； D）不是解）
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿

x
0
e t dt 是 y"2 xy' 0 的
B）通解；
2
一．填空题（15 分）
1．已知一曲线上任一点 ( x, y ) 处的切线斜率为 y 则曲线方程为： 2．二阶线性常系数非齐次方程 x x (t 1)e 的特解可待定为：
（；）
*
则下列结论正确的是： A） x (t ) cos 2t 是（1）式的解
x * (t ) =
线
1 8
3．设 X 1 (t ), , X n (t ) 是一阶 n 维齐线性方程组
dX (t ) A(t ) X (t ) 的 n 个线性无关解， dt
封
X * (t ) 是非齐线性方程组
t
A）解；
1 ：且曲线过（1，1）点， x2
3．已知 x * (t ) ie 2 it i cos 2t
1 1 1 sin 2t 是方程 x 4 x 4 x e 2it 的解 8 8 8 记方程： x 4x 4x cos 2t （1）（2） x 4x 4x sin 2t （3） x 4x 4x cos 2t sin 2t
1.
dy xy x 2 y 4 dx
2.
x y x x t t y 2 x y e
班级:＿＿＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿＿＿
四．求下列方程的通解或特解（共 42 分）
线
1．（6 分）求方程 3x y dx 2 x ydy cos xdx 0 的满足初始条件 y( ) 1 解

常微分方程期末试题标准答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

奥鹏东师《常微分方程》练习题答案.docx

《常微分方程》练习题一参考答案练习题第1套参考答案一. 填空题1、全平面.2、1,1x y =-=-3、3y Cx C =+ 4、线性无关,(或朗斯基行列式不等于零) 5、开二. 单项选择题1.A,2.C,3.B,4.C,5.B三. 简答题1.0y >时对应通解是2(),.4x C y C x +=-≤<∞ 0y <时对应通解是2(),.4x C y x C +=--∞≤<- 2.是.四. 计算题 1、通积分为1x y Ce y -=. 2、通解为411().4y C x x =+ 3、通积分为21.x y C y += 4、通解为121cos sin cos .2x C t C t t t =+- 5、通解为27124151t t x C e C e y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦五. 应用题1. 设物体在t 时刻的下落速度为().v v t =在t 时刻物体所受的力,f mg kv =-k 为阻力系数,由牛顿第二运动定律,得方程dv m mg kv dt =- 即 ()dv k mg v dt m k=-- 解得 kt mmg v Ce k -=+ 代入初值条件(0)0v =, 得初值解 ()(1)kt m mg v t e k -=- 令t →+∞,得极限速度1.mg v k=2. 证明:因为0x 在取极值有1020()()0y x y x ''== 此时12(),()y x y x 的朗斯基行列式在0x 点的值为 1020102001020()()()()()0()()0y x y x y x y x W x y x y x ==='' 所以, 12(),()y x y x 不能为基本解组.练习题第2套参考答案一、填空题1、(,)-∞+∞.2、0y >的右半平面3、,0,1,2,y k k π==±±L4、 22,xx exe -- 5、n二、单项选择题1.B,2.A,3.D,4.C,5.D三、简答题化成等价积分方程，用逐次逼近法求积分方程解。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

证明题：设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞→lim ，又0>a ，求证：对于方程()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()ab x y x =+∞→lim 。

证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰-xataxdt e t f C e x y 0，即()()axxat edte tf C x y ⎰+=。

由于b x f x =+∞→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。

应用洛比达法则得()()axxat x x edte tf C x y ⎰+=+∞→+∞→0limlim()axaxx ae e x f +∞→=lim ()aba x f x ==+∞→lim。

证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数。

证要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ⨯的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。

分别取初始条件⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001)(01 t x ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010)(02 t x ，．．．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100)(0 t x n ，它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x 且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x 是n 个线性无关的解。

任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x ，),(b a t ∈∀，这1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。

这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。

证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dxt a dtx d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是ds s f s x s x W s x t x s x t x t φtt )()](),([)()()()()(0212112⎰-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。

证已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程0)()(2122=++x t a dt dxt a dtx d 的基本解组，则齐次方程的通解为)()(2211t x C t x C +。

用常数变易法，求原方程的特解。

设 )()()()(2211*t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系⎩⎨⎧=''+''='+')()()()()(0)()()()(22112211t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，解得))(),(()()()()()()()()()(0)(2122121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -='''='，))(),(()()())(),(()()(0)()(21121112t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C ='=' ，积分得ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t tt ⎰⎰=-=00))(),(()()()())(),(()()()(21122121 。

原方程的一个特解为ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t tt ⎰⎰+-=00))(),(()()()())(),(()()()(21122121*故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φtt )())(),(()()()()()(0212121⎰-=是原方程的一个特解。

证明题：设()t e tλΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e tλΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。

证：设()t e tλΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x =' （1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。

证先证明()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ都是方程组（1）的解。

由于()t e tλΓx =方程组（1）的解，则有()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，即()()t λt ΓE A Γ)(-='其中E 表示单位矩阵。

由()()t λt ΓE A Γ)(-='易得()()t λt m m )1()()(--=ΓE A Γ 1,,2,1-=k m 。

（2）()()t e dtd m t λ)(Γ()()t e t e λm t λm t λ)1()(++=ΓΓ，由（2），上式变为()()t e dtd m t λ)(Γ()()])[()()(t λe t e λm t λm t λΓE A Γ-+= ()()t e dtd m t λ)(Γ()t e m t λ)(ΓA =，1,,2,1-=k m 。

故()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ都是方程组（1）的解。

再证明向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ线性无关。

因为()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，所以()0≠t k )(Γ，而当k m >时，()0=t m )(Γ。

若()+t e C t λΓ0()++' t e C tλΓ1()0≡t e C k t λk )(Γ，),(+∞-∞∈t ，即 ()+t C Γ0()++' t C Γ1()0≡t C k k )(Γ，),(+∞-∞∈t ，给上式两边关于t 求k 阶导数，得()0≡t C k )(0Γ，),(+∞-∞∈t ，则必有00=C 。

给()++' t C Γ1()0≡t C k k )(Γ，),(+∞-∞∈t 两边关于t 求1-k 阶导数，则必有01=C 。

同理，可得0=m C ，k m ,,2,1,0 =。

故向量组()t e tλΓ，()t e tλΓ'，...，()t e k tλ)(Γ线性无关。

综上所述，我们证明了向量组()t e tλΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k tλ)(Γ，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。

证明题：n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n 有且最多有n 个线性无关的解。

n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x nn n n 有且最多有n 个线性无关的解。

证明：由于n 阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(,0)(,0)(,0)(,1)(0)1(000)1(202020)1(10101=⋯⋯='=⋯⋯=⋯⋯='==⋯⋯='=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x n n n n n n的解为),(,),(),(21t x t x t x n 则一定存在n 个解，又因为若任取1+n 个解)(),(,),(),(121t t t t n n +ϕϕϕϕ)(1)(2)(1121121121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ由于 j n n j n j n j t a t a t a ϕϕϕϕ)()()()2(2)1(1)(-----=-- 即最后一行可由前行线性表出，则)(1)(2)(1121121121)](),(,),(),([n n n n n n n n t t t t W ++++'''=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=0，故这1+n 个解一定是线性相关的。

从而命题得证。

证明题：设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．证明：．证明由于)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式0)()()()()(2121≠''=x x x x x W ϕϕϕϕ （*）（5分）假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得)(01x ϕ=0)(02=ϕx 于是0)()(00)()()()()(0201020102010=''=''=x x x x x x x W ϕϕϕϕϕϕ这与（*）式矛盾．常微分方程习题集（5）（五）证明题1. 试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.2. 设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt Ce AX dtdX+=，有一解形如：mt Pe t =)(ϕ，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及yf∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x .6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解.8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ϕ是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。