常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空1 微分方程)(22=+-+xydxdydxdyn的阶数是____________2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程),(),(=+dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________ 称为齐次方程.4 如果),(yxf___________________________________________ ,则),(yxfdxdy=存在唯一的解)(xyϕ=,定义于区间hxx≤-0上,连续且满足初始条件)(xyϕ=,其中=h_______________________ .5 对于任意的),(1yx,),(2yx R∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0(>NN使______________________ ,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.6 方程22yxdxdy+=定义在矩形区域R:22,22≤≤-≤≤-yx上 ,则经过点)0,0(的解的存在区间是 ___________________7 若),.....2,1)((nitxi=是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程 ___________________________________8若),.....2,1)((nitxi=为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________9若)(xϕ为毕卡逼近序列{})(x nϕ的极限，则有≤-)()(xxnϕϕ__________________10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程．二求下列方程的解１3yxy dxdy+=２求方程2yxdxdy+=经过)0,0(的第三次近似解３讨论方程2ydxdy=，1)1(=y的解的存在区间4 求方程1)(22=-+ydxdy的奇解5 0)1()1(cos 2=-++dy y xy dx y x6x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+ 70)37()32(232=-+-dy xy dx y xy三 证明题1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(x Q y x P dx dy+=, 当 )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一参考答案一 填空题 1 12 )()1)((y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3 形如)(x y g dxdy =的方程 4 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m ba h =52121),(),(y y N y x f y x f -≤-6 4141≤≤-x 7 0)(1'=+w t a w8xx c x ni i i +=∑=19 1)!1(++n n h n ML10 形如)()()(2x r y x q y x p dx dy++=的方程 y z y +=二 求下列方程的解1 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=23 另外 0=y 也是方程的解2 解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x xdx x x x x+=+=⎰ϕϕ []8115222316014400120121)()(x x x xdx x x x x+++=+=⎰ϕϕ3 解：dx y dy=2两边积分c x y +=-1所以 方程的通解为c x y +-=1故 过1)1(=y 的解为21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 )2,(-∞ 4 解: 利用p 判别曲线得⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解5 解: y M ∂∂=2--y , x N∂∂=2--y , y M ∂∂=x N ∂∂, 所以方程是恰当方程. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos y xy y v y x x u得 )(sin y y x x u ϕ++= )('2y xy y uϕ+-=∂∂- 所以y y ln )(=ϕ 故原方程的解为 cy y xx =++ln sin6 解:x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin +=, 则方程可化为2z dx dz -=,c x z +=1 即c x x y +=-1sin , 故 c x x y ++=1sin 7 解: 两边同除以2y 得037322=-+-xdy dy y ydx xdx732=--y d xy d dx所以c y xy x =--732 , 另外 0=y 也是方程的解三 证明题1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =令 y z y += , dx y d dx dz dx dy += 又 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++= dx y d x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2由假设 )()()(2x r y x q y x p dx y d ++= 得 []zx q y x p z x p dx dz)()(2)(2++= 此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解 2 证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则)()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 ,因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L即)(x P L≤ , x ∈[]βα,1y ∀,Ry ∈22121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤因此 一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一常微分方程期中测试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） 22d d x y x y += （2）y x x x y sin d d += （3）0d d d d 2d d 223344=+-x y x y x y（4）t x x x x =++ （5）223d d 1)d d (s rs r += （6）0d d 22=+x y y x2、填空题(8%)（1）．方程y x x ytan d d =的所有常数解是___________.（2）．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M (x, y )d x + N (x, y )d y = 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M (x 0, y 0)是可微曲线y = y (x )上的任意一点，过该点的切线在x 轴和y 轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%)（1）．方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）. (A)可分离变量方程 （B ）线性方程 (C)全微分方程 （D ）贝努利方程（2）．方程)0(d d ∞≤≤=y y xy，过点（0，0）有（ ）.(A) 一个解 （B ）两个解 (C) 无数个解 （D ）三个解（3）．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）. (A)y =±1, x =±1, (B) y =±1 (C) x =±1 (D) y =1, x =1（4）．若函数y (x )满足方程0ln 2=-+'x y y y x ，且在x =1时，y =1, 则在x = e 时y =( ).(A)e 1 (B) 21(C)2 (D) e （5）．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间．（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维（6）. 方程2d d +-=y x x y（ ）奇解．（A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个（7）．方程323d d y x y=过点)0,0(（ ）．（A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解 4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）. 21d d x xy x y +=（2）. xy x y2e 3d d =+（3）.0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x （4）. 2)(d d x y x y xy -= （5）. 1)ln (='-'y x y5. 计算题(10%)求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 6．证明题（16%）设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f x y=的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+．参考答案： 1．辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性2．填空题（1）． ,2,1,0,±±==k k y π （2）．)()]()([1211x y x y x y C +-（3）．⎰⎰=+yy xx y y x N x y x M 0d ),(d ),(0 （4）．y x y y y x '-'-0000,3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解 当0≠y 时，分离变量得x x xy y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++=即通解为21x C y +=（2）．解 齐次方程的通解为x C y 3e -=令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出C x C x+=5e 51)(原方程的通解为xC y 3e -=+x 2e51（3）．解 由于x Nxy yM ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为13023d d )(C y y x xy x yx=++⎰⎰即 C y y x x =++42242（4）. 令xu y =，则x uxu y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u x u -=+，2d d u x u x -=当0≠u 时，分离变量，再积分，得C x x u u +=-⎰⎰d d 2C x u+=ln 1，C x u +=ln 1即： Cx x y +=ln5. 计算题令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=py p p x ln 1由基本关系式 y x y'=d d ，有p p p p x y y )d 11(d d 2+-⋅='=pp )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=Cp p y p p x ln ln 15．计算题解 方程的特征根为01=λ，52=λ齐次方程的通解为 xC C y 521e +=因为i i 5±=±βα不是特征根。