常微分方程期中考试试卷(2015)
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
常微分方程试题库试卷库
常微分方程试题库试卷库-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1常微分方程试题库试卷库常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx -+= ５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案一填空题１、()M N y x x N ϕ∂∂-∂∂= ()M Ny xy M ϕ∂∂-∂∂=- ２、 2()()()dyp x y Q x y R x dx =++ y y z =+３、 ()()n dyp x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dxn u x y y e --⎰=４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠５、11110n n nn n nn d y d dyx a a a y dx dx dx ---++++=６、()()t t C ψφ=７、零 稳定中心二计算题１、解：因为1,1M Ny x∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln 21()dyy y y e e y μ--⎰===，两边同乘21y 得320dx x y dy y y +-=所以解为 321x x y y dx dy c y y y⎡⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 22x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程A=-12B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =B=0所以原方程的解为1211cos sin cos cos223x c t c t t t t=+-+３、解：221()69014p λλλλλ--==-+=-解得1,23λ=此时 k=112n = 12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!in t ii te A E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭４、解：方程可化为3284dy y dx x dy ydx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有3284p y x yp +=（*） （*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy p y p y p y pdy -+-=即32(4)(2)0dp p y yp dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即2()p y c =将y 代入（*）2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c px c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩p 为参数又由3240p y -=得123(4)p y =代入（*）得：3427y x =也是方程的解 ５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xx x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+==++=+=++++=+++⎰⎰⎰ 三、 证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========考虑1020010010[(),(),,()]101n w x t x t x t ==≠从而()(1,2,)i x t i n =是线性无关的。
第一学期常微分方程期中试卷
北 京 交 通 大 学2013-2014学年第一学期《常微分方程》期中考试试卷考试方式：闭卷 任课教师：曹鸿钧 学院 专业 班级学号 姓名请注意：本卷共四大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、 填空题（每小题1分，共10分）1、下列微分方程中（1）;46y x dx dy -=（2）;12)(222xy dx dy dxy d -= （3）;03)(32=-+y dx dy x dx dy （4）;0sin 3622=-+-x xy dx dy dx y d x （5）;02cos =++x y dx dy（6）.0)sin(22=-+x e dxy d y 每个方程的阶数分别是 ，其中，线性方程有（写出方程的标号） ，而是非线性方程的有（写出方程的标号） .2、一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为x 6，则曲线方程为 .3、对于贝努利方程n y x q y x p dxdy)()(=+，则可通过变量变换 将其化为一阶线性方程，从而可以求解.4、一阶微分方程0),(),(=+dy y x N y x M 为恰当微分方程的充要条件为 .5、方程3123y dx dy =在区域________________________中满足解的存在唯一性定理.6、方程212-=y dx dy 通过点)0,0(的饱和区间为 . 7、方程22y x dxdy+=定义在矩形域11,11:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．8、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 具有形为)(y x +μ的积分因子的充要条件是 .二、选择题：（每小题1分，共6分） 1、方程y x dxdy-=24为 A 、一阶齐次线性方程 B 、一阶非齐次非线性方程 C 、一阶齐次非线性方程 D 、一阶非齐次线性方程2、方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解的存在唯一定理条件的区域是 ．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面3、方程323y dxdy=过点(0, 0)有 . A 、无数个解 B 、只有一个解 C 、只有两个解 D 、只有三个解 4、方程0)(2=-+dy x y x ydx 的一个积分因子为 .A 、x 1B 、21xC 、x lnD 、x x ln5．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为 ．(A)2211y C y C y += (B) 21Cy y y += (C) )(211y y C y y ++= (D) )(12y y C y -=6、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的 条件． A 、充分 B 、必要 C 、充分必要 D 、不确定三、计算题（本大题包含8个小题，共75分） 1、求解方程xy dxdy2=的通解，并求满足初值条件1,0==y x 的特解.（9分）2、求方程2526)(22xy xy x y dx dy +-=的通解.（9分）3．求方程0)d (d 222=-+y y x x xy 的通解.（9分）4、求方程2y x dxdy-=通过点（1,0）的第二次近似解.（10分）5、求方程x y dxdysin +=的通解.（9分）6、设函数)(t ϕ于),(+∞-∞上连续，)0('ϕ存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数)(t ϕ.（10分）7、求方程2''2)2()1(y y y -=-的解.（9分）8、已知里卡蒂微分方程xx xe yeyey 22'12-=-+-的一个特解为x e y =_，求此方程的特解（提示：取变换-+=y z y ）（10分）.四、证明：（9分）（1）、一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的任两解之差必为对应的齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的解（3分）； （2）、若)(x y y =是齐次线性微分方程y x P dxdy)(=的非零解，而)(x y y -=是非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的解，则非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解可表为)()(x y x cy y -+=，其中，c 为任意常数（3分）.。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
《常微分方程》期中试卷-解答
)()()(2cos 31cos 31sin 21)(**t x t x t x tt t t t x c +=∴-+=通解 五. 证明题（5分）证明:性无关解，下面只要证明其线是对应齐次方程的两个、是非齐方程的解，、、)()()()()()()(3231321t x t x t x t x t x t x t x --∴ 是齐次方程的基解线性无关，、，，线性无关，、、即：令∴--∴=+==⇒=+-+=-+-)()()()(000)()()(0)()()()(0)]()([)]()([323121213213212211322311t x t x t x t x k k k k t x t x t x t x k k t x k t x k t x t x k t x t x k)()]()([)]()([)(1322311t x t x t x c t x t x c t x +-+-=非齐次方程的通解：六. 应用题（任选1题, 10分）1．设运动员从跳落到开伞前为自由落体运动, 开伞后在空气中下落时受到的空气阻力与速度平方成正比（比例系数为k ）。
一运动员从高空跳下T 秒后才打开降落伞。
试建立微分方程, 求开伞后, 该运动员在下降过程中速度与时间关系, 并求出极限速度。
解:kmgt v aeae k mg v a gT kmggT kmgc gT v c t m kg v kmgvkmgv gTv m k g dt dvt t v t t mkg t m kg =⇒+-=⇒∆-+=⇒=+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∞→)(lim 11ln ln)0(2ln)0()(22112由第二定律得：秒时的速度，根据牛顿表示运动员开伞用第 4 页2. 在一个电阻R 、电感L 、电容C 和电源E 串联而成的闭合回路中, 已知E=100sin60t(V)R=2欧姆, L=0.1（H ）, C=1/260（F ）。
复旦大学常微分期中试卷
˙ = A(t)x, 其中 A(t) 为 R 上以 T (T > 0) 为周期的 考虑线性方程 n 维线性常微分方程: x 连续矩阵值函数. (1) 设 上 述 方 程 的 一 个 基 本 解 方 阵 为 ϕ(t), 证 明 存 在 一 个 ϕ(t + T ) = ϕ(t) · B . (2) 如 果 已 知 存 在 n 阶 矩 阵 C 使 得 eC T = B , 我 们 对 原 方 程 进 行 坐 标 变 换 y (t) = eC t ϕ−1 (t)x(t). 证明在此坐标变化下, 存在常数 C1 , C2 > 0 使得 C2 ∥x(t)∥ ≤ ∥y (t)∥ ≤ C1 ∥x(t)∥, 对于 t ∈ R 成立，并求出 y (t) 满足的微分方程. (3) 若 (2) 中得到的矩阵 C 的一切特征值实部都小于 0, 设 H (t) 为 R 上的 n 阶 连 常 值 矩 阵 B， 使 得
, ∥A∥2 2 =
得分 . .
已知 h(t) 为 (α, β ) 上的实值连续函数，x0 ∈ R, t0 ∈ (α, β ). 用逐次逼近法证明以下初值问 dx = h(t)(x + t2 sin x + t), dt 题 的解在 (α, β ) 上存在且惟一. x(t ) = x
(1) 若 A(t) ≡ A, 试用常数变易公式写出上述方程满足初值条件 x(t0 ) = x0 (t0 ∈ R, x0 ∈ Rn ) 的解. (2) 在 (1) 的条件下，若 A 的一切特征值实部大于 0，证明该方程存在唯一在 R 上有界 的解. 1 2 t2 + 1 , f (t) ≡ 0. 证明存在 x0 ∈ R , 使得该方程满 cos 2t
6
, 分 6 分, 5 分 6 分, 6 分 12
《常微分方程》试题-5页精选文档
常微分方程试卷1一、填空题（每题3分，共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每题3分，共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ ）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每题６分，共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy 15．32y y x y '+'=四、计算题（每题10分，共20分） 16．求方程255x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每题10分，共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程试卷1答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开5．1±=y二、单项选择题（每题3分，共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每题６分，共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分）通积分为x C y e ln = （6分）12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分）分离变量，取不定积分，得 C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin= （6分）13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y =-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41（3分） 通解为41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x （6分）14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分）取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰020d d 2（4分）即C y y x =-3231 （6分）15．解 原方程是克莱洛方程，通解为32C Cx y += （6分）四、计算题（每题10分，共20分）16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为x C C y 521e += （4分）因为0=α是特征根。
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13级常微分方程期中考试试卷
班级__________姓名__________学号________得分__________
一、填空题（102⨯'）
1、微分方程0)(
22=+-+x y dx
dy dx dy n 的阶数是________________________。
2、微分方程x dx
dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。
3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。
4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。
5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数
)0(>N N 使_________________，
则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。
6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx
dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ϕ=可以向左右延拓，直到__________________________________________。
7、方程3
1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。
8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx
dy =存在唯一解。
9、微分方程dy
dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。
10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。
二、求下列方程的解（68⨯'）
1、
)1cos(++=y x dx dy .
2、
3
y x y dx dy +=.
3、
226y x y dx dy -=.
4、0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy .
5、x x x y x x x y dx dy cos sin sin cos +--=.
6、)1ln(2y y '+=.
三、求定义在矩形区域2x 2:R ≤≤-，2y 2≤≤-上的方程22y x dx
dy +=通过)0,0(点的第二次近似解，
并利用解的存在唯一性定理确定过)0,0(的解的存在区间。
（8'）
四、求一曲线方程，使其上任一点处的切线与坐标轴围成的图形的面积等于2.（6'）
五、综合题（29⨯'）
1、设方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的系数)(x p 、)(x q 在区间),(b a 上连续，试证：若方程的两个解)(1x y ，)(2x y 在),(1b a x x ∈=时达到极值，则)(1x y ，)(2x y 在),(b a 上线性相关。
2、若函数)(x y 具有一阶连续的导数. 试求出由积分方程ds s y s y x y x ⎰-'-=0)](4)([(511)(确定的函数。