常微分方程期末考试试卷(A卷)
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1. 方程23210d xx dt+=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个.4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程222()0d x dx x dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程..5．求方程 sin y y x '=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dt dX=满足初始条件η=)0(x 的解. 8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt 10.若三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点; (iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -= .2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dy xy y dx dx -+=答案一.填空题。
《常微分方程》课程试题(A卷)答案
3、解：(1)求 的通解．由特征方程 得特征根为 ， ，其通解为 ．
(2)用待定系数法求非齐方程的特解．
设 ，则
， ，
代入原方程，比较两端 ， 系数，得
， ，
所以 ， ．故非齐通解为
．
4、证明:令 ③
则③是对应齐线性方程组的解组，并且可以证明是线性无关的．
事实上，假设③是线性相关的，则存在一组不全为零的常数
即 ．
这表明有一组不全为零的常数 使上式成立，这与 是线性无关的题设矛盾，因此③是线性无关的．
对方程组的任一解 ， 必是对应齐线性方程组的解．又因为③是对应齐线性方程组的基本解组，必存在一组常数 ，使得
即 ，
亦即 ，故
．
反之，若 ，对于
因为 是对应齐线性方程组的解， 也是对应齐线性方程组的解，而 是的方程组的一个解，故
(1)
其部分和是为 ，
因此，只须证明函数项级数(1)在 上一致收敛．由 的表示式
.
由李普希兹条件及上式，有
假设对于正整数 ，有不等式
.
则由李普希兹条件，当 时，有
由数学归纳法知，对一切正整数K，皆有
.
又由于 ，有 ，从而
(2)
(2)式右端恰是收敛的正项级数的一般项，由M一判别法，函数项级数(1)在 上一致收收敛，其和函数记为 .故函数序列 在 上一致收敛.
是方程组的解．
五、综合题
1、解：火车的质量是， ，速度为 ，加速度为 ，根据牛顿第二定律，有 ．
整理，得到路程s应满足的二阶常系数非齐线性方程
．
可求得方程通解
．
代入初始条件：当 时， ， ，得
， ．
故火车的运动规律为
常微分方程期末考试试题A卷
常微分方程期末考试试卷一.填空题 (共30分，9小题，10个空格，每格3分)。
1、当_______________ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。
2、________________ 称为齐次方程。
3、求dy =f(x,y)满足穴x o) = y。
的解等价于求积分方程____________________ 的dx连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy = f (x, y)dx 的解y=cp(x,x。
，y。
)作为x,x。
，y。
的函数在它的存在范围内是。
5、若x i(t),x2(t)... x3(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是06、方程组x/ =A(t)x的_________________ 称之为x/ = A6x的一个基本解组。
7、若*t)是常系数线性方程组x/ = Ax的基解矩阵，则expAt =。
8、满足____________________ 的点(x*,y*),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部__________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为二、计算题(共6小题，每题10分)。
1、求解方程：dy=x7”dx x y 32、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程dy = 3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0, 0）的一切解4、求解常系数线性方程：x -2x/ +3x = e A cost, ……，一一一一 1 「12、5、试求方程组x/ = Ax的一个基解矩阵，并计算e At,其中A为3J6、试讨论方程组dx=ax+by, dy = cy （1）的奇点类型，其中a,b,c为常 dt dt 数，且ac#0。
三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果平（t）是x/ = Ax满足初始条件中（t0）=n的解，那么■：（t）二e A（t」0）十答案一、填空题。
07-08A卷 常微分方程定性理论
a
0
时，
A
0 b
1 0
,
此时原点为线性近似方程的中心，而此时原系统为线性方程，则此时原点
为原系统的中心。
得分 评阅人
四．计算题：（共 10 分）
四．画出下面系统的相图。
dx
dt
y
x(x2
y2 ) sin
1 x2 y2
dy
x
y(x2
y2 ) sin
1
dt
x2 y2
解：令 x r cos , y r sin ，作极坐标变换，则原系统变为：
dy
x2 y x y
，其中 a a
是一个参数。求系统的分支值，并讨论可能的分支现象。
dt
解： 讨论平衡点个数随参数的变化，以及平衡点的双曲性的变化。
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数，并且可证 F(x, y) 沿着原系统的轨线对时间 t 的导数 dF 恒为零。故知此时 dt
(k , 0) （k 为偶数）为原系统的中心。
（ 2 ） 先 求 其 平 衡 点 为 （ 0 ， 0 ）， 则 原 系 统 在 原 点 附 近 的 线 性 近 似 方 程 的 系 数 矩 阵 为
A
0 b
x y yx2
2
y2x y3
dt
3
dx
（5）
dt dy
x( y 1) x y 2y2
dt
dx
（6）
dt dy
y x
y
x2
y2
dt
解：（1）容易看出原系统无平衡点，故原系统无闭轨，则当然无极限环。
（2）考虑 Px Qy 3(x 1)2 4y2 1 0 ，故由 Bendixson 判据知原系统无极限环。
常微分期末考试试题和答案a#
《常微分方程》期终测试试卷<A ）<适用班级：班）下属学院_________________班级_________姓名____________成绩______________________。
2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。
3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。
4、对R y x y x ∈∀),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。
5、若)(x ϕ为毕卡逼近序列)}({x n ϕ的极限，则有≤ϕ-ϕ|)()(|x x n _________。
6、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。
7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。
8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为____________________________________________。
9、若),,3,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
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： 院（系）
7 、方程 得分
dy y 2 1 经过 (0,0) 点的解在存在区间是 。 dx 评阅人 2 二．计算题（共 9 题，每题 5 分，共 45 分）
1.设 f ( x ) 在[ a, b] 上连续， ( y ) 在[c, d ] 上连续，求微分方程
dy f ( x) ( y ) 。 dx
1. 设 f ( x, y), g ( x, y) 是定义在区域 D R 2 上的两个不同时为 0 的连续可微函数。证明：对于任意一点
( x, y) D ,必有一个领域U D 及定义在 D 上的非零连续函数 ( x, y ) ，使得 ( x, y ) 是一阶方程 f ( x, y)dx+g ( x, y)dy 0 的一个积分因子。
， 。
3、若 xi (t ) (i 1，2，……， n) 是齐线性方程的 n 个解， w(t ) 为其伏朗斯基行列式，则 w(t ) 满足一阶线性方 程
'
。 。 。
专业：
4、若 (t ) 和 (t ) 都是 x A(t ) x 的基解矩阵，则 (t ) 和 (t ) 具有关系 5、方程 M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是 有只含 y 的积分因子的充要条件是 。
华中师范大学 2007–2008 学年第二学期 期末考试试卷（A 卷）
课程名称 常微分方程 编号 83420002 任课教师 邓引斌、朱长江、严国政 题型 分值 得分 填空题 15 计算题 45 解答题 14 证明题 20 应用题 6 总分 10
学生姓名：
学号：
得分
评阅人
一、填空题： （共 5 题，每题 3 分，共 15 分， ）
6.求解 y 5 y 6 y x2
5.解方程 ( y)3 4xyy 8 y 2 0
x 1 1 1 x d 7.求解方程组 y 1 1 1 y dt z 1 1 1 z
1、 （
） 称为齐次方程， （
）称为黎卡提方程。
年级：
2、如果 f ( x, y ) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件，则方程 于区间 x x0 h 上，连续且满足初始条件 ( x0 ) y 0 ，其中
dy f ( x, y ) 存在唯一的解 y ( x) ，定义 dx
2 1 3 1 X (t ) d 2Q M KQ 0 9．设 M , 为未知向量函数，解方程 , K Q dt 2 1 1 1 2 Y (t )
得分
评阅人
三、解答题： （共 2 题，共 14 分）
1.求初值问题
dy x 2 y 2 , y (1) 0 在区域 R : x+1 1 并求第 3 次近似解， 给 ， y 1 的解的定义区间， dx
8.解方程 e y y y
dx x 2 y sin x dt 2．求系统 的奇点，确定它的类型，并画出奇点领域内的相图。 （7 分） dy 1 y e y dt
得 分
评阅人
四、证明题： （共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
2.求解方程
dy x y 1 dx x y 3
3．求解方程 ( x2 y 2 1)dy 2xy3dx 0
4.解方程 ( x y )dx 2 xydy 0
2
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2.证明;若常数 a 0 , f ( x ) 在 [0, ) 内连续且
0
d2y f (t ) dt 收敛，则方程 2 a 2 y f ( x) 的每个解在 dx
x 0 上有界。
得 分
评阅人
五、应用题： （Βιβλιοθήκη 1 题，共 6 分，两题选一题做）
1.万有引力 F
GMm r ,试导出行星在太阳系的运动的轨道方程， 并讨论轨道的类型及微小扰动下的稳定性 r3
出存在区间上解的误差估计。 （7 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2.设河边点 P 的正对岸为点 O ，河宽 PO x ，两岸为平行直线，水流速度为 m ，有一只鸭子从点 O 游向 点 P ，鸭子在静水中的游速为 n ， n m ，假定鸭子游动方向始终朝着点 P ，试求鸭子游过的轨迹方程．
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------