福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案
《常微分方程》期末试卷
《常微分方程》期末试卷(16)班级 学号 姓名得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程x x y xy e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7. x y xy 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．11．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x t x 4d d d d得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程y x xy sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．),(∞+-∞2．x x 2cos ,2sin3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 518．解 由于xN xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 。
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
福建师范大学14春学期课程考试《常微分方程》作业考核试题
解：此时区域 D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出， 方程的通解是： y
1 Cx
1 ，它向左可无限延展，而当 x 2 时， 2 x
故通过(1,1)的积分曲线为： y
y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)。
7、考虑方程
dy ( y 2 a 2 ) f ( x, y ), 假设 f ( x, y) 及 f y' ( x, y) 在 xOy 平面上连续， dx
(2 6u 3u )
2
1 2
C| X | .
7 将 3 ， X x 2 代入上式可得： u x2 y
7 ( y )2 6 y 14 3 3 2 x2 ( x 2) 2
即上式为所求。
1 2
C | x2|
.
3、求解下列方程:
且关于 满足 Lipschitz 条件， 则方程(1)存在唯一的解 上，连续且满足初始条件 。 5、求方程 解：
dy x y 2 通过点 (1, 0) 的第二次近似解。 dx
，定义于区间 ，
， 这里
令 0 ( x) 0 则
1 ( x) y 0 ( x y 0 2 )dx xdx
0 3
解：将
C 2
3 y x2 C 代入 dy 3 ，可得 0
故 y x2 2 为所求。
2、求下列方程的解。
１）
dy 3x y dx
2）
dy 2 x 3 y 3 dx 3x 3 y 1
解：依题意联立方程组：
2 x 3 y 3 0 3x 3 y 1 0
试证明：对于任意 x0 及 | y0 | a ，方程满足 y( x0 ) y0 的解都在 (, ) 上存在。 证明： 根据题设， 可以证明方程右端函数在整个 xOy 平面上满足延展定理及 存在与唯一性定理的条件.易于看到， y a 为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展 定理可知足 y( x0 ) y0 ， x0 任意，| y0 | a 的解 y y ( x) 上的点应当无限远离原点， 但是，由解的唯一性， y y ( x) 又不能穿过直线 y a ，故只能向两侧延展， 而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在。
福师《常微分方程》期末考试资料解析
福师《常微分方程》期末考试资料解析考试概述- 考试科目：福师《常微分方程》- 考试形式：期末考试- 考试内容：常微分方程相关知识点- 考试时间：待定考试资料解析1. 考试范围：根据课程教学大纲和授课内容，本次期末考试将涵盖以下知识点：- 常微分方程的基本概念和分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法- 常系数线性微分方程的解法- 变系数线性微分方程的解法- 常微分方程的应用2. 考试形式：本次考试将采用闭卷形式，学生需独立完成试卷。
3. 解题技巧：- 理解概念：掌握常微分方程的基本概念和分类，确保对不同类型方程的解法有清晰的认识。
- 熟练运用方法：熟悉一阶和高阶常微分方程的解法方法，理解常系数和变系数线性微分方程的解法原理。
- 刻意练：通过大量的题练，加深对解题思路和方法的理解，提高解题能力。
- 注意应用：了解常微分方程在实际问题中的应用，能够将数学知识应用于实际情境的解决。
4. 复建议：- 复课本：重点复课本中的相关章节和例题，确保对基本概念和解法的掌握。
- 刷题巩固：多做题，尤其是课后题和历年试卷中的题目，加强对知识点的练和理解。
- 讨论交流：与同学一起讨论和解答问题，加深对知识点的理解，同时也可以互相提供帮助和补充。
考试注意事项1. 准时参加考试：请提前安排好时间，确保按时参加考试，迟到或缺考将无法参加补考。
2. 笔试要求：请使用黑色或蓝色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红色字迹。
3. 考试纪律：请遵守考场纪律，不得交流或抄袭，否则将被视作违纪，按相关规定处理。
4. 考试成绩：考试成绩将在考试后的一周内公布，请密切关注学校官方通知。
以上为《福师常微分方程》期末考试的资料解析，希望对同学们的复和备考有所帮助。
祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。
常微分方程期末试题答案
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
解：先求解对应的其次方程： y y 2 y 0 ，则有，
2
2 0 , 1 1 , 2 2 ; y C1ex C2e 2x
因为数
i 1 i 不是特征根，故原方程具有形如
y1 ex Acos x B sin x
的特解。
将上式代入原方程，由于
y1 ex A c o sx B s i nx
y1 ex A B cosx B A sin x
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
y , N x, y x
y 3 ln x
则 M y x, y
N x x, y
1
，于是原方程为全微分方程
x
所以原方程的通解为
xy dx
1x
y y 3dy C
1
即 y ln x 1 y 4 C 4
常微分方程期末试题答案
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
12． n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（ A ）构成一个线性空间
（ C）构成一个 n 1 维线性空间
（ B）构成一个 n 1 维线性空间
（ D ）不能构成一个线性空间
13．方程 y
y 2 x 2 2 （ D ）奇解．
（ A ）有一个
（ B ）有无数个
三、计算题（每小题 8 分，共 48 分）。
e
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
件是 线性无关
8．方程 y 4 y 4 y 0 的基本解组是 e 2x , xe 2x
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）。
dy
9．一阶线性微分方程
p(x) y q( x) 的积分因子是（
dx
A ）．
（A）
p ( x)dx
(完整版)常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程22d d y x xy +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f xy =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(21y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=xx p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A) 1±=x (B)1±=y(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
福师2020年8月《常微分方程》期末试卷A
福师2020年8月《常微分方程》期末试卷A常微分方程》期末考试A卷姓名：XXX专业：数学与应用数学学号：xxxxxxxxxxx4388研究中心：XXX6、微分方程给定微分方程frac{d^2y}{dx^2}-6\frac{dy}{dx}+8y=\frac{2}{x^2+3}的通解为y=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}又因为$\alpha^2-6\alpha+8=0$的根为$\alpha_1=-1,\alpha_2=-5$，所以齐次的解为$x=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}$。
由于$\alpha=2\neq\alpha_1,\alpha_2$，所以设$x^*=be^{2t}$，代入得$b=\frac{1}{21}$，因此通解为x=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+\frac{1}{21}e^{2t}二、求解下列微分方程1.$\frac{dy}{dx}=e^x-y$解：原方程可化为$dy+(y-e^x)dx=0$，这是一阶线性微分方程。
设$\mu(x)$为积分因子，则$\mu(x)ydx+\mu(x)(-e^x)dx=d(\mu(x)y)$，所以$\mu(x)=(e^{-x})'$，即$\mu(x)=e^{-x}$。
两边同乘以$\mu(x)$得$e^{-x}y+e^{-x}(-e^x)=Ce^{-x}$，即$y=C+1$。
2.$\frac{dy}{dx}+2xy=4x$解：原方程可化为$\frac{dy}{dx}=4x-2xy$，这是一阶线性微分方程。
设$\mu(x)$为积分因子，则$\mu(x)ydx+\mu(x)(-2x)dx=d(\mu(x)y)$，所以$\mu(x)=(e^{-x^2})'$，即$\mu(x)=-2xe^{-x^2}$。
两边同乘以$\mu(x)$得$-2xye^{-x^2}+4xe^{-x^2}=Ce^{-x^2}$，即$y=\frac{C}{2}+2x$。
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《常微分方程》期末考试A 卷
姓名： 专业：标准答案在后面 学号： 学习中心：
一、 填空题（每个空格4分，共40分）
1、 2
230dy dy x y dx dx ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭ 是 阶微分方程，
是 方程（填“线性”或“非线性” ）。
2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。
3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是。
4、方程
''2
1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。
5、微分方程22250+=d y
y dx
的通解为 。
6、微分方程22680-+=d y dy
y dx dx
的通解为 ，
该方程可化为一阶线性微分方程组 。
二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。
1、
-=x y dy
e dx
；
2、24+=dy
xy x dx ；
3、22265t d x dx
x e dt dt
++=；
4、2453dx
x y dt
dy x y dt
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .
三、（8分）考虑方程
2(9)(,),=-dy
y f x y dx
假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3<y ，方程满足
00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。
四、（10分）设121111201A ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt
=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的解()t ϕ。
五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。
证明：见书。