数学系常微分方程期末试卷A及答案
常微分方程
常微分方程一、填空题1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。
如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，此时其通解可用曲线积分表示为 .2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题⎩⎨⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两个基解矩阵，则它们之间有关系5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx的奇点是 ，其类型和稳定性为.6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（），其奇解是（ ）二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）1．)0(2<=+x y xy dx dy x .2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .3．()0'3'33=-+xy y x (这里dx dy y ='). 4．.0)'("2=+y yy三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）1．)5(332233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t2. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 3、 t t x x 2cos sin -=+四、 讨论方程组⎩⎨⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ答案一、填空题1． 如果方程的左端恰好 是某个二元函数 u(x,y) 的全微分 。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程期末试题答案
一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。
常微分期末考试试题和答案
《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。
5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。
8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。
11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。
13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。
常微分方程期末试题答案
10．微分方程 y ln ydx (x ln y) dy 0 是（ B ）
（ A ）可分离变量方程
（ B）线性方程
（ C）全微分方程
（ D）贝努利方程
11．方程 x(y2－1)dx+y (x2－1)dy=0 的所有常数解是（ C ）．
(A) x 1
(B) y 1
( C) y 1, x 1
(
D) y 1, x 1
解：先求解对应的其次方程： y y 2 y 0 ，则有，
2
2 0 , 1 1 , 2 2 ; y C1ex C2e 2x
因为数
i 1 i 不是特征根，故原方程具有形如
y1 ex Acos x B sin x
的特解。
将上式代入原方程，由于
y1 ex A c o sx B s i nx
y1 ex A B cosx B A sin x
故齐次方程的通解为
y C1 C2e3x
因为
5 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y1 ( x) Ae5 x
代入原方程，得
25 Ae5 x 15 Ae5 x e5 x
即
A
1
，
10
故原方程的通解为
3x 1 5 x
y C1 C2e
e
10
18．求方程 y y 2 y ex (cosx 7sin x) 的通解
y , N x, y x
y 3 ln x
则 M y x, y
N x x, y
1
，于是原方程为全微分方程
x
所以原方程的通解为
xy dx
1x
y y 3dy C
1
即 y ln x 1 y 4 C 4
《常微分方程》期末模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。
2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。
3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。
4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。
5、方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有 无数 个解。
6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。
7、方程x x y xy+-=d d 无 奇解。
8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。
9、方程y xy=d d 的奇解是 y=0 。
10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。
11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。
12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dy z dxdz z y dx。
13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。
14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。
数学系常微分方程期末试卷及答案
数学系常微分方程期末试卷及答案题目一考虑常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = x^2$$1.求该常微分方程的通解。
2.求通过点(0,1)的特解。
3.求满足初值条件y(0)=2的特解。
解答：1.首先对方程进行整理得到：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2 - 2xy$$这是一个一阶线性非齐次常微分方程，我们可以使用常数变易法求其通解。
设通解为y=y(y)y(y)，代入原方程中，得到：$$u(x)\\frac{{dv}}{{dx}} + v(x)\\frac{{du}}{{dx}} +2xu(x)v(x) = x^2 - 2xu(x)v(x)$$化简得到：$$v(x)\\frac{{du}}{{dx}} = x^2$$将$v(x)\\frac{{du}}{{dx}}$作为整个等式的导数进行积分，得到：$$\\int v(x)\\frac{{du}}{{dx}}dx = \\int x^2dx$$对等式两边进行积分得到：$$\\int v(x)du = \\int x^2dx$$对右侧积分得到$\\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$，对左侧进行积分得到：$$v(x)u + C_2 = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C_1$$其中，y1和y2为积分常数。
对方程两边整理得到：$$u(x)v(x) = \\frac{{1}}{{3}}x^3 + C$$其中y=y1−y2为常数。
由于y和y的乘积等于y，因此通解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + Cu(x)$$2.要求通过点(0,1)，即y(0)=1的特解。
将y=0和y=1代入通解中，得到：1=0+yy(0)由此得到y=1，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + u(x)$$3.要求满足初值条件y(0)=2的特解。
将y=0和y=2代入通解中，得到：2=0+yy(0)由此得到y=2，特解为：$$y = \\frac{{1}}{{3}}x^3u(x) + 2u(x)$$题目二已知常微分方程：$$\\frac{{dy}}{{dx}} = x^2y + 2x$$1.求该常微分方程的通解。
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12-13-2学期期末考试
《常微分方程》A 参考答案及评分标准
（数学与计算机科学学院）
制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin
3．xoy 平面
4．充分必要 5．开
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．D 7．C 8．A 9．D 10．D
三、简答题（每小题6分，本题共30分）
11．解 分离变量得
x y x
y
d e d e = （3分）
等式两端积分得通积分
C x
y
+=e e （6分）
12．解 方程化为
x y
x y 21d d += (2分) 令xu y =，则x
u
x
u x y d d d d +=，代入上式，得 u x
u
x +=1d d (4分)
分量变量，积分，通解为
1-=Cx u (5分)
原方程通解为
x Cx y -=2
(6分)
13．解 对应齐次方程
dy y dx x
=的通解为
Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为
x x C y )(= （3分）
代入原方程，确定出
/1
()c x x
=
（4分） 再求初等积分得
C x x C +=ln )( （5分）
因此原方程的通解为
Cx y =+x x ln （6分）
14．解： 由于
x
N
y M y ∂∂==∂∂e ，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
C y y x y
x
y =+⎰⎰
d 2d
e （4分）
即 C y x y
=+2
e （6分）
15．解： 令dx
y dt
=，则：32dy y x dt =-- 2分
因为01023≠--，又由1
023
λλ-=+得
2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分
故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。
6分
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解：对应的齐次方程的特征方程为：
012
=-λ （1分） 特征根为：
1,121-==λλ （2分）
故齐次方程的通解为： x
x
C C y -+=e
e 21 （4分）
因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为
x
Ax x y e )(1= （6分）
代入原方程，有
x
x x x Ax Ax A e 2
1e e e 2=
-+， （7分） 可解出
4
1
=
A ． （8分） 故原方程的通解为
x
x x x C C y e 4
1e e 21+
+=- （10分）
17．解： 特征方程为 012
1=--=
-λ
λλE A
即 022
=--λλ
特征根为 21=λ，12-=λ （2分） 21=λ对应特征向量应满足
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0021212
11b a
可确定出 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2111b a （5分） 同样可算出12-=λ对应的特征向量为 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡1122b a （8分） 所以，原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）
五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）
18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式 ⎰=-
x
0d )(0e
)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）
)(e
)()(x
0d )(0x p x W x W x s
s p ⎰='-
由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有
0)(>'x W 或 0)(<'x W
故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，
且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分）
显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）
假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01
01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)
这是因为零解也满足初值条件)()(01
01x y x y '== 0， 于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．
这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）。