福建省晋江市毓英中学2017届高三数学第二次月考 推荐

2011年毓英中学高三年第二次月考数学理科试卷一．选择题（每题5分，共75分）1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对2、若},4,2,0{},2,1,0{),(==⋂⊆Q P Q P M 则满足条件的集合M 的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13、2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）A ．4B ．2C ．25D ．35、1:1,:1,p x q p q x≤<⌝已知条件条件则是成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6、设函数2,0()2,0x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0),(2)2,f f f -=-=-则关于x 的方程()f x x=的解的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47、若函数)(),(x g x f 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足xe x g xf =-)()(，则有（ ） A ．)0()3()2(g f f << B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<8、如果函数y ＝f(x)的图象如右图，那么导函数y ＝f '(x)的图象可能是（ ）9、已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足),0((2+∞∈+++=λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心10、函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()()0,()∈⎧=⎨∉⎩M x M f x x M （其中M 是实数集R 的非空真子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足=∅I A B ，则函数()1()()()1+=++U A B A B f x F x f x f x 的值域为 （ ）A ．{}B ．}{1C ．{}0,1D ．∅二、填空题（每题4分，共20分）11、已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．12、如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于 . 13、函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 .14、有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有点 P ，从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向作匀速直线运动，速度为|e 1+e 2|;另一个动点Q,从Q 0(-2,-1)开始沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3e 1+2e 2|。

设P 、Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当⊥00Q P 时，t=____________秒。

15、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于f(x)的判断： ①()x f 关于点P(021,)对称 ②()x f 的图像关于直线1=x 对称； ③()x f 在[0，1]上是增函数； ④()()02f f =.其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)2010-2011学年毓英中学高三年第二次月考数学理科试卷答题卡二、填空题（每题4分，共20分）11. 12.13. 14. 15.三、解答题（共6题，80分） 16、（本题满分13分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（1）求x x cos sin -的值；（2）求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.17、（本题满分13分）已知a、b、c为△ABC的三边，（1）acosA=bcosB，判断△ABC的形状；（2）△ABC的面积为123,bc=48,b－c=2,求a.18、（本题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，5AB AC ==，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是边长为6的正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ； （Ⅲ）求二面角1C AC D --的余弦值．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：53)(+=x kx C )100(≤≤x ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I ）求k 的值及)(x f 的表达式；（II ）隔热层修建多厚时，总费用)(x f 达到最小，并求最小值．已知.21)(),1ln()(2bx ax x g x x f +=+= （1）若)()1()(,2x g x f x h b --==且存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）若1,0==b a 时，求证),1(0)()(+∞-∈≤-x x g x f 对于成立； （3）利用（2）的结论证明：若.2ln )(ln ln ,0yx y x y y x x y x ++>+<<则21、本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．(2)(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：cos()4ρθπ+=与曲线C 2：24,4x t y t ⎧=⎨=⎩（t ∈R ）交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB ． (3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲求证:*N n ∈∀,132212111+≥+++++n nn n n Λ2010-2011学年毓英中学高三年第二次月考数学理科试卷答案一、选择题（每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDDBCDACB二、填空题（每题4分，共20分）11. 73 12. 725-13. ⎝⎛⎭⎫0，32 14. 2 15. (1)(2)(4)三、解答题（共6题，80分） 16、略17．解析：（1）由余弦定理得：a cos A =bc os B )2()2(222222acc b a b bc a c b a +-⋅=-+⋅⇒ ⇒ 0422422=+--b c b a c a2222222222222000))((b a c b a b a c b a b a c b a +==∴=--=-∴=---∴或或 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.（2）解法一：由⎩⎨⎧==-482bc c b ,解得⎩⎨⎧==68c b又∵S △ABC C =312sin 6821sin 21=⨯⨯=A A bc , ∴23sin =A ∴cos A =±21,∴a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A =64+36-2×8×6×(±21)=100±48, ∴a=213或237. 解法二：∵S △ABC =312sin 4821sin 21=⨯⨯=A A bc ,C 1∴23sin =A ∴cos A =±21,∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A =(b -c )2+2bc (1-cos A )=22+2×48×(1±21)=100±48 ∴a =213或a =237 18.（Ⅰ）证明：连结1A C ，与1AC 交于O 点，连结OD ．因为O ，D 分别为1AC 和BC 的中点，所以OD ∥1A B ． 又OD ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1A B ∥平面1AC D ． ……………………4分（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ， 所以1BB AD ⊥．因为AB AC =，D 为BC 中点， 所以AD BC ⊥．又1BC BB B =I ， 所以AD ⊥平面11B BCC ． 又CE ⊂平面11B BCC ，所以AD ⊥CE ．因为四边形11B BCC 为正方形，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 所以Rt △CBE ≌Rt △1C CD ，1CC D BCE ∠=∠．所以190BCE C DC ∠+∠=o．所以1C D ⊥CE ．又1AD C D D =I ，所以CE ⊥平面1AC D ． ……………………8分 （Ⅲ）解：如图，以11B C 的中点G 为原点，建立空间直角坐标系． 则1(0,6,4),(3,3,0),(3,6,0),(3,0,0)A E C C --．由（Ⅱ）知CE ⊥平面1AC D ，所以(6,3,0)CE =-u u u r为平面1AC D 的一个法向量．设(,,)x y z =n 为平面1ACC (3,0,4)AC =--u u u r ，1(0,6,0)CC =-u u u u r．由10,0.AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 可得340,60.x z y --=⎧⎨-=⎩ 令1x=，则30,4y z ==-． 所以3(1,0,)4=-n ．从而cos ||||CE CE,CE ⋅<>==⋅u u u ru u ur u u u r n n n ．因为二面角1C AC D --为锐角，所以二面角1C AC D --的余弦值为25．………12分19、解: （I ）设隔热层的厚度为xcm ,由题设,每年能源消耗费用53)(+=x kx C ．再由8)0(=C ，得40=k ，因此5340)(+=x x C ．……………………………………3分而建造费用为x x C 6)(1=…………………………………………………………………4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为)()(20)(1x C x C x f +==x x x x 6538006534020++=++⨯)100(≤≤x ……………6分（II ）2)53(24006)('+-=x x f ，…………………………………………………………8分令0)('=x f ，即6)53(24002=+x ． 解得325,5-==x x （舍去）．…………………………………………………………10分 当50<<x 时，0)('<x f ，当105<<x 时，0)('>x f ，故5=x 是)(x f 的最小值点，对应的最小值为7051580056)5(=++⨯=f ．当隔热层修建cm 5厚时，总费用达到最小值为70万元．……………………………12分 20、解：（1）x ax x x h b 221ln )(22--==时 21)(--='ax xx h ，)(x h Θ有单调减区间 021,0)(2<--<'∴xxax x h 即有解有解， 0>x Θ 0122>-+∴x ax 有解， ①0≥a 时合题意②0<a 时，044>+=∆a ，即1->a a ∴的范围是),1(+∞-（2）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ1111)(+-=-+='x xx x ϕ)(0x x ϕ时当=∴有最大值0 0)(≤∴x ϕ恒成立即10)()(->≤-x x g x f 对成立 （3）y x <<0Θ )2ln (ln )2ln (ln 2ln )(ln ln yx y y y x x x y x y x y y x x +-++-=++-+ yyx y x y x x y x y y y x x x 2ln 2ln 2ln 2ln+-+-=+++=)21ln()21ln(yyx y x x y x -+--+-= 由（2） 022=-⋅--⋅->yy x y x x y x ， ∴求证成立 21．.解（1）．解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，……………………2分 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ ……………………5分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．……………7分 另解：01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ． 另解：01cos90sin 9010sin 90cos90-︒-︒⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥︒︒⎣⎦⎣⎦M ，看作绕原点O 逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是1cos(90)sin(90)sin(90)cos(90)--︒--︒⎡⎤=⎢⎥-︒-︒⎣⎦M 0110⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）．曲线1C 的直角坐标方程4x y -=，曲线2C 的直角坐标方程是抛物线24y x =， 4分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将这两个方程联立，消去x ，得212416016y y y y --=⇒=-，421=+y y ．………………3分016)(42)4)(4(212121212121=+++=+++=+∴y y y y y y y y y y x x ．……5分∴0OA OB ⋅=u u u r u u u r，∴OB OA ⊥．………………………………………7分（3）．[]22)2()1(212111n n n n n n n ≥+++++⎪⎭⎫⎝⎛+++++ΛΛ,所以 132232)1(2121112222+=+=++≥⎪⎭⎫⎝⎛+++++n n n n n n n n n n n n Λ………………………… 7分。