常微分方程练习题及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。

1、 方程23210d xx dt +=就是 阶 (线性、非线性)微分方程、 2、 方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程 、3、 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个、 4、 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、5、 朗斯基行列式()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、6、 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 、7、 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、8、 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 .9、可用变换 将伯努利方程 化为线性方程、10 、就是满足方程251y y y y ''''''+++= 与初始条件 的唯一解、11、方程的待定特解可取 的形式:12、 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根就是二、 计算题1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+、3、 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。

4.用比较系数法解方程、 、5.求方程sin y y x'=+的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、7.设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、8、 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、9、求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt10、若三、证明题1、 若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、2、 设),()(0βαϕ≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡、3、 设 都就是区间 上的连续函数, 且 就是二阶线性方程的一个基本解组、 试证明:(i) 与 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 与 没有共同的零点;(iii) 与 没有共同的零点、4、试证:如果)(t ϕ就是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解,那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=、答案一、填空题。

1、 二,非线性2、u xy=,11(()1)du dx u f u x=+ 3、无穷多 4、3,2,1αβγ=-==-5、必要6、3y7、1()()t t -'ΦΦ 8、 25 00t Att e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9、10、11、12、 1,二、计算题2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦32()480dy dyxy y dx dx-+=1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意可得如下初值问题:、 分离变量, 积分并整理后可得 、代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 、2、求解方程13dy x y dx x y +-=-+、解:由10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 求得1,2x y =-= 令1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ 则有.d d ηξηξξη+=-令z ηξ=,解得2(1)1z dz d z ξξ-=+,积分得21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+,故原方程的解为222arctanln (1)(2)1y x y C x -=++-++、3、 求解方程222()0d x dxx dt dt+=解 令,直接计算可得,于就是原方程化为 ,故有或,积分后得,即,所以 就就是原方程的通解,这里为任意常数。

4、用比较系数法解方程、 、解:特征方程为 , 特征根为 、对应齐方程的通解为 、设原方程的特解有形如代如原方程可得利用对应系数相等可得 , 故 、原方程的通解可以表示为( 就是任意常数)、5、求方程sin y y x'=+的通解、解:先解y y '=得通解为x y ce =, 令()x y c x e =为原方程的解,代入得()()()sin x x x c x e c x e c x e x '+=+, 即有()sin x c x e x -'=,积分得1()(sin cos )2x c x e x x c -=-++ , 所以1(sin cos )2x y ce x x =-+ 为原方程的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、解:由于22(,)cos sin ,(,)(1)M x y x x xy N x y y x =-=-,因为2M Nxy y x∂∂=-=∂∂所以原方程为恰当方程、把原方程分项组合得22cos sin ()0x xdx xy dx yx dy ydy -++=,或写成2222111(sin )()()0222d x d x y d y ++=, 故原方程的通解为2222sin x x y y C -+=、7.设 3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ,试求方程组X A dt dX=的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、解:特征方程为31det()(2)(5)0,24A E λλλλλ---==++=--求得特征值122,5λλ=-=-,对应122,5λλ=-=-的特征向量分别为1211,,(,0).12V V αβαβ⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦可得一个基解矩阵2525().2tt tt e e t ee ----⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦ ,又因为1211(0)113-⎡⎤Φ=⎢⎥-⎣⎦,于就是,所求的解为=ΦΦ=-ηϕ)0()()(1t t 2525211111132tt t t e e ee ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 25252134t t t t e e e e ----⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦8、 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、解: 令0()0x ϕ=,于就是221001()[213()],xx y x x dx x x ϕϕ=+--=-⎰223452011133()[213()],1025xx y x x dx x x x x x ϕϕ=+--=-+-+-⎰ 9、求的通解32()480dy dyxy y dx dx-+=解:方程可化为3284dy y dx x dy y dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,令dyp dx =则有3284p y x yp +=(*),(*)两边对y 求导得322322(4)(8)4dpy p y p y p y p dy -+-=,即32(4)(2)0dp p y yp dy --=,由20dp y p dy -=得12p cy =,即2()p y c =、将y 代入(*)得2224c px c =+, 即方程的 含参数形式的通解为:22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,p 为参数;又由3240p y -=得123(4)p y =代入(*)得3427y x=也就是方程的解 、试求方程组x Ax '=的解(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt10、若 221()69014p λλλλλ--==-+=-,解得1,23λ=,此时 k=1,12n =。

解:特征方程12v ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,111123322120()()(3)()!it i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑由公式expAt=10()!in tii t eA E i λλ-=-∑得[]33310111exp (3)01111ttt t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭三、证明题 1、 若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、证:()t Φ就是基解矩阵,故1()t -Φ存在,令1()()()X t t t -=Φψ , 则()X t 可微且det ()0X t ≠,易知()()()t t X t ψ=Φ、所以()()()()()t t X t t X t '''ψ=Φ+Φ()()()()()A t t X t t X t '=Φ+Φ()()()()A t t t X t '=ψ+Φ 而()()()t A t t 'ψ=ψ,所以()()0t X t 'Φ=,()0,X t '=()X t C =(常数矩阵),故()()t t C ψ=Φ 、2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦2、 设),()(0βαϕ≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ϕψ≡、证明:由题设,有⎰++≡xx d y x 0,])([)(20ξξξψξψ,)(00y x =ϕ⎰∈++≡-xx n n x x d y x 0],[,,])([)(0120βαξξξϕξϕ,),2,1(Λ=n 、下面只就区间β≤≤x x 0上讨论,对于0x x ≤≤α的讨论完全一样。