解的存在唯一性定理和逐步逼近法
解的存在唯一性定理证明
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法 微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证 因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
《常微分方程》（第三版）教案 汕尾职院数学与应用系 何永金§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理与逐次逼近法 第 1 页 共 13 页 1§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法一、教学目的：讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
二、教学要求：熟练掌握Picard 逼近法，逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，会用Picard 逼近法求近似解。
三、教学重点：Picard 存在唯一性定理及其证明。
四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。
解的存在唯一性定理的证明。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程2dyy dx= 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x c y x c x ££ì=í-£î 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ££上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
第1节 解的局部存在唯一性定理
1 ( x ) y0 y0
x
x0 x
f [ x , 0 ( x )]dx f ( x , y0 )dx
x0
在I上连续，且 当 x I时，有
1 ( x ) y0
x0 f ( x, y0 ) dx x0
x
x
f ( x , y0 ) dx
x0 M dx
即
y0 M x x0 ( x ) y0 M x x0
这意味着： x I时， y ( x )必介于两直线： 当 L1 : y y0 M ( x x0 )
与
L2 :
y y0 M ( x x0 )
所夹的两个阴影区域中.
b b (1) 当 a 时，即 M 时 a M
b 当M 时 a y = (x)不可能从D的
上下边界越出D, 故
y0 b
y
(k
b ) a
当 x [ x0 a, x0 a]时， 曲线 y = (x)完全落
在 f (x, y ) 的定义域
y0
( x0 , y0 )
L2
y = (x)
y0 b
L1
x0 a
x0
D中. 故此时可取
考虑级数：
0 ( x ) [ k ( x ) k 1 ( x )]
k 1
( x I ) (5)
其部分和： n1 ( x ) 0 ( x ) [ 1 ( x ) 0 ( x )] S
[ n ( x ) n1 ( x )] n ( x) (x I)
b h min( a, ) M
4. 定理1的证明思路 (1) 解的存在性 (2) 解的唯一性 (分四步进行证明)
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法
§3.1解的存在唯一性定理与逐次逼近法一、教学目的：讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理。
二、教学要求：熟练掌握Picard逼近法，理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，会用Picard逼近法求近似解。
三、教学重点：Picard存在唯一性定理及其证明。
四、教学难点：解的存在唯一性定理的证明。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：3.1.1．解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dy=dx过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2=或更一般地，函数y x20 0() c<1x c y x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。
而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
§3.1 解的存在唯一性定理 与逐步逼近法
dy f ( x, y) 考虑微分方程初值问题： d x y ( x0 ) y0 (1 )
一、 解的存在唯一性定理
定理1 若方程(1)的右端函数 f (x,y) 在闭矩形域 R：| xx0| a, | yy0| b 上满足如下条件： (1) f (x,y)在R上连续; (2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件, 即存在常数L>0,使不等式 | f (x, y1) f (x, y2)| L| y1y2|, 对于所有(x,y1),(x,y2)R都成立. 则方程(1)在区间| xx0| h上存在唯一的连续解y= (x), 且满足初始条件 (x0)= y0,
ML
n!
( x x0 ) ,
n
则当 x 0 x x 0 h 时 ,由 Lipschitz 条件有
n1 ( x ) n ( x )
x
x
0
f ( , n ( )) f ( , n 1 ( )) d
n1 ( x ) n ( x )
对于积分方程 y y0
x
x
0
f ( t , y )d t , 若存在定义在区间
I [ , ]上的连续函数
y ( x ), 使得
( x ) y0
x
x
0
f ( t , ( t )) d t .
在区间 I 上恒成立 , 则称 y ( x )为该积分方程的解
0
x
x
0
| f ( t , y 0 ) | d t M | x x 0 | Mh b ,
设 n k 时命题 2成立 ,
解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x0 x
y y0 f ( x, y )dx
x0
x
2 ( x) y0 f ( x, 1 ( x)) dx
x0 x
x
3 ( x ) y0
x
x0
f ( x, 2 ( x)) dx … n ( x) y0
y y0 f ( x, y )dx(3.5)
x0 x
定义于 x0 x x0+h 上的连续解,反之亦然.
命题2
命题2 对于所有的 n,函数 n(x) 在 x0xx0+h 上有定 义,连续且满足不等式 | n(x)y0 | b.
命题3
命题3 函数序列 {n(x)} 在 x0 x x0+h 上是一致收敛 的. 注： 1、函数列的一致收敛性 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对 给的正数ε，总存在某一正数N，使得当n≥N时， 对一切x∈D，都有： |fn(x)-f(x)|<ε,则称函数列{fn}在D上一致收敛。
b 其中 h min( a, ), M max | f ( x, y ) | ( x , y )R M
皮卡(Picard)逐步逼近法
思路(区间取为 x0 x x0+h )
(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解; (2)取一连续函数 0(x) 进行迭代求解,构造函数序列: 0(x), 1(x), 2(x),… n(x)…;
2、函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法： 设函数项级数∑un(x)定义在数集D上， ∑mn为收 敛的正项级数，若对一切x∈D，有：
| un(x) |≤ mn
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).
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一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。
为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到，如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
反之亦然。
证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
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§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二 、存在唯一性定理 定理1
dy f (x, y)........(.3.1.1) dx
R : x x0 a, y y0 b
如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于
求解一个积分方程
命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求
初值问题的解
命题 5 证明唯一性
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一阶方程的初值问题
•概念和定义利普希兹条件
定理1
命题1
•存在唯一性定理 定理1的证明命 命题 题32
命题4 命题5
附注
逐步逼近法的思想
定理2
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
•本节要求/Requirements/ ➢ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 ➢ 掌握逐步逼近方法的本思想
2. 利普希兹条件
函数 f (x, y) 称为在矩形域 :
R : x x0 a, y y0 b …………(3.1.5) 关在常数 L>0
使得不等式
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 对所有 (x, y1), (x, y2 ) R 都成立。
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x
2 (x) y0 x0 f ( ,1( ))d
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
dx
两边从x0 到 x 积分得到:
x
(x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
把(3.1.2)代入上式,即有:
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx x0 x x0 h
因此, y (x)是积分方程在 x0 x x0 h上的连续解.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
y
y0+b y0
1 ( x)
y0-b
1 ( x)
o
x0-a x0-h x0 x0+h
x0+a
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法
/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
内容提要/Constant Abstract/
则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 y (x)
定义在区间 x x0 h , 且满足初始条件 (x0 ) y0
这里 h min(a, b ) M max f (x, y)
M
( x, yR)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
dy dx
f
(x, y).................(3.1.1)
上，且满足初始条件(3.1.2)的解。
同理，可证在 x0 h x x0 也成立。
命题1证毕.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
反之，如果 y (x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x
(x) y0 x0 f (x,(x))dx
x0 x x0 h ………(3.1.8)
微分之，得到: d(x) f (x,(x))
dx
又把 x x0 代入(3.1.8)，得到: (x0 ) y0
因此，y (x)是方程(3.1.1)定义于 x0 x x0 h
(x0 ) y0.....................(3.1.2)
F(x, y, y ') 0...........................(3.1.3)
y(
x0
)
y0 ,
y
'(x0 )
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
定理1的证明
命题1
设
y (x)
是初值问题
dy
f (x, y)........(.3.1.1)
dx
(x0 ) y0.............(3.1.2)
的解的充要条件是 y (x) 是积分方程
x
y y0 x0 f (x, y)dx
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
证明
因为 y (x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d(x) f (x,(x))