Peano定理解的存在性定理的应用主讲范进军
解的存在唯一性
解的存在唯一性定理证明及其研究专业名称：数学与数学应用组长：赵亚平组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲指导老师：岳宗敏解的存在唯一性定理证明及其研究摘要线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。
对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。
关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组（一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法存在唯一性定理 考虑初值问题),(y x f dxdy= 00)(y x y = （1）其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2）上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普希茨常数），使不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程⎰+=xx dy y x f y y 0),(0 （3）的连续解。
2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ϕ}，任取一连续函数)(0x ϕ，b y x ≤-|)(|00ϕ代入（3）右端的y ，得……2,1,))(,()(001=+=⎰+n dx x x f y x xx n n ϕϕ3.函数序列{)(x n ϕ}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ϕ。
这里为)(x n ϕ=dx x x f y n xxn ))(,(lim 1-00ϕ⎰∞→+dxx x f y x x f y xxxx n ⎰⎰+=+=∞→0))(,())(,(lim 01-n 0ϕϕ4．)(x ϕ为（3）的连续解且唯一。
Peano定理
R :| x x0 | a, | y y0 | b 上连续，并满足李氏条件，则
y f ( x, y ) Cauchy问题 y ( x0 ) y0
在
| x x0 | h 存在唯一解。
b 其中 h min{ a, }, M max | f ( x, y ) | M
x
( F ( x)e a
) ( x)e a
x
两端在[a, x]上积分，并边乘以
a ( t ) dt e
a
得
x
a (t ) dt F ( x) e
x
( x) exp (t 推论设
( x), ( x)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定义3.1 （Lipschitz条件）设 f(x,y) 在平面区域 R上定义，若存在常数 L>0 使 得对任意 (x, y1), (x, y2) 恒有
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |
则称 f(x,y) 在平面区域 R上满足Lipschitz条件（简称李氏条件），L为李氏常数。
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0
y ( x) y0 f (t , y (t )) dt
x0
x
y0 ( x ) y0 yn ( x) y0 f (t , yn 1 (t )) dt
第二步：证明Picard逼近序列的连续且|x0-x|≤h上满足 运用数学归纳法： n=1时：
| f y ( x, y ) || 2 y | 2
故李氏常数可选为L=2。
与精确解得误差为不超过0.05时 n=3。
Cauchy-Peano解的存在性定理的一种证明方法
假设、 EK ‘ ,nENJ, - X,n--)m 4 Q 于 对 是， 任意的 。o, 在 MEN， >M,IEI 当， 时， (t)一o(t) Wx: 一oISe 有}x, T x
因此， 在区间I 上一致收敛于xo从而由 二 。
C auchy-Picard 讨论了 数 t, x)在R 若函 f i
q(t)=f+Jf(s,, (s))d tE1 P s,
定理证毕. 参考文献:
1,Cauchy- Pe， 解的 在性定 存 理 若函 f t, x)在R - 1中的 域 数 i 某区 G I a.1 一 s b 上是连续的， :I卜r 5 二 Cl 则Cauchy 问 题:
即” eK.因 ， 闭 此K是 的
所以 }(X) 一 Sb 有 }1
故 r :K - K 4
刀 hauder J P.Zur Theorie stedger Abbil舜 dungen in ,Math Zeit,1927,26.47- 65
(1)
北京 :业京大学出 版社， 2003. [31 时宝张 ， 久 徽分方 论及 ， 德存 盖明 . 程理 其 !M .北 : 国 工业出 社， 应用 ] 京 防 版 2005.
业务需求。
脚张 庆， 恭 林源果 泛函 析讲义 . 分 件册 叮 刃
状态下， 经过十几分钟输人完数据， 突然被告知 输人无效， 一切都得重来， 心中的恼火可想而 轮船维修系统由于用户工作条件复杂， 数 在系统地性能与可用性之间发生冲突时， 我 据录人不方便 (例如大多数键盘是固定的) ， 录 知。 人的数据量又比较大， 操作时间较长。 因此客户 们认为在这里可用性占据重要位置。在这种情 我们结合数据争用情况， 综合运用两种会 提出当一个用户修改记录时， 将对该记录锁定， 况下， 其他用户不能修改该记录， 避免录人数据无效。 话锁。 具体办法为: 要实现这一要求， 数据库的锁定策略就显得十 1、 根据具体情况设置锁定方式。 例如设备/ 分重要。 乍一看， 采用悲观事务锁似乎就能解决问 装备管理:设备 在数据 初始化后， 极少变 但 动， 在更新设备数 题， 在用户第一次进入修改界面时， elect for 是系统需要获取最新设备数据， 以， 不允许其他人对系统操作， 此时使用悲观 update 方式 读取记录， 用户 数据， 然后 提交 释放 据时， 离线锁，并使用独占读锁， 其他人不能访问数 锁。 然而， 这种方式有着两个致命的弱点: 而在装备管理中， 每一台装备对应单个管理 l , 表面上好像是连续的 W eb- 据。 管理员只能看到自己的装备， 极少发生数据 Form。 其实它的本质仍然是断开的， 要保证用户 员， 在读取数据时和提交数据时使用同一数据库连 争用的情况， 因此采用乐观离线锁。 2、该业务逻辑修改只涉及到一条记录时。 接， 保证两次访问数据库都处在同一事务中是 在相关表上增加 islocked,lockuserid 字段，当用 十分困难的。 进入 即 i 设为 2、 如果在用户与程序的交互过程中， 保持 户 修改时， 修改islocked,lockuser d， Session 和数据库事务是打开的， 保持数据库锁 锁定标志，当用户退出修改界面或者更新成功 时， 解锁。 定， 以阻止并发修改， 从而保证数据库事务隔离 3、 精确地控制锁定粒度。当业务逻辑需要 级别和原子操作， 会导致应用程序无法扩展并 这些记录往往对应一个父表， 发用户的数目。 如果一个用户需要一个连接， 在 锁定大量记录时， 基于web 的应用和企业应用中，这样做是无法 这时将锁表与父表的粗粒度锁集合关联并为此 表添加列来保存会话锁定信息。 接受的。 4、 在开发过程中应该注意， 当执行某个操 其实， 这种对 的锁定要求出现在整个 尽量开始时就一次性的锁住所有需要的 交互期间， 正确的策略应当是使用会话锁。 究竟 作时， 资源， 在执行过程中不再请求其它资源(使之不 是选定乐观会话锁定还是悲观会话锁定呢? 在 操作结束后释放锁。 这里， 于多名船员监管同一合装备， 由 常常出现 满足死锁的第一个条件) ， 5、 给锁增加时间控制。 由于b/s 模式工作在 冲突， 引起严重的用户争用问题。 用户在颠簸的
泛函分析中的定理
泛函分析中的定理泛函分析是数学中重要的一个分支，研究的是无限维空间上的泛函和函数序列的性质及其应用。
在泛函分析中，有很多重要的定理和结果，下面我们来介绍一些。
1. 资格定理（Hahn-Banach Theorem）：资格定理是泛函分析中的基础定理之一、它表明，在实或复的赋范空间中，对于任意一个线性泛函 f，如果它在一个线性子空间 M 上的限制所满足的条件可以表示为一个线性不等式，那么总是存在一个线性泛函 F，它在整个空间上与 f 一致，并且满足给定的限制条件。
资格定理的应用十分广泛，例如可以用来证明一些存在性定理，如存在性定理。
2. 化大定理（Banach-Alaoglu Theorem）：化大定理是泛函分析中的基本定理之一，它描述了拓扑空间上单位球面上的点列（依范数拓扑）的一些性质，并且证明了它在乘积空间中的相对紧致性。
化大定理的一个重要应用是弱收敛性的刻画，即如果一个序列具有其中一种趋向，那么可以通过化大定理证明它在一些拓扑意义上收敛于一些点。
3. 谱定理（Spectral Theorem）：谱定理是泛函分析中的一个重要定理，描述了自伴算子（或称为厄密算子）在希尔伯特空间上的一些性质。
谱定理指出，一个自伴算子的谱分解具有简洁的形式，在一定条件下，可以通过一个单位正交基来展开。
谱定理的一个重要应用是量子力学中的哈密顿算子的谱分解。
4. 开映射定理（Open Mapping Theorem）：开映射定理是泛函分析中一个重要的定理，表明如果一个线性映射将一个开邻域映射成一个非空邻域，那么这个映射就是一个开映射。
开映射定理是泛函分析中非常有用的工具，它可以用来证明闭图像定理，即一个连续线性映射的图像是闭的。
5. 闭图像定理（Closed Graph Theorem）：闭图像定理是泛函分析中一个重要的定理，它表明如果一个连续线性映射的图像是闭的，那么它的图像和定义域之间的关系也是闭的。
闭图像定理是泛函分析中很有用的工具，它可以用来证明一些重要的结果，如开映射定理、逆映射定理等。
banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方程解的关系
banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方
程解的关系
Banach空间常微分方程解的存在定理及其解与纯量方程解的关系：
1.Banach空间的含义：
Banach空间是一类模式空间，它被引入到几何空间的代数结构中，用于处理泛函分析、函数拓扑以及更复杂的物理理论。
它们是线性的、具有正定的距离函数的完备的空间，通常被广泛应用于几何分析、物理学和工程学中。
2. Banach空间常微分方程的存在定理：
Banach空间常微分方程存在定理指的是关于存在解的结果，它确定在Banach空间中存在一个微分方程的具有内在满足性的解集。
首先，定义称Banach空间X上的具有Lipschitz连续梯度的局部Lipschitz函数f 称为C-Lipschitz函数，用f表示，C-Lipschitz函数f(t，u)满足条件：它存在bounded set K 这标量K，只要u ,v∈ K，都有：|f(t,u)-f(t,v)|
≤CL|u-v|,其中C是定数。
3.Banach空间常微分方程解与纯量方程解的关系：
Banach空间常微分方程解与纯量方程解之间存在着相关性。
纯量方程是一种特殊的微分方程，它只含有某一变量的函数表达式，这变量满足所给的微分方程。
而Banach空间常微分方程作为普通的微分方程，
它的解需要满足常微分方程的某种形式的局部Lipschitz函数；纯量方程的解仅仅可以从一个内在参数出发，它通过一个连续的基本表达式满足局部Lipschitz不变条件，从而在Banach空间上获得解集，而这个表达式只是纯量变量的函数表达式。
因此，纯量方程解和Banach空间常微分方程解之间存在着相关性。
解的存在唯一性定理与逐步逼近法.ppt
并且对y满足Lipschitz条件 :
即存在L 0,使对所有(x, y1), (x, y2 ) R常成立
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
则初值问题(3.1)在区间x x0 h上的解存在且唯一,
这里h min(a, b ),M Max f (x, y)
M
( x, y)R
(5)解唯一
下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下 含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
如 : y e x x y(t)dt, 就是一个简单的积分方程. 0
积分方程的解
对于积分方程y y0
x x0
f (t, y)dt,如果存在定义在区间I [, ]上
证明思路 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程
dy dx
f (x, y) , (3.1)
y(x0 ) y0
x
y y0 x0 f (t, y)dt
(3.3)
的连续解.
(2) 构造(3.3)近似解函数列 {n (x)}
任取一连续函数0 (x)，0 (x) y0 b，代入(3.3)右侧的y，得
问题: 这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分是否有 意义?
命题2 对于所有n和x [x0 , x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b,
(3.8)
证明 (用数学归纳法)
n 1时
x
1(x) y0 x0 f (,y0 )d
显然1 (x)在[x0 , x0 h]上连续,且
dy dx
f (x, y) , (3.1)
y(x0 ) y0
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
Peano定理
成立。其中 || || 是欧氏空间
n
的欧氏距离范数。
则初值问题(*)在 x0 的一个邻域 [ x0 h，x0 h] 上有唯一解。
证明：在区间 [ x0 h，x0 h] 上，初值问题等价于积分方程：
y ( x ) y0 f ( x, y ( x )) d x
x0 x
（**）
|| Ty1 Ty2 ||C max || f ( x, y1 ( x)) d x f ( x, y2 ( x)) d x ||
|x x0 | h x0 x0 x x
max
|x x0 | h
x
x0
||f ( x, y1 ( x)) f ( x, y2 ( x )) || d x
的求解问题。 令 C[ x0 h，x0 h ] 为定义在区间 [ x0 h，x0 h] 上的所有连续函数（向量值）组成的集 合。
D[ x0 h，x0 h ] 为定义在区间 [ x0 h，x0 h ] 上且其图像包含在 G0 的所有连续函数组
成的集合。
定义 Picard 映射如下：
其中 || ||C 连续函数空间 C[ x0 h，x0 h ] 上的最大值范数。即
|| f ||C
|x x0 | h
max | f ( x) | ，f C[ x0 h，x0 h ]
由 Lipschiz 条件有：
|ห้องสมุดไป่ตู้ Ty1 Ty2 ||C max
|x x0 | h
( x，y )G0
所以映射 T 是 D[ x0 h，x0 h ] D[ x0 h，x0 h ] 的映射。要证明积分方程(**)有唯一解，也 就是要证明映射 T 存在唯一的不动点： Ty * y * 。 因为对任意的 y1，y2 D[ x0 h，x0 h ] ，有
peano核定理
peano核定理Peano核定理是数学中的一种公理系统，用于描述自然数集合及其运算。
它是由意大利数学家Giuseppe Peano于19世纪末提出的，被认为是数学史上的重要里程碑之一。
Peano核定理的核心思想是通过一组简单而清晰的公理来定义自然数集合及其基本运算。
这些公理包括以下五条：1. 0是一个自然数；2. 每个自然数x都有一个后继数，记作S(x)；3. 没有两个不同的自然数有相同的后继数；4. 0不是任何自然数的后继数；5. 如果一个性质P属于0,并且如果一个性质Q属于某个自然数x,则该性质Q也属于S(x),那么这个性质P就属于所有的自然数。
这些公理的含义可以解释如下：第一条公理规定了0是自然数集合中的一个元素。
第二条公理定义了后继数的概念，即每个自然数都有一个“下一个”更大的自然数。
这个后继数被定义为当前自然数与1的和。
例如，1的后继数是2,2的后继数是3,依此类推。
第三条公理保证了没有两个不同的自然数具有相同的后继数。
这意味着自然数集合中的元素是离散的，没有重复的元素。
第四条公理排除了0作为任何自然数的后继数的可能性。
这是因为如果我们将0视为任何自然数的后继数，那么就会出现矛盾的情况。
例如，假设2是0的后继数，那么根据第二条公理，2的后继数应该是3。
但是这与我们的假设相矛盾，因为如果我们将2视为0的后继数，那么3就应该是2的后继数而不是1的后继数。
因此，第四条公理保证了自然数集合中的第一个元素是1而不是0。
第五条公理描述了归纳法的基本思想。
它表明，如果一个性质属于0,并且如果一个性质属于某个自然数x,则该性质也属于S(x),那么这个性质就属于所有的自然数。
这意味着我们可以通过对较小元素的观察来推断较大元素的性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用
（主讲：范进军）
例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理：
设D 是空间 n
R R ´ 内的一个区域，函数 :;(,)(,) n
F D R t x F t x ®® 是连续可微的， 而且满足条件
00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0,
x F t x ¹ 其中初值 00 (,) t x D Î 。
则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数
() x x t = 。
证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x ¹ （其中 00 (,) t x D Î ）知，存在充分小的矩形区域
{ } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =δ-£-£> ,
使得当(,) t x Q Î 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数
1 (,){(,)}(,)
x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。
根据 Peano 定理知，初值问题
00
(,), () dx
f t x
dt x t x ì = ï í ï = î 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =Î-+> 。
从而
1 ()
{(,())}(,()) x t d t F t t F t t dt
j j j - =- ， 0 || t t h -£ 。
它等价于
()
(,())(,())
0 t x d t F t t F t t dt
j j j += ， 0 || t t h -£ , 即
(,())
0 dF t t dt
j = ， 0 || t t h -£ 。
因此，
(,()) F t t C j = （常数）， 0 || t t h -£ 。
再由初始条件得 00 (,)0 C F t x == 。
故 () x t j = 满足恒等式 (,())0 F t t j = ， 0 || t t h -£ 。
这就证明了 (,)0 F t x = 至少存在一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数 () x t j
= 。
下面再证隐函数的唯一性。
设 1 () x t j = 和 2 () x t j = 都是方程 (,)0 F t x = 满足初始条 件 00 () x t x = 的隐函数。
则我们有
12 (,())(,())0 F t t F t t j j -= ， 0 || t t a -£
， 其中 0 a > 为适当下的常数。
另外对向量函数 (,) F t x 的第i 个分量 (,) i F t x 应用 Lagrange 中值公式，得
1 1 (,()()())()0 n
i
i j j j
F t t t u t u t x j q = ¶ += ¶ å ， 1,2,, i n = L , 其中 21 ()()() u t t t j j =- ， () j u t 是 () u t 的第 j 个分量，而 () i t q 满足不等式0()1 i t q << 。
注意，当a 充分小时， 210 ()() t t x j j »» ，从而上述线性方程组的系数矩阵近似于
00 (,) x F t x ，所以它是非退化的。
因此，上线性方程组蕴含
()0 u t = ，亦即 21 ()() t t j j = 。
这就证明了唯一性。
证毕。