第1讲中值定理和有关方程的根问题
第一轮复习之微分中值定理及应用
B.
情形Ⅱ：设 f(x)在区间 I 可导，如果 x0 I ，且满足 f ( x ) 0 ，
x x0 ; f ( x ) 0 , x x0 ,则 f(x)在 x x0 取得最小值。
C.
情形Ⅲ：设 f(x)在（a b）可导，又 lim f ( x ) lim f ( x ) ，则
四、
微分中值定理：
函数的切线 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 始终在曲线的上方
微分中值定理建立了函数增量，自变量增量，与导数的关系。
i.
费马定理： 若 y f ( x) 在 x x0 可导，且取极值，则 f ( x0 ) 0 几何意义：切线平行 x 轴。
ii.
有界闭区间上连续函数的性质：
A.
连续函数中间值定理：设 f ( x) 在区间 a, b 上连续， f (a) f (b) ，则 对于 f (a ) 和 f (b) 之间的任何数 ，必然有 c
a , b ，使得
f (c ) 。
B.
连 续 函 数 的 零 点 存 在 定 理 ： 设 f ( x) 在 a, b 上 连 续 ， 又 它们异号） ， 则 c f ( a ) f ( b ) 0（即： 使得 f (c) 0 。 a , b ，
三、
凹凸性的判别：
A.
定义：设函数 y f ( x) 在区间 I 上连续，若对于区间上的任意不同两 点 x1 、 x2 ，恒有： f (
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2
称 y f ( x) 在区间 I 上是凸的。
B.
凹凸性的判别定理： 设函数 y f ( x) 在区间 [ a , b ] 上连续， 在 a, b 上可导，则： ① 函数在区间上凸的充要条件是 f ( x) 0 ② 函数在区间上凸的充要条件是 f ( x) 单调递减（斜率单调递减） 。 ③ 函数在区间上凸的充要条件是 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x)
高等数学电子教案第三章(西北大学)
第三章 微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。
本节介绍三大中值定理。
一 罗尔中值定理：1． 极值的定义：设)(x f 在区间I 上有定义，I x ∈0且存在I x U ⊂)(0，对任意)(0x U x ∈，())()()()(00x f x f x f x f ≥≤，则称0x 是)(x f 的极大值点（极小值点）。
)(0x f 是极大值（极小值），通称为极值。
注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）● 极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。
● 极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。
● 极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。
2． 费马引理（Fermat ）：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果)1()(x f 在0x 点可导; )2(0x 是)(x f 的极值点.则0)(0'=x f .说明： （1）几何意义：)(x f 在0x 点存在切线，若0x 是极值点，则切线是平行于x 轴的。
（2）理论证明：只要证明0)()(lim00=--→x x x f x f x x ，即0)()(0'0'==-+x f x f .3．驻点：通常把0)(0'=x f 的点0x 称为)(x f 的驻点（临界点、稳定点）● 驻点不一定是极值点。
如：3x y =，0=x 不是极值点，在该点的两侧单调增加。
● 极值点不一定是驻点，如：x y =，0=x 是极小值点，但在该点不可导。
4．罗尔定理(Rolle)：如果函数)(x f 满足)1(],[b a 上连续； )2(),(b a 内可导； )3()()(b f a f =. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf .● 几何意义：连续光滑曲线（无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x 轴。
拉格朗日中值定理1
一拉格朗日中值定理1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.2.定理意义拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值。
其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数在两点、之间不存在垂直于x轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点，这一点的切线平行于直线AB。
中值定理证明方法总结
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
g f((b b)) g f((a a))g f(()), (a,b)
即证 f()f(b)f(a)g()0
g(b)g(a) 设 F(x)f(x)f(b)f(a)g(x)
g(b)g(a) 原函数法
F(x)f(x)f(b)f(a)g(x) g(b)g(a)
内可导, 证明至少存在一点 (a,b), 使
f (a) f (b) f() g(a) g(b) g() 0 h(a) h(b) h()
说明 若取 h ( x ) 1 ,g ( x ) x ,f( a ) f( b ) ,即为罗尔定理;
若取 h(x)1,g(x)x, 即为拉格朗日中值定理;
若取 h (x) 1 ,g(x)0,即为柯西中值定理;
gf ((aa())a,bgf)((,bb使))
h(a) h(b)
Fghf((((f))))(a)0,ghf即(((aab)))
ghf((bb()))f ()
F()hfgh((a((aaa)))) hfgh((b(b(bb))))g(gh)(())gf((aa0))
f(b) g(b)
h()
设 f(x),g(x),h(x)都在 (a ,b) 上连续 , 且在[a , b]
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例2.
设 f ( x) 在 [0,1] 连续，(0 ,1) 可导，且 f(1)0,
求证存在 (0,1),使 nf() f()0 .
证：设辅助函数 (x)xnf(x)
辅助函数 如何想出来的？
显然 (x) 在 [ 0 ,1] 上满足罗尔定理条件,
因此至少存在 (0,1), 使得
高数第三章第一节中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
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结束
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x) x
罗尔定理
f (b) f (a) F ( x) x
柯西中值定理
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
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柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相除即得结论. 错!
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
中值定理
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
第一讲微分中值定理
第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时 2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧AB是函数)(x fax∈的图形．这(b[,y=])是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X 轴的切线，即)(x f 在),(b a 内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现在曲线弧AB 的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧AB的最高点C 的横坐标为ξ，则()0'=ξf ．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马()Fermat 定理．费马定理 设函数()x f 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有()()0x f x f ≤()()()0f x f x ≥或，则()00'=x f ．分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设0()x U x ∈时，()()0x f x f ≤．于是，对于00()x x U x +∆∈，有()()00f x x f x +∆≤，从而当0>∆x 时，()()000≤∆-∆+x x f x x f ； 当0<∆x 时，()()000≥∆-∆+x x f x x f ．由于函数()x f 在0x 处可导，上述两式的左端当0→∆x 时极限皆存在，因此由极限的保号性知()()()()0lim 0000'0'≤∆-∆+==+→∆+x x f x x f x f x f x ，()()()()0lim 0000'0'≥∆-∆+==-→∆x x f x x f x f x f x ． 所以，()00'=x f ．类似地可证明0()x U x ∈时，()()0x f x f ≥的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在0x 点可导，且函数在0x 点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点0x 处的导数一定为零，即()00'=x f ．由图1知，函数()x f 在ξ处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明 由于()x f 在[]b a ,上连续，所以()x f 在[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样，只有两种可能的情形：(1) m M =．此时对于任意的[]b a x ,∈，必有()M x f =．故对任意的()b a x ,∈，有()0'=x f ．因此，()b a ,内任一点皆可作为我们找的ξ．(2) m M >．因为()()b f a f =，所以M 和m 中至少有一个不等于()a f ．不妨设()a f M ≠，则在()b a ,内必有一点ξ，使得()M f =ξ．又因为对于任意的[]b a x ,∈，有()()ξf x f ≤，且()f ξ'存在．故由费马定理知，()0'=ξf ．类似可证()a f m ≠的情形．罗尔定理成立．例1 不求出函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()'0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间．分析 讨论方程()0'=x f 的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，ξ实际上是方程()0f x '=的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数()x f 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．ξ即为方程()0'=x f 的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程()0'=x f 至多有两个实根．而由函数()x f 的表达式知，()()()321f f f ==．因此，[]1,2和[]2,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程()0'=x f 的一个实根． 解 因为()x f 在[]2,1和[]3,2上连续，在()2,1和()3,2内可导，且()()()1230f f f ===，所以由罗尔定理知，在()2,1内至少存在一点1ξ，使得()01'=ξf ，在()3,2内至少存在一点2ξ，使得()02'=ξf ．1ξ和2ξ都是方程()0f x =的实根．又由代数学基本定理知，方程()0'=x f 至多有两个实根，所以方程()0'=x f 必有且只有两个实根，它们分别位于()2,1和()3,2内．小结 利用函数的性质讨论()0'=x f 的根(也称为()x f '的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中()()b f a f =这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把()()b f a f =这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．设图2中曲线弧AB 是函数)(x f y =]),[(b a x ∈的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即()()f a f b ≠．不难发现在曲线弧AB 上至少有一点c ，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦AB ．若记c 点的横坐标为ξ，则曲线在c 点处切线的斜率为()ξ'f ．而弦AB 的斜率为()()a b a f b f --．因此()()()ξ'f ab a f b f =--()()()()()a b f a f b f -=-ξ'或． 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日()Lagrange中值定理．拉格朗日中值定理若函数()x f满足(1)在闭区间[]b a,上连续；(2)在开区间()b a,内可导，则在()b a,内至少存在一点ξ，使得()()()()abfafbf-=-ξ'()()()⎪⎭⎫⎝⎛=--ξ'fabafbf或．（１）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于()()b faf=，弦AB是平行于x轴的，因此点c处的切线不仅平行于x 轴，实质上也是平行于弦AB的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数()x f不一定具备()()b faf=这个条件，为此我们设想构造一个与()x f有密切联系的函数()xϕ(称为辅助函数)，使()xϕ满足条件()()baϕϕ=及罗尔定理的另外两个条件，并对()xϕ应用罗尔定理，然后再把对()xϕ所得的结论转化到()x f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数()x ϕ呢？若记图2中弦AB 的方程为()x L y =，那么根据所构造的辅助函数()x ϕ需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现()()x L x f -这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记()()()x L x f x -=ϕ，则函数()x ϕ与()x f 有着密切的联系；第二，由于曲线弧AB 与弦AB 在B A ,两点相交，因此，()()()0=-=a L a f a ϕ，()()()0=-=b L b f b ϕ，即()()b a ϕϕ=；第三，由于函数()x f y =和()x L y =在[]b a ,上都连续,在()b a ,内都可导，因此()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件．至于对()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．拉格朗日中值的证明 弦AB 的直线方程为()()()()()a x a b a f b f a f x L ---+=．因此，函数()()()()()()a b ab a f b f a f x f x -----=ϕ, (2)且()()()()a b a f b f x f x ---=''ϕ．对函数()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理知，在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()0'=---a b a f b f f ξ，()()()ξ'f a b a f b f =--．定理得证．由上述证明可知，函数()x ϕ正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数()()()x L x f x -=ϕ的几何意义是什么？在图2的闭区间[]b a ,上任取一点x ，并过x 作与纵轴平行的直线，交弧AB 于M ，交弦AB 于N ，则有向线段NM 的值恰好是我们所构造的辅助函数()()()x L x f x -=ϕ．其中()x f 为M 点的纵坐标，()x L 为N 点的纵坐标．几点说明：(1) 显然，公式()1对于a b <也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2) 设x 为区间[]b a ,上一点，x x ∆+为该区间内的另一点()00<∆>∆x x 或，则公式（１）可写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+=-∆+θ'()10<<θ． ()3(3) 若记()x f 为y ，则()()x f x x f y -∆+=∆，于是()3式又可写成()x x x f y ∆⋅∆+=∆θ'()10<<θ． ()4我们知道，若函数()x f y =在x 处可微，则()y dy o x ∆=+∆．这时可以用函数()x f y =的微分()x x f dy ∆='来近似地代替函数增量y ∆，并且所产生的误差()x dy y ∆=-∆ 是比x ∆高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而()4式给出了自变量取得有限增量x ∆()不一定很小x 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，()4式也称为有限增量公式．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．我们知道，如果函数()x f 在某一区间上是一个常数，则()x f 在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．定理 若函数()x f 在区间I 上的导数恒为零，则()x f 在区间I 上是一个常数．证 在区间I 上任取两点21,x x ()21x x <，应用()1式即得()()()()12'12x x f x f x f -=-ξ()21x x <<ξ．由题设知()0'=ξf ，所以()()012=-x f x f ，即 ()()12x f x f =． 因为21,x x 是I 上任意两点，所以()x f 在区间I 上是一个常数．这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式． 例2 证明当0>x 时， ()x x x x <+<+1ln 1．分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中()b a ,∈ξ，而不知道ξ具体等于多少？但根据ξ在b a ,之间的取值却可以估计出()ξ'f 的取值范围，或者说可以估计出()ξ'f 取值的上下界．分别用()ξ'f 取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的()ξ'f ，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数()f x 和相应的区间[]b a ,．那么怎样去找函数()x f 和相应的区间[]b a ,呢？注意，拉格朗日中值公式()()()ξ'f a b a f b f =--的左端是很有特点的，它恰好是函数()x f 在区间[,]a b 上的增量与区间[]b a ,的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为()()a b a f b f --的形式，就不难确定函数()x f 和相应的区间[]b a ,了．对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：()11ln 11<+<+x x x ，()()1001ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为()x +1ln ，相应的区间为[]x ,0．如果我们对原不等式再做另外一种变形，即()11ln 11<+<+x x x ，()()1111ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为x ln ，相应的区间为[]x +1,1．确定了所需要的函数()x f 及相应的区间[]b a ,后，接下来就是对函数()x f 在[]b a ,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界了．证 方法一设()()x x f +=1ln ，显然()x f 在区间[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得()()ξξ+==+111ln 'f x x x <<ξ0由于x <<ξ0，所以11111<+<+ξx ，即()11ln 11<+<+x x x ，()x x x x <+<+1ln 1．方法二设()x x f ln =，显然()x f 在区间[]x +1,1上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数()x f 在区间[]x +1,1上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数()x f 并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线()x f y =的弧AB 上，处端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在该弧上至少存在一点c ，使曲线在c 点处的切线平行于弦AB ．若我们不用()x f y =来表示连续的曲线弧AB ，而用参数方程来表示连续的曲线弧AB ，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧AB 由参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X ()b x a ≤≤表示，见图3 ，其中x 为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点()Y X ,处切线的斜率为 ()()x F x f dx dy ''=， 弦AB的斜率为()()()()a F b F a f b f --．假定点c 对应于参数ξ=x ，那么曲线上点c 处的切线平行于弦AB 可表示为()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--．与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西()Cauchy 中值定理．柯西中值定理 若函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，()0'≠x F ，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--． ()5证 首先我们来证明在已给条件下()()0≠-a F b F ．显然函数()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有()()()()a b F a F b F -=-η'()b a <<η．由于b a <<η，由假定知()0'≠ηF ，又0≠-a b ，所以 ()()0≠-a F b F ．类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段NM 的值的函数()x ϕ作为辅助函数，见图3 ．这里点M 的纵坐标为 ()x f Y =，点N 的纵坐标为()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f Y ---+=，于是 ()()()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ． 由假定知，函数()x ϕ在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b a ϕϕ，()()()()()()()x F a F b F a f b f x f x '''---=ϕ．因此，()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，故在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()()()()0''=---ξξF a F b F a f b f f ．由此得 ()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--，定理证毕．很明显，如果取()x x F =，那么()()()1,'=-=-x F a b a F b F ，因而公式()5就可以写成()()()ξ'f a b a f b f =--，这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．显然公式()5对于a b <也成立，()5式称做柯西中值公式．最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧AB 上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点c ，使曲线在c 处的切线平行于弦AB ．当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧AB 用参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X , ()b x a ≤≤表示，我们就得到了柯西中值定理．罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下： f ξ'=−−−−→ 推广 ()()f a f b =←−−−−特殊情形()()()f b f a f b a ξ-'=- 推广F x x =←−−−−−特殊情形()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-。
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（2） 两个不同的 , , 使f ( ) f ( ) 1
证明(1)
F ( x) f ( x) 1 x, F (0) f (0) 1 0 1 0 F (1) f (1) 1 1 1 0
所以有 F (0).F (1) 0 ，由零点定理即证
1 f ( n ) ( x )( x x ) n n 0 0 !
b
( n 1) n 1 1 (n f ( )( x x ) 0 1) !
补充：导数零点定理，导数介值定理 定理10、设 f ( x)在[a, b] 上可导，当
f (a). f(b) 0时， (a, b), 使f ( ) 0
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间) ②
公式 ① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 注意到
Rn ( x) o[( x x0 ) n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
1.1基本理论综述
一、涉及函数 f ( x) 的中值定理
设 f ( x)在[a,b] 上连续，则 定理1、有界性 f ( x) k , (k 0)
定理2、最值性 m f ( x) M 定理3、介值定理：当 m u M时， [a, b], 使得f ( ) u 定理4、零点定理：当 f (a). f (b) 0时， (a, b), 使得f ( ) 0 二、涉及导数（微分）f ( x) 的中值定理
证明：用 将 [0,1] 划分为 [0, ],[ ,1] ，在这两个区间 上分别对 f ( x) 使用拉格朗日中值定理，得
1 f ( ) f (0) f (1 )( 0) f (1 ) f ( ) f (1) f ( ) f ( 2 )(1 ) 1 1 f ( 2 ) 1 f ( )
罗尔定理,或利用费尔马定理（都是对n-1阶导数用）
（4）若结论中有两个中值，则优先考虑应该大区间分 为若干小区间，在各个小区间多次使用拉氏定理， 或者直接考虑柯西中值定理 （5）若结论中含有高阶导数，则优先考虑泰勒公式 （6）若结论中含有函数及其各阶导数，则优先考虑 拉格中值定理或者泰勒公式将其联系起来
第一讲：中值定理和有关方程根的问题
中值定理在竞赛中具有特殊的地位，它是高数中不多的
一种逻辑证明类的问题，分析味道足，综合性强，对数学
逻辑推理能力要求较高，很多同学对此比较畏惧，主要
是因为我们平时学习中没有引起足够重视，训练不够。 方程根的问题，属于微积分应用的范畴。
主要内容：1、闭区间上连续函数的性质（有界性，最 值性、零点定理、介值定理） 2、微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日，柯西中值定理 ，泰勒中值定理（公式））
定理11、设 f ( x)在[a, b] 上可导，当
f (a) f (b)，介于f (a)与f(b)之间， 则 (a, b), 使f ( ) b 三、涉及积分 f ( x)dx 的中值定理
a
定理12
f ( x)在[a, b] 上连续 则至少存在一点
a f ( x) dx f ( )(b a)
a f ( ) a M m 2 3 a 2 2 a 2!x dx a 2! x dx a 2! x dx m a3 a f ( x)dx M a
由介值定理，存在
3 [a, a], 有f ( ) 3 a
a
a
f ( x)dx
(0,1) 内可导，且 例11、已知 f ( x)在[0,1]上连续， f (0) 0, f (1) 1 证明：（1） (0,1), 使f ( ) 1
0 0 0 0
1
1
1
1
1 1 1 m 2m. 2 f ( x)dx 2M . M 即， 0 2 2
由介值定理，
至少存在一点 [0,1]，使得 f ( ) 20 f ( x)dx f (0) 0 ，证 例10、 设 f ( x)在[a, a] 上有连续的二阶导函数，
3 [ a , a ], 有 f ( ) 存在一点 a3
1
a
a
f ( x)dx
分析（1）闭区间，优先用介值定理
f ( ) 2 f , f 可考虑用泰勒公式 f ( x ) f (0) f (0). x x （2） 2!
对展开式两端积分得
a
2、若结论中的中值属于开区间，且需要做辅助函数， （1）将结论中的中值 改写为 x ，通过整理使等式 一端为0，另一端记为 F * ( x) ，令 F ( x) F * ( x) 验证 F ( x) 是否满足零点定理，满足则命题成立， 若不满足，则 （2）改令
F ( x) F ( x)
由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
(k )
f
( x) e ,
b
1.2思路与例题解析 一、有关思路总结 1、根据欲证结论的形式大致确定需要用哪一个或哪几 个定理，一般来说 （1）如果结论中的中值属于闭区间，则优先考虑介值 定理 （2）若结论中的中值属于开区间，则优先考虑微分
中值定理（比如拉氏定理）等
(n) F ( ) 0 ，则优先考虑 （3）若结论比较简单，如
a
f ( x)dx f (0)dx f (0) xdx
a a a a
a
a
a
a
f ( ) 2 x dx 2!
f ( ) 2 x dx 2!
由于 f ( x)在[a, a] 上连续，故 m f ( x) M , 则m f( ) M
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba
F ( x) x
a b x 柯西中值定理
o
y
n0
y f ( x)
泰勒中值定理
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
o f ( x0 )( x x0 ) f ( x) f ( x0 ) a x
f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) n ( x x0 ) o[( x x0 ) n ] ④ n!
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
f (0) f (1) f ( 2) 3
M
f (c ) 1 f (0) f( 1) f ( 2) 3 1 , f ( 3 ) 1 分析: 所给条件可写为 3 f (c) f (3) 1, 且 f ( x) 在[c, 3] 上连续 c, ))内可导 , f (0) ,f在 (1)( f3 (2 想到找一点 c , 使 f (c) 3 f ( ) 0. 由罗尔定理知, 必存在 (c, 3) (0, 3) , 使
f ( ) 0.
证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[0, 2]上连续, 且在
[0, 2]上有最大值 M 与最小值 m, 故
m f (0), f (1), f (2) M
f (0) f (1) f ( 2)
m
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
*
一次积分
令c 0
F ( x)，验证 F ( x)
Hale Waihona Puke 是否满足罗尔定理，若不满足，则 两次积分 （3）改令 F ( x) F ( x)
*
令c 0, d 0
F ( x)
，将大区间分为小区间
各个小区间多次使用中值定理，
二、例题解析
例8、设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 证明存在 (0, 3) , 使
f ( x) f (0) f ( )( x 0)(0 x) f ( x) xf ( )
于是，
m f ( ) M mx xf ( ) Mx
mxdx
0
1
1
0
f ( x) dx Mxdx 2 mxdx 2 f ( x) dx 2 Mxdx
例9、设
f ( x)在[0,1]上具有一阶连续导数，且 f (0) 0
证明，至少存在一点 [0,1] ，使得
f ( ) 2 f ( x)dx
0
1
分析，本题结论中的中值属于闭区间，优先考虑介值th (1)由于 上必取最大值 f ( x)在[0,1]上连续，故f ( x)在[0,1] M,和最小值m，则对 x [0,1], m f ( x) M （2）建立 f ( x)与f ( x) 的关系，用拉氏定理
[0, ],[ ,1] （2）用 把 [0,1] 分成两个小区间， f ( ) f (0) f ( )( 0), (0, ) 并分别用拉氏定理有， f (1) f ( ) f ( )(1 ), ( ,1)
f ( ) f ( ) f (0)
1 2 即可 和要证的等式比较，得 f ( ) 1 f ( )
1 于是取 f ( ) 2
，命题得证
注意：本题采用了反推思想，
1.3泰勒中值定理（公式） 理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 泰勒中值定理 : 时, 有 f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) ① n! 其中 Rn ( x) 阶的导数 , 则当