积分第一中值定理及其推广证明备课讲稿

2.1积分第一中值定理证明

积分第一中值定理:

如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),()b b

a a f x g x dx f g x dx a

b ξξ=≤≤?

? 成立。

证明如下： 由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有

()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤

成立。对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到

()()()()b b b

a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???。 此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有

()()()b b

a a f x g x dx g x dx μ=?

? 成立。 由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。此时即可得到

()()()()b b

a a f x g x dx f g x dx ξ=?

?， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广

定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()(),(,)b b

a a f x g x dx f g x dx a

b ξξ=∈?

?

成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不

变号，令()()()x a F x f t g t dt =?，()()x

a G x g t dt =?，很显然(),()F x G x 在[,]a

b 上连续。并且()0,()()()b a F a F b f t g t dt ==?，()0,()()b

a G a G

b g t dt ==?，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= 。由柯西中值定理即可得到

()()(),(,)()()()

F b F a F a b

G b G a G ξξξ'-=∈'-， 化简，即

()()()()()()b a b a f t g t dt f g g g t dt ξξξ=?

?

， 根据上式我们很容易得出 ()()()(),(,)b b

a a f t g t dt f g t dt a

b ξξ=∈?

?， 命题得证。 证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥。而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈。假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈。我们就可以得到下面等式

()()()()b b b

a a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???（2.2.1） 此时由于()0g x ≥，则会有()0b

a g x dx ≥?，由于存在两种可能性，那么下面我们就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：

(1).如果()0b a g x dx =?，由等式（2.2.1）可得出()()0b

a f x g x dx =?，那么对于(,)a

b ξ?∈

都有

()()0()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ==?

? 恒成立。