韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程

ax^2+bx+c=0(a≠0)

有两个实根,设为x1,x2.

由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取

x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,

则：x1+x2

=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a

=-2b/2a

=-b/a,

x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]

=[(-b)^2-Δ]/4a^2

=4ac/4a^2

=c/a.

综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^ i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.

韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，

即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－1、x2－1均为整数，

解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，

即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，

解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，

(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，

＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．映射定理

正玄定理与余弦定理