韦达定理1.1
根与系数关系之韦达定理
根与系数关系之韦达定理一、韦达定理：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根x 1,x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca说明：（1）韦达定理可以用求根公式推出，进而可以得到 x 1−x 2 = ∆a（2）定理成立的前提条件∆≥0（易忽略）（3）注意公式中的x 1+x 2=−ba中的负号与b 的负号的区别二、韦达定理的应用例1、 若x 1,x 2是方程x 2+2x −2016=0的两个根，试求下列各式的值。
（基础）（1）x 1+x 2（2）x 1x 2（3）x 1−2x 1x 2+x 2（变形）（4）x 12x 2+x 1x 22(5)( x 1−5)(x 2−6) (6)1x 1+1x 2(提升)（7）x 12+x 22（8）（x 1−x 2）2/ x 1−x 2算一算练一练1、（2015金华5题3分）一元二次方程x 2+4x −3=0的两根x 1,x 2，则1）x 1+x 2=（2）x 1x 2=2、设x 1,x 2是方程2x 2−6x +3=0的两根，求下列格式的值（1）x 12x 2+x 1x 22（2）1x 1+1x 23、设x 1,x 2是方程2x 2+4x −3=0的两根，求( x 1+1)(x 2+1)的值4、（2015怀化7题4分）设x 1,x 2是方程x 2+5x −3=0的两根，则x 1+x 2的值是（）A、19B、25C、31D、305、（提升）已知x1,x2是方程2x2−3x−1=0的两根，求1x1−1x2例2、已知方程x2−（k+1）x−3k=0的一个根是2，求它另一个根及K的值。
练（2015六盘水13题4分）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2=例3、设x1,x2是方程x2−2k−1x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
练1、（2015荆州15题5分）已知关于x的一元二次方程x2−m+3x+m+1=0的两个实数根为x1,x2，x12+x22=4，则m的值为2、已知关于x的方程x2−k+1x+14k2+1=0的两个实数根x1x2=5，求k的值。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
韦达定理详细讲解初中
韦达定理详细讲解初中1. 韦达定理的基本概念嘿，大家好！今天咱们聊聊一个有趣的数学小知识，那就是韦达定理。
你可能会问，韦达是谁呀？其实，他是个很牛的数学家，专门研究方程的。
韦达定理主要是讲关于二次方程的根和系数之间的关系。
简单来说，如果你有一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，韦达定理告诉我们根的和和根的积是怎么回事。
听起来有点复杂，但别担心，咱们一步一步来，保证你听得明白！1.1. 根的和与根的积首先，咱们来看看根的和。
设这个方程的两个根是 (x_1) 和 (x_2)，那么根据韦达定理，它们的和就是 (frac{b{a)。
哦，别以为这就完了！根的积也很重要，两个根的积是(frac{c{a)。
这就像你找朋友聚会，知道总共有多少人（和）和几对情侣（积），就能推算出不少事情来。
1.2. 实际例子来个实际例子，让你更容易理解。
假设我们有个方程 (2x^2 4x + 2 = 0)。
这里 (a = 2)，(b = 4)，(c = 2)。
根据韦达定理，根的和是 (frac{4{2 = 2)，根的积是 (frac{2{2 = 1)。
哇，这样一算，感觉根的关系就像你和你最好的朋友一样，彼此心知肚明呢！2. 韦达定理的应用说到这儿，可能有的小伙伴会想：“这理论有啥用呢？”别急，让我给你讲讲韦达定理在实际生活中的妙用。
其实，这个定理在解决各种实际问题时简直是个好帮手！比如说，你想找出一个水池的水位变化，或者解决一些最优化问题，韦达定理都能派上用场，帮助你理清思路。
2.1. 在几何中的应用不仅如此，韦达定理在几何学里也大显身手哦！想象一下，一个三角形的顶点坐标，你可以用韦达定理来帮助你计算出某些重要的点，简直就是数学界的瑞士军刀，功能强大到不行。
2.2. 数学竞赛中的好帮手另外，韦达定理在数学竞赛中也是一大法宝。
许多题目都能通过它轻松解出，比如求解二次方程的根，甚至能帮助你推导出一些新的数学性质。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
韦达定理
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
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韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
高中数学韦达定理公式
高中数学韦达定理公式高中数学韦达定理公式韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
下面是小编为大家带来的高中数学韦达定理公式，欢迎阅读。
韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的.根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 ge x_2。
根据求根公式，有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}} 所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
韦达定理公式是什么样的
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a.
x1*x2=c/a，
x1+x2=-b/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理公式运用
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0且△=b^2-4ac>0）中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，
若b²-4ac<0则方程没有实数根，
最好将每天学习数学的时间分出一部分来专门练习选择题和填空题熟能生巧经过长时间的锻炼就会提高你的思考能力和计算速度通过练习你会发现大多数选择题除了固定的解题方法外还可以利用排除法代入法以及数形结合的方法来快速判断出答案
韦达定理公式是什么样的
数学中解一元二次方程我们常说韦达定理，那么韦达定理公式是什么样的呢？快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“韦达定理公式是什么样
很多学生学习数学时不懂得变通，对于老师上课讲的解题方法不会进行深入研究，而是照搬照挪。虽然题是做了，但是下一次遇到还是不会，这些方法或许是延续了你在小学或者初中生学习数学的方法，但是高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结，取其精髓，懂得变通，要学会举一反三，自己多尝试摸索出其他的解题方法。
不要小看选择题和填空题
中考数学专题讲练 韦达定理与整数根问题 (解析版)
韦达定理与整数根问题一．韦达定理与代数式求值如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值．二．韦达定理与根的分布在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0ba-≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba-<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）． ⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．知识精讲⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．三．整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： 1. 24b ac ∆=-为完全平方数；2. 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)．一．考点：1．韦达定理与代数式求值；2．韦达定理与根的分布；3．整数根问题．二．重难点：韦达定理与根的分布；整数根问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．题模一：韦达定理与代数式求值例1.1.1 设12,x x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x -- （2）2212(1)(1)x x +++（3）211211x xx x +++题模精讲三点剖析（4）12x x - （5）122111()()33x x x x ++ （6）3312x x +【答案】 （1）2（2）494（3）3116（4（5）2518（6）958【解析】 由韦达定理可得，1252x x +=，1212x x =．然后对各式进行适当变形．（1）原式()121239x x x x =-++；（2）原式()()2121212222x x x x x x =+-+++； （3）原式()()()2121212121221x x x x x x x x x x +-++=+++；（4）原式（5）原式=12121293x x x x ++； （6）原式()()21212123x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦．例1.1.2 设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】 由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-．注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-例1.1.3 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值 【答案】 21-【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-题模二：韦达定理与根的分布例1.2.1 已知一元二次方程210210x x a -++=． （1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？ （2）此方程会有两个负根吗？为什么？【答案】 （1）21a <-；（2）不可能，因为12100x x +=>．若10x <、20x <，则与1210x x +=矛盾【解析】 不妨设方程的两根为1x 、2x ，由韦达定理可知1210x x +=，1221x x a =+．例1.2.2 实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=． （1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？【答案】 （1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】 []2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =- （1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； （3）由13<可知，72432k k ->⇒>． 题模三：整数根问题例1.3.1 已知：关于x 的一元二次方程()231230mx m x m --+-= (m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； (2)求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；(3)若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值及方程所有的根 【答案】 （1）m 的取值范围是3m ≠且0m ≠； （2）见解析（3）1m =-或3m =±【解析】 (1)()()()2224314233b ac m m m m =-=----=-⎡⎤⎣⎦ 方程有两个不相等的实数根，()230m ->且0m ≠3m ∴≠且 0m ≠，m ∴ 的取值范围是3m ≠且0m ≠；证明：由求根公式()()3132m m x m -±-=1232,1x x m ∴=-=∴ 无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1； (3)m 为整数，且方程的两个根均为正整数，132x m ∴=-必为整数，1m ∴=±或3m =±当1m =时,11x =- (舍去);当1m =-时,15x = 当3m =时,11x =;当3m =- 时,13x = 1m ∴=- 或3m =±例1.3.2 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【答案】 0或16【解析】 设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．例1.3.3 求使关于x 的方程223(1)(1)260a x a x a +-++-=的根均为整数的所有整数a ． 【答案】 0,1,2,3a =--【解析】 当1a =-时，方程变为280x --=，得4x =-，符合要求； 当1a ≠-时，设方程的两个整数根为12x x ，，则由韦达定理，得221211221111a a x x a a a a +-++===-++++ 33212262(1)442(1)111a a x x a a a a a ---===++-+++ 因为12x x ，都是整数，所以1212x x x x +和均为整数． 即2411a a ++和也应为整数，由整除性可知0,1,2,3a =--．随堂练习随练1.1 已知一元二次方程x 2-2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且x 1+3x 2=3，求m 的值．【答案】 （1）m≤1（2）34【解析】（1）∵方程x 2-2x+m=0有两个实数根， ∴△=（-2）2-4m≥0， 解得m≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ， 解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴m=x 1•x 2=34．随练1.2 如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1．x 2=q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2+mx+n=0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0，求a b +b a的值；（3）已知a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=16，求正数c 的最小值．【答案】 （1）x 2+m n x+1n =0（2）-47（3）4【解析】（1）设方程x 2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x 1，x 2， 则：11x +21x =1212x x x x =-mn， 11x •21x =121x x =1n， 若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数， 则这个一元二次方程是：x 2+m n x+1n=0；（2）∵a 、b 满足a 2-15a-5=0，b 2-15b-5=0， ∴a ，b 是x 2-15x-5=0的解，当a≠b 时，a+b=15，ab=-5，a b +b a=22a b ab =2()2a b ab ab =2152(5)5=-47． 当a=b 时，原式=2；（3）∵a+b+c=0，abc=16， ∴a+b=-c ，ab=16c， ∴a 、b 是方程x 2+cx+16c=0的解， ∴c 2-4•16c≥0， c 2-34c≥0， ∵c 是正数， ∴c 3-43≥0， c 3≥43， c≥4，∴正数c 的最小值是4．随练1.3 若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则a b = ，1a b+=_________ 【答案】95；20015- 【解析】 29200150b b ++=，2115200190b b ++=，又25200190a a ++=， 所以a ，1b可以看作是方程25200190x x ++=的两个根． 由韦达定理，得：195a a b b ⋅==，120015a b +=-随练1.4 已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】 2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，,αβ=又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．随练1.5 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练1.6 已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0） （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵ m ≠0， ∴ 220mx x m--=是关于x 的一元二次方程． ∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分 （2）解：由求根公式，得192x m ±=． ∴12x m =，21x m =-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分随练1.7 求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根． 【答案】 1，3，6，10【解析】 由原方程知2x ≠-，不妨将方程整理成关于a 的一元一次方程2(44)212x x a x ++=+，得22121(2)x a x +=≥+（因为a 为正整数），解得42x -≤≤，因此x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，分别代入a 的表达式得所求的正整数a 的值是1，3，6，10随练1.8 设关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值．【答案】 103k =，6，3【解析】 原方程可化为22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+-+-+=－， 即()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 解得12241,142x x k k =--=----． 由于1x ≠-，则有12244,211k k x x -=--=-++． 两式相减，得1224211x x -=++，即12(3)2x x +=-． 由于1x ，2x 是整数，故可求得12x =，24x =-或12x =-，22x =-或11x =，25x =-． 分别代入，易得103k =，6，3．作业1 1x ，2x 是方程22350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2212x x + （2）12x x - （3）2212233x x x +-课后作业自我总结【答案】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；（2）1272x x -=； （3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=【解析】 （1）()2221212122924x x x x x x +=+-=；（2）1272x x -=；（3）原式=22212222949()(23)544x x x x ++-=+=作业2 已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值．【答案】 30【解析】 由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．作业3 已知方程20x ax b +-=的根是a 和c ，方程20x cx d ++=的根是b 和d ．其中，a 、b 、c 、d 为不同实数，求a 、b 、c 、d 的值？【答案】 a =，1b =，2c =，1d =或1a =，2b =，2c =-，0d = 【解析】 ∵方程20x ax b +-=的根是a 和c ，∴a c a +=-，ac b =-．∵20x cx d ++=的根是b 和d ，∴b d c +=-，bd d =， （1）若0d ≠，则由bd d =知1b =．由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知221a -=-，解得a =当a =时，c =1d c b =--=-；…………⑴当a =时，c 1d c b =--=．………⑵经验证，a =，1b =，2c =，1d =-是符合条件的两组解． （2）若0d =，则b c =-，由a c a +=-知2c a =-，由ac b =-知ac c =若0c =，则0a =，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若0c ≠，则1a =，再由2c a =-知2c =-，从而2b c =-=． 经验证，1a =，2b =，2c =-，0d =也是符合条件的解作业4 已知12,x x （12x x <）是方程2(1)0x m x n --+=的两个实数根，12,y y 是方程2(1)60y n y m ++-=的两实数根，且112x y -=，222y x -=，求,m n 的值？ 【答案】 2m =，2n =-【解析】 根据题意，对方程2(1)0x m x n --+=有211212[(1)]401m n x x m x x n ⎧∆=---≥⎪+=-⎨⎪⋅=⎩对方程2(1)60y n y m ++-=有221212(1)240(1)6n m y y n y y m ⎧∆=++≥⎪+=-+⎨⎪⋅=-⎩ 112x y -=，222y x -=∴1212x x y y +=+又112y x =-，222y x =+12121212(2)(2)2()4y y x x x x x x ∴⋅=-+=⋅+--∴12(1)162()4n m m n x x -+=-⎧⎨-=+--⎩(1)(2)由⑴得：m n =-，代入⑵得：122()54x x n -=+⑶又12x x <，540n ∴+<，对⑶两边平方得：22124()(54)x x n -=+，即：2212124[()4](54)x x x x n +-⋅=+ 224[(1)4](54)n n n ∴---=+，整理得：271640n n ++=解得：12n =-，227n =- 当27n =-时，540n +>与540n +<矛盾，舍去． 当2n =-时，5460n +=-<，此时2m =，170∆=>，2490∆=>．2m ∴=，2n =-作业5 已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】 104a <≤ 【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．作业6 已知方程240ax x b ++=(0)a <的两实根为1x 、2x ，方程230ax x b ++=的两实根为α、β．（1）若a 、b 均为负整数，且||1αβ-=，求a 、b 的值；（2）若12αβ<<<，12x x <，求证：1221x x -<<<【答案】 见解析【解析】 ⑴ 由题意得3a αβ+=-，b aαβ=， 由()2141αβαβαβ-=⇒+-=2941b a a⇒-=()49a a b ⇒+=． 又a 、b 均为负整数，所以1a =-，49a b +=-．故1a =-，2b =-．⑵ 因为12αβ<<<，所以30460a b a b ++>⎧⎨++<⎩． 从而430a b a b ++>++>，即当1x =时，240ax x b ++>．由48460a b a b -+<++<，即当2x =-时，240ax x b ++<．因为0a <，所以1221x x -<<<作业7 已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．【答案】 22,0,1,2,3- 【解析】 当0k =时，原方程化为480x +=，解得2x =-．故当0k =时，原方程的解都是整数． 当2k =时，原方程化为880x -+=，解得1x =，故当2k =时，原方程的解都是整数． 当0k ≠且2k ≠时，原方程化为(2)[(2)4]0kx k x ---=． 解得12x k =，242x k =-． 由12x k =，得12k x =．把12k x =代入242x k =-中，得121220x x x x +-=． 故12(1)(2)21(2)2(1)x x -+=-=⨯-=⨯-．因为1x 、2x 为整数，所以11x -、22x +也均为整数．于是，有121122x x -=⎧⎨+=-⎩或121221x x -=-⎧⎨+=⎩或121221x x -=⎧⎨+=-⎩或121122x x -=-⎧⎨+=⎩． 分别解得1224x x =⎧⎨=-⎩或1211x x =-⎧⎨=-⎩或1233x x =⎧⎨=-⎩或1200x x =⎧⎨=⎩(舍去)． 故21,2,3k =-． 综上，k 的值为22,0,1,2,3-． 作业8 已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根【答案】 当39a =时，方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，方程的三个根为1，2-和28-【解析】 观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦．因为a 是正整数，所以关于x 的方程：()218560x a x +++= ……①的判别式()2182240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式()218224a ∆=+-应该是一个完全平方数．设()2218224a k +-=(其中k 为非负整数)，则()2218224a k +-=，即：()()1818224a k a k +++-=． 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以：18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩． 而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩． 当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-． 此时原方程的三个根为1，1-和56-．当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-． 此时原方程的三个根为1，2-和28-．。
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b 1 a 1 a a 1 b 1
2
体验： b 2(a b) 2 分类性 ab (a b) 1
2
(a b) 2ab 2(a b) 2 20 ab (a b) 1
2
(6)如图,△ABC中,∠A=60°，点D、E、F分别在AB、 BC、CA边上，四边形ADEF为菱形，且AB、AC的长是 方程 x2 – 5x + 2 = 0 的两根.求菱形ADEF的面积. A 解：由题意,得 AB+AC=5 AB· AC=2 ∵四边形ADEF为菱形 DE BD ∴ DE∥AC AC AB a AB - a AB AC 2 得， a B AC AB AB AC 5
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋ 20=0有两个实数根，又已知a,b,c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB= 3/5， b – a = 3， 问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？ [2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个实数根的 平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？若存在，请求出满 足条件的m 值；若不存在，请说明理由.
3 5 ，b –
a =3，
问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？
[2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个 实数根的平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？ 若存在，请求出满足条件的m 值；若不存在， 请说明理由.
第三类：综合类
有两个实数根，又已知a, b, c 分别是△ABC的∠A、
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋20=0
2-2×(m2-9m+20)=225 [3(m+1)] 解[2] ：
64 或m 4 整理得： 7m2 + 36m－256=0 ∴ m 7
∵ m为整数， ∴m=4
当 m = 4 时，△＞0， ∴m=4满足题目中的条件
即有这样的m存在.
体验：探索性
四.回顾与思考
一个定理 (表述根与系数关系)
二个核心
b 和为 a
c 积为 a
A 分类性 C 探索性
三个体验
B 整体性
① 韦达喜欢一般式
四个注意
② 韦达重视关系式 ③ 韦达要求△≥0 ④ 韦达可以逆着用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说一说
⑷的推广：常见关系式
1 1 α β ① α β αβ
② ③
α β (α β ) 2αβ
2 2 2
转化为含有两根和与两根积的代数式
第二类：解答类
(5) 若实数 a，b 满足a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0，
b 1 a 1 试求 的值 a 1 b 1
设x1, x2 是方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0的两个实根，
则
x1+ x2 = 3(m+1) x1 x2 = m2-9m+20
① ②
∵ c=15
∴根据题意，x12 + x22 =15 2
即 (x1+ x2 )2 - 2x1x2 = 225
[3(m+1)]2-2×(m2-9m+20)=225
以x1, x2为两根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0
5 1 5 1 为两根的一元二次方程为 2 x 5x 1 0 , 2 2 ( yes ) 韦达可以逆着用
则 ⑷ 已知方程 x2－3x －1=0 两根为 ，
双值：
2
11 ( no
)
( ) 4 韦达重视关系式
即 S 菱形 3 2 3 2 a sin60 25 5 2
2 2
设菱形边长为a
a
60
D
a
F
a
E
a
C
体验：整体性
第三类：综合类
⑺ 若关于 x 的一元二次方程
x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋20=0
有两个实数根，又已知a, b, c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB=
∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB=
问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？
3 ，b – 5
a =3，
解[1] ： ∵在Rt △ABC中， ∠C=90° ∴ cosB= a 3
c
5
∴可设a =3k，c =5k，则b =4k 又∵ b – a =3，
∴4k - 3k =3， 即：k=3，
c = 15
定理的由来
∵ x1 , x2为一元二次方程a x2+b x+c=0 的两根
b b 4ac x1 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 2b b x1 x2 2a 2a a
(b) 2 (b 2 4ac) 4ac c x1 x2 2 2 4a 4a a
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋ 20=0有两个实数根，又已知a,b,c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB= 3/5， b – a = 3， 问：[2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个实数 根的平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？若存在，请求 出满足条件的m 值；若不存在，请说明理由. 解[2] ： 假设有满足条件的m 值存在
b 1 a 1 试求 的值 a 1 b 1 b 1 a 1 11 2 解：当 a = b 时 a 1 b 1
当a≠b时
∵ a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0 ∴ a，b为方程 x2 – 8x + 5 = 0 的两根
则a + b = 8，a b = 5
b b 2 4ac x2 2a
简之，由来于“求根公式”
三. 定理的应用
第一类：巩固类（“yes” or
⑴ 方程 x2 －2x = 1 的两根为α ，β ，则
“no”1 )
韦达喜欢一般式
韦达要求△≥0
1
2 （
no ）
⑵ 关于x 的方程x2 － (m2－2m－3)x ＋m=0的两实根互为相反数， 则m = 3 或m = -1 ( no ) ⑶以
刘明同学是这样解的： 解：∵ a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0， ∴a=b
b 1 a 1 则 11 2 a 1 b 1
你认为他做得是否完整？若不完整，应怎样改正？
(5) 若实数 a，b 满足a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0，
1.他是十六世纪法 国著名的数学家；
2. 我们曾学过以他 的名字命名的定理；
3.这个定理研究的 是一元二次方程中 根与系数的关系.
韦 达
一.
定理的内容
c x1 x2 a
（⊿ ≥ 0 ）
二.
∴ ∴
b 那么 x1 x2 a
2
设一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)两个根为x1 , x2，