韦达定理的应用与提高自招题集
一元二次方程根的判别式及韦达定理提高训练题二
一元二次方程根的判别式及韦达定理提高训练 姓名 一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？题型4：判别一元二次方程两根的符号。
1.不解方程，判别方程两根的符号。
2.已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
自主招生考试中一元三次方程的韦达定理及运用
（５２８４５４）
曾祥海
一６）（１一ｃ）＞０．所以０６＋６ｃ＋ｃｏ—０６ｃ一１＞０． 点评：本题运用一元三次方程韦达定理的提示
不够明显，我们仅仅容易看出所给的条件和要证明 的结论都是一个可以轮换的式子，要能够运用一元 三次方程的韦达定理，必须要对所要证明的式子进 行有目的的变形，再利用一元三次的韦达定理即可
戈；＜ｏ与ｇ＞ｏ矛盾．故一定有戈ｌ＜ｏ，戈２＜ｏ，戈３＜
０，所以ｐｑ＝一（戈】＋戈２＋石３）（戈ｌ咒２＋戈２２３＋戈３戈１）≥
又八１）＝１—２＋（Ⅱ６＋６ｃ＋ｃ。）一口６ｃ＝。６＋６ｃ＋ ｃ口一口６ｃ一１，而ｏ、６、ｃ∈（０，１），八１）＝（１一ｏ）（１
３√（一戈１）（一戈２）（一石３）・３√戈１戈２・ｚ２石３・ｚ３戈１
点评：本题是２００５年上海交通大学的自主招生 题，除了运用一元三次方程的韦达定理之外，还涉及 到一点简单的数论知识．
陀陀凡厕；阽『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｂ『ｂ『ｋ『ｂ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｋ『ｂ『ｋ『ｂ『ｋ『ｋ『畦『ｋ晚『畦『ｋ『畦『ｋ『畦『ｋ『ｋ『ｋ盹陆凡『ｋ旷ｋ
非线性规划与线性规划问题的本质与另类解法
２０１５年第４期
中学数学研究
・３３・
自主招生考试中一元三次方程的韦达定理及运用
广东省中山市中山纪念中学
随着大学自主招生考试的升温，自主招生考试 试题也越来越成熟，在近几年几个著名高校联盟考 试的数学试题中都有利用一元三次方程韦达定理的
应用，笔者整理并收集了几个有关一元三次方程韦 达定理的题目供大家参考，希望对大家的工作和学
≤ｍｉｎ｛６１，６２，６３｝，求ｊ正：ｍ。戈｛０１，０２，０３｝≤ｍｎ戈｛６１， ６２，６３｝． 证明：不妨设ｏｌ≤口２≤口３，６ｌ≤６２≤６３，则０１ ≤６ｌ，下证：ｏ，≤６３．用反证法证明：构造两个函数 八戈）＝（戈一。１）（戈一０２）（石一０３），ｇ（石）＝（戈一
韦达定理及应用专题(二次方程提升专用.学生版)doc 2
韦达定理及应用专题解题方法及提分突破训练 姓名： 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系21x x +=-a b 2.1x x =a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的两个交点为A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数c bx ax y ++=2（a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值；（2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.已知关于x 的方程0127)1(222=+--+-+b a a x a x 有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将127)1(222+--+-+=b a a x a x y 图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．3.设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程03422=-++k kx x 的两个实数根分别是21,x x ，且满足2121.x x x x =+．则k 的值为？二 . 名词释义一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax （a 、b 、c 属于R ）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理(精品讲解与专题练习)
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、韦达定理及证明
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 则x1+1= 3 , ∴ x1=
韦达定理
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。 他是第一个引进系统的 代数符号，并对方程论 做了改进的数学家。
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
第一段
做准备：
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a
X=
2.方程合家欢，（
十字相乘 ）
是首选。
第一段
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 X1+x2 7 -3 3 - 2 两根积 x 1x 2 12 -4 -1
又x1 1=
●
m 3
16 3,
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · x2=
3 2 3 )+1= 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解： 由韦达定理，得
2019年上海数学·自招(中考)第07讲 韦达定理及其应用
第07讲韦达定理及其应用例1当m取什么实数时，方程20-+=分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）两根都大于1x x m-. 例2 已知抛物线()224=-+-，在x轴上截得线段的长为5，求m的值.y x m x m例3关于x的方程()22--++=两根都是整数，求实数m的值.x m x m m2120例4 若k为整数，关于x的二次方程()2+-++=有两个整数根，求,k p的值.1210k x px k超越自我例5 若方程组()()240,00y a x a a m x y m ⎧=+>>⎨++=⎩有两组不同的解()()1122,,,x y x y（1）求,a m 满足的条件；（2）用,a m 表示1212,22x x y y ++；（3）用,a m 表示1212,y y x x --.例6 关于x 的方程()222580x m x m --++=的两个解是一个直角三角形的两条直角边的长，已知这个直角三角形的斜边长是10，求m 的值.例7 对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()00f x x =，则称点()00,x x 为函数()f x 的不动点. （1）已知函数()()20f x ax bx b a =+-≠有不动点()1,1和()3,3，求,a b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数()2f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.例8 关于x 的方程20x px q ++=两个根均为正整数，且2014p q +=，求该方程的两个根.例9 关于x 的方程()243420mx m x m --+-=至少有一个整数根，求整数m 的值.例10 对于0a b c >>>，作二次方程()()20x a b c x ab bc ac -+++++=. （1）若方程有实根，求证,,a b c 不能作为三角形的三条边.（2）若方程有两根6,9，求正整数,,a b c自主训练1、若方程()2623920x x a x a -+--+-=有两个不同的实数根，求系数a 的取值范围.2、设12,x x 是关于x 的方程2210x mx m m +-+-=的两个不相等的实数根，写出过两点()()221122,,,A x x B x x 的直线方程。
韦达定理应用(资料)
韦达定理的运用一.典范例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4,求另一个根.解：设另一个根为x1,则相加,得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1,x2,求作一个新的一元二次方程,使它的两根分离为和.解：∵又∴代入得,∴新方程为例3：断定是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭,∴若是,则另一根为∴,.∴认为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴xy=5又xy=6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中,两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m （m－2）=0的两根,且斜边长为13,求S的值解：无妨设斜边为C=13,两条直角边为a,b,则2.又a,b 为方程两根.∴ab=4m（m2）∴S但a,b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时,∴m=5∴S.例6：M为何值时,方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数,一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不消失如许的情形.③∴m<7④∴m=7⑤∴不消失这种情形【模仿试题】（答题时光：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根,则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋,可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48,则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5,这两个数的积比a多3,则a为何值时,这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根,求a的取值规模.6. 已知方程组的两组解分离为,,求代数式a1b2+a2b1的值.7. ABC中,AB=AC, A,B,C的对边分离为a,b,c,已知a=3,b 和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根,求ABC的周长.【试题答案】1. －12. 4,13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提醒：分a=－3以及a≠－3评论辩论求解6. 13例 1 已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1.x2,无妨设x1≤x2．由韦达定理,得x1＋x2＝－p,x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．留意到x1－1.x2－1均为整数,解得x1＝2,x2＝200;x1＝－198,x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数,求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1.x2,且无妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11,即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1.x2为正整数,解得x1＝1,x2＝5;x1＝2,x2＝3．故有m＝6或7．例 3 求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0,得x＝1,即k＝0相符请求．若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1.x2,由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2,(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1.x2－1均为整数,所以例 4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α,0). (β,0)两点,且α＞1＞β,求证：p＋q＞1．(’97初中数学比赛试题)证实：由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α.β．由韦达定理得α＋β＝p,αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ,＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式.判别式与根的个数关系.判别式与根.韦达定理及其逆定理〖大纲领求〗1.控制一元二次方程根的判别式,会断定常数系数一元二次方程根的情形.对含有字母系数的由一元二次方程,会依据字母的取值规模断定根的情形,也会依据根的情形肯定字母的取值规模;2.控制韦达定理及其简略的运用;3.会在实数规模内把二次三项式分化因式;4.会运用一元二次方程的根的判别式和韦达定理剖析解决一些简略的分解性问题. 内容剖析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b24ac△＞0时,方程有两个不相等的实数根当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=b/a,x1x2=c/a(2)假如方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=P,x1x2=q(3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分化(公式法) 在分化二次三项式ax2+bx+c的因式时,假如可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)．〖考核重点与罕有题型〗1.运用根的判别式判别一元二次方程根的情形,有关试题出如今选择题或填空题中,如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2.运用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中测验题中消失的频率异常高,多为选择题或填空题,如：设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．在中测验题中常消失有关根的判别式.根与系数关系的分解解答题.在近三年试题中又消失了有关的凋谢摸索型试题,考核了考生剖析问题.解决问题的才能.考核题型1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不克不及肯定2．设x1,x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根,则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C） 6 （D） 3 3．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2√5 x（C）√3 x2－√2 x+2=0（D）3x2－2√6 x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．假如x1,x2是两个不相等实数,且知足x12－2x1＝1,x22－2x2＝1, 那么x1•x2等于（）（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝7．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是8．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1•x2＝ ,（x1－x2）2＝ 9．若关于x的方程(m2－2)x2－(m －2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝二.考点练习：1. 不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6√2 +2=0 (3)x2－x+2=02. 当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根; 当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3. 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m= ,这时方程的另一个根是 ;若两根之和为－3/5 ,则m= ,这时方程的两个根为 . 4. 已知3－2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5. 求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6. 求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－√5 和1+√5 .7. 设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,运用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解题指点1. 假如x2－2(m+1)x+m2+5是一个完整平方法,则m= ;2. 方程2x(mx－4)=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;3. 已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等,则m= ;4. 设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为;5. 设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2 （3）√x1 ＋√x2 ＊（4）x1x22＋12 x1＊6.实数s.t分离知足方程19s2＋99s＋1＝0和且19＋99t＋t2＝0求代数式(st＋4s＋1)/t 的值.7.已知a是实数,且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x2+2ax+1－(1/2) (a2x2－a2－1)=0有无实根？8.求证：不管k为何实数,关于x的式子(x－1)(x－2)－k2都可以分化成两个一次因式的积. 9．实数K在什么规模取值时,方程kx2＋2（k－1）x－（K－1）＝0有实数正根？自力练习（一）1. 不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t2+3t－4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)－7u=0, ;2. 若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是 ;3. 一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+√3 和2－√3 ,则p= ,q= ;4. 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m= ;5. 若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是 ;6. m,n是关于x 的方程x2(2m1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式mn= .7. 已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8. 假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,运用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+(1/β) 和β+(1/α) ;9. 已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程m2x2＋2（3－m）x＋1＝0的两实数根为α,β,若s＝1/α ＋1/β ,求s的取值规模. 自力练习（二）1. 已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2. 假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3. 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2又1/2 ,则k= ;4. 若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3,则a= ;5. 方程4x2－2(ab)x－ab=0的根的判别式的值是;6. 若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;7. 已知p<0,q<0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情形是 ;8. 以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9. 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 －1/x210．m取什么值时,方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0 （1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根; 11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值. 12．是否消失实数k,使关于x的方程9x2－(4k－7)x－6k2=0的两个实根x1,x2,知足｜x1/x2 ｜＝3/2 ,假如消失,试求出所有知足前提的k的值,假如不消失,请解释来由.。
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韦达定理的应用与提高自招题集TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】应用题例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C ．【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = -ab ， x 1·x 2 = ac。
对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2=q2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ⇔方程有实数根。
3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=a c a 2b -2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222a ac b - ②cbx x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 =ac-b +a 2④(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =2a 4ac-b 25、方法归纳：（1）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠0，且必须有实数根，即△≥0；（2）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；（3）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。
（4）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。
6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：（1）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。
（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
） 例：不解方程，判别方程两根的符号。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。
（2）已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
（3）运用判别式及根与系数的关系解题。
例：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根∴则有∴又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设、同号，则有两种可能：（1）（2）若，则有：；即有：解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若，则有：即有：解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号练习：★★★1设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。
⑴二根均大于1；⑵一根大于1，另一根小于1。
2．（2013秋?沙湾区期末）关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜0 C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜03．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个(4)运用根与系数的关系求代数式的值例:已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为x1，x2 ，求（x1-x2）2的值解：由题意及韦达定理得：x 1+x 2= -（-23）=23，x 1x 2 =21 ∴(x 1-x 2)2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =（23）2-4×21=41∴（x 1-x 2）2的值是41(5) 运用根与系数的关系解决几何问题例：在△ABC 中，若∠C=90°，AB=5，AC 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，求k 的值和△ABC 的面积 解：∵AC 2+BC 2=25∴(AC+BC)2-2AC ·BC=25 ∵AC+BC=2K+3,AC ·BC=K 2+3K+2 ∴(2K+3)2-2(K 2+3K+2)=25 整理，得k 2+3k-10=0 解得k 1=-5,k 2=2 ∵AC+BC=2K+3﹥0 ∴k ﹥, ∴k=2 ∴S △ABC =21 AC ·BC=21(K 2+3K+2)=6 【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1 若a ，b 为实数，且，，求的值。
思路 注意a ，b 为方程的二实根；（隐含）。
解 （1）当a=b 时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴练习：（2017?黔东南州二模）设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-)。
-,1)或(0, 1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2于是，得以下七个方程，，，，，-，其中0x2=1+无实数根，舍去。
其余六个方程均为所求。
x2=1x2=+，01x2+3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
证明由已知得，。
根据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为①由a，b为实数知此方程有实根。
∴0c2=，故c=0，从而。
这表明①有两个相等实根，即有a=b。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。
此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。
5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6解方程。
解：原方程可变形为。
令，。
则, 。
由韦达定理逆定理知，以a，b-为根的一元二次方程是。
解得，。
即a=8-或a=9。
或通过求解x结果相同，且严谨。
，（舍去）。
解之得，。
此种方法应检验：是或否成立强化训练A 级★★1.若k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，则k的值为________________。
★★2.若，，则_______________。
★★★3 .已知和是方程的二实根，则_____________。
★★★4.已知方程（m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。
Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。
求证：，是方程的实根。
★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足，试求k的值。
参考答案1．2提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。
所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。
故k=2。
2．提示：由x，y为方程的二根，知，。
于。
3．21提示：由，，知，4．设二个不等的正整数根为，，由韦达定理，有消去m，得。
即。
则且。
，。
故。
5．由韦达定理有，。
又，。
二式相减得。
，。
将代入有。
从而 ，同理和是方程的根。
6．当β=α时，可知1=β=α，所以2k 13k 124=⇒⨯=+，当β≠α时，易证得。
从而，为方程的二不同实根。
，。
于是，，。
当时，方程为。
解得 或取，即能符合题意，故k 的值为。
练习：1、设a 、b 是方程x 2+x ﹣2014=0的两个实数根，则a 2+2a +b 的值为（ ）A．2014 B．2015 C．2012 D．20132（2012?德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是．3．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．4．（2015?黄冈中学自主招生）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．5．（2013?自贡）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）6（2013?荆门）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．7．（2012?成都模拟）若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．8．（2010?南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=8．9．（2010?宁阳县模拟）已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值10．（2009?河南模拟）设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2= ．11．（2007?泸州）若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：=．12．（2004?厦门）已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3 ）x12+x22＞a2+b2，则正确结论的序号是．（在横线上填上所有正确结论的序号）13．（2001?呼和浩特）如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．14（2013?孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程韦达定理应用作业一．选择题（共16小题）1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．42．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A．﹣4 B．2 C．4 D．﹣33．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20174．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（）A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣96．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，27．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）A．B．1 C．D．8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜0 C．﹣1＜k＜0 D．﹣1≤k＜09．已知方程x2﹣2（m2﹣1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（）A．m=±1 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=010．已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣512．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0 13．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2012 D．201314．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（）A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或116．设a，b是方程x2+x﹣2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2009 B．2010 C．2011 D．2012二．填空题（共30小题）17．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．18．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．19．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=．20．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=．21．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为．22．某学生在解一元二次方程x2﹣2x=0时，只得出一个根是2，则被他漏掉的另一个根是x=．23．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为．24．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．25．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是．26．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为．27．已知a+b=3，ab=﹣7，则代数式2a2+b2+3b的值为．28．已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n﹣3=0的两个实数根，且x1+x2=﹣2，则x1x2=．29．已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2．则的值为．30．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=．31．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣，x1x2=根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则的值为．32．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是．（填上你认为正确结论的所有序号）33．若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是．34．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根，则=．35．设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为．36．若α，β是方程x2﹣3x+1=0的两个根，则α2+αβ﹣3α=．37．已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1﹣x2=7，则k=．38．设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=．39．设α和β是方程x2﹣4x+3=0的二根，则α+β的值为．40．已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值．41．设A是方程x2﹣x﹣2009=0的所有根的绝对值之和，则A2=．42．已知α，β为方程x2+4x+2=0的二实根，则α3+14β+50=．43．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：=．44．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是．45．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1≠x2；（2）x1x2＞ab；（3 ）x12+x22＞a2+b2，则正确结论的序号是．（在横线上填上所有正确结论的序号）46．如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）47．已知关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m=0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．48．已知一元二次方程2x2﹣6x﹣1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值．49．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．。