北京市房山区2017届高三一模数学(文)试题【含答案】

北京房山区高三年级2016-2017学年度第一次综合练习数学试卷（文科）2017．3一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{}24A x x =≤，{}0B x x =≥．则AB =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}2x x ≥-C ．{}012， ，D ．{}12，2．若x ，y x y ，满足101010y x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则x y +的最小值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．33．执行如图所示的程序框图，输出的y 值为（ ） A ．15 B ．17 C ．19D ．214．某几何体的三视图中的三角形都是直角三角形．如图所示． 则该几何体中直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．45．在ABC ∆中，若23ABC a C S π∆=∠==，，，则C =（ ）AB ．2C．D ．46．直线l 的方程为20x y -=是“直线l 平分圆()()22121x y -+-=的周长”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．由表格中的数据可以判定函数()ln 2f x x x =-+的一个零点所在的区间是()()1k k k Z +∈，，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．某校组织学生假期游学活动．设计了两条路线：A 路线为“山西寻根之旅“，B 路线为“齐鲁文化之旅”，现调査了50名学生的游学意愿．有如下结果：选择A 路线的人数是全体的五分之三．选择B 路线的人数比选择A 路线的人数多3；另外，两条路线A B ，都不选择的学生人数比两条路线A B ，都选择的人数的三分之一多3．则两条路线A B ，都不选择的学生人数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．在复平面内，复数()2i i +对应的点的坐标为_________．10．古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元．明代则处于其发展的鼎盛阶段．其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为11:7:2．若明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为_________．11．已知向量()11a =-，，()1b k =-，，a b ⊥，则b =_________．12．双曲线()222=10y x b b->的右焦点为()20， ，则此双曲线的渐近线方程为_________．13．已知函数()31020x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，，则()()1f f -=_________，()f x 的值域为_________．14．《中华人民共和国个人所得税法》规定：2011年9月1日开始个人所得税起征点由原来的2000元提高到3500元．也就是说原来月收人超过2000元的部分需要纳税，2011年9月1日开始超过3500元的部分需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同．按如表分段计税某职工2011年5月交纳个人所得税295元，在收人不变的情况下，2011年10月该职工需交纳个人所得税_________元．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程（共6小题，满分80分） 15．（本小题满分13分）在数列中{}n a 中，{}1429n a a b ==，，是等比数列，且1n n b a =-． （I ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n a 的前n 项和．已知函数()()1sin cos sin 2f x x x x =-+． （I ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间．某中学高一、高二年级各有6个班．学校调査了一个学期各班的文学名著阅读量（单位：本）．并根据调査结果，得到如下所示的茎叶图：为鼓励学生阅读．在高一、高二两个年级中．学校将阅读量高于本年级阅读量平均数的班级命名为该年级的“书香班级”（I ）当4a 时，记高一年级的“书香班级”数为“m ，高二年级的”书香班级”数为n ，比较m n ，的大小； （Ⅱ）在高一年级的6个班级中．任意选取两个．求这两个班级均是“书香班级“的槪率； （III ）若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数．求a 的值．（只需写出结论）如图1．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB CD =，DE AB ⊥，沿DE 将AED ∆折起到1A ED ∆的位置，连结11A B AC M N ，，、分别为1AC BE ，的中点．如图2．（I ）求证：1DE A B ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面1A ED ；（III ）在棱1A B 上是否存在一点G ．使得EG ⊥平面1A BC ？若存在，求出1A GGB的值：若不存在．说明理由．已知函数()x f x e ax =-．（I ）若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与直线2y ax =+平行．求实数a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（III ）当01a <<时，证明：曲线()y f x =在直线()1y e x =-的上方．在圆中直径所对的圆周角是直角，有同学类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．已知椭圆22:=13x C y +，AB 是椭圆C 的直径． （I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）该同学用几何画板在椭圆C 上取了几个点．通过测量发现毎一个点与A B ，连线的斜率之积不变．耶么对于椭圆上任意一点M （M 不与A B ，重合），直线MA MB ，的斜率之积是否为定值．若是．写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由．（III ）O 是坐标原点，M 是椭圆上的一点且在第一象限．M 关于原点的对称点为'M ，E 是x 轴一点．MOE ∆是等等腰三角形，MO ME =，直线'M E 与椭圆的另一个交点为N ，求证：'M MN ∠是直角．2017年北京市房山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}．则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|x≥﹣2} C．{0，1，2} D．{1，2}【解答】解：集合A中的x2≤4解得：﹣2≤x≤2，则{x|﹣2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x≤2}，故选：A．2．（5分）若x，y满足，则x+y的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，1），令z=x+y，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：B．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的y值为（）A．15 B．17 C．19 D．21【解答】解：x=10，y=1，x＞5，x=8，y=9，x＞5，x=6，y=15，x＞5，x=4，y=21，输出y=21，故选：D．4．（5分）某几何体的三视图中的三角形都是直角三角形．如图所示．则该几何体中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：直观图，如图所示，该几何体中直角三角形的个数为3，故选C．A．B．2 C．2D．4【解答】解：∵a=2，∠C=，S△ABC=2=absinC=2×b×，∴解得：b=4，∴c===2．故选：C．6．（5分）直线l的方程为2x﹣y=0是“直线l平分圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的周长”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l平分圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的周长，则直线l必须经过圆心（1，2），直线l的方程为2x﹣y=0经过圆心．∴直线l的方程为2x﹣y=0是“直线l平分圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的周长”的充分而不必要条件．故选：A．7．（5分）由表格中的数据可以判定函数f（x）=lnx﹣x+2的一个零点所在的区间是（k，k+1）（k∈Z），则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据所给的表格知，函数f（x）=lnx﹣x+2在自变量取值分别是1，2，3，4，5时，对应的函数值，∵f（1）=1，f（2）=0.69，f（3）=0.1，f（4）=﹣0.61，f（5）=﹣1.39，∴f（3）f（4）＜0，∴函数的零点在（3，4）区间上，∴k=3，故选：B．8．（5分）某校组织学生假期游学活动．设计了两条路线：A路线为“山西寻根之旅“，B路线为“齐鲁文化之旅”，现调査了50名学生的游学意愿．有如下结果：选择A路线的人数是全体的五分之三．选择B路线的人数比选择A路线的人数多3；另外，两条路线A，B都不选择的学生人数比两条路线A，B都选择的人数的三分之一多3．则两条路线A，B都不选择的学生人数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：由题意：选择A的人数30，选择B的人数为33，设对A、B都选择的学生数为x，则对A、B都不选择的学生数x+3，可得x+30﹣x+33﹣x+x+3=50，所以x=24，x+3=11，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在复平面内，复数i（2+i）对应的点的坐标为（﹣1，2）．【解答】解：复数i（2+i）=2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．10．（5分）古代科举制度始于隋而成于唐，完备于宋、元．明代则处于其发展的鼎盛阶段．其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷按比例录取，其录取比例为11：7：2．若明宣德五年会试录取人数为100．则中卷录取人数为10．【解答】解：由题意，明宣德五年会试录取人数为100，则中卷录取人数为100×=10人，故答案为：10．11．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（﹣1，k），，则||=．【解答】解：根据题意，已知向量=（1，﹣1），=（﹣1，k），若，则•=﹣1﹣k=0，解可得k=﹣1，则=（﹣1，﹣1），则||==；故答案为：12．（5分）双曲线x2﹣=1（b＞0）的右焦点为（2，0）．则此双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣=1的右焦点为（2，0），即c=2，则有c2=1+b2=4，解可得b=则双曲线的方程为：x2﹣=1，则此双曲线的渐近线方程为y=±x；故答案为：y=±x．13．（5分）已知函数f（x）=，＞，，则f（f（﹣1））=，f（x）的值域为（﹣∞，1]．【解答】解：f（﹣x）=2﹣1=，f（）=1﹣（）3=，故f（f（﹣1））=，当x＞0时，f（x）=1﹣x3为减函数，所以f（x）＜f（0）=1，当x≤0时，函数f（x）=2x为增函数，所以0＜x≤1，综上所述函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故答案为：，（﹣∞，1]14．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定：2011年9月1 日开始个人所得税起征点由原来的2000元提高到3500元．也就是说原来月收人超过2000元的部分需要纳税，2011年9月1日开始超过3500元的部分需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同．按如表分段计税某职工2011年5月交纳个人所得税295元，在收人不变的情况下，2011年10月该职工需交纳个人所得税145元．【解答】解：1500×3%=45元，（4500﹣1500）×10%=300元，由于45+300＞195元，则这个职工的月收入不超过6500元，设这个职工的月收人为x元，45+（x﹣1500﹣2000）×10%=295，解得x=6000，在收人不变的情况下，2011年10月该职工需交纳个人所得税为45+（6000﹣1500﹣3500）×10%=45+100=145元，故答案为：145．三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，盐酸步骤或证明过程（共6小题，满分80分）15．（13分）在数列中{a n}中，a1=2，a4=9，{b n}是等比数列，且b n=a n﹣1（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和．【解答】解：（1）在数列中{a n}中，a1=2，a4=9，{b n}是等比数列，且b n=a n﹣1，设公比为q，则b1=a1﹣1=1，b4=a4﹣1=8，则q3==8，解得q=2，则b n=b1q n﹣1=2n﹣1，a n=b n+1=1+2n﹣1；（2）{a n}的前n项和为（1+1+…+1）+（1+2+…+2n﹣1）=n+=2n﹣1+n．16．（13分）已知函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+化简可得：f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）（Ⅰ）∴f（x）的最小正周期T=．（II）由2x+，k∈Z，得≤x≤，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[，]k∈Z17．（13分）某中学高一、高二年级各有6个班．学校调査了一个学期各班的文学名著阅读量（单位：本）．并根据调査结果，得到如下所示的茎叶图：为鼓励学生阅读．在高一、高二两个年级中．学校将阅读量高于本年级阅读量平均数的班级命名为该年级的“书香班级”（I）当a=4时，记高一年级的“书香班级”数为“m，高二年级的”书香班级”数为n，比较m，n的大小；（II）在高一年级的6个班级中．任意选取两个．求这两个班级均是“书香班级“的槪率；（III）若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数．求a的值．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，高二年级阅读量平数为（10+20+21+22+22+34）=21.5，所以n=3，高一年级阅读量平数为（15+22+23+29+38+41）=28，所以m=3，所以m=n，（Ⅱ）记三个“书香班级”分别为a，b，c，其它班级为1，2，3，则基本事件空间为{a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，12，13，23，ab，ac，bc}共15种情况，两个班级均是“书香班级“的情况有3种，ab，ac，bc，设“这两个班级均是“书香班级“的事件为A，则P（A）==，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知高一年级的“书香班级”数为“m=3个，若高二年级的“书香班级”数多于高一年级的“书香班级”数，则n的个数大于3个，则（10+20+21+22+22+30+a）≈20.83+，则大于20.83的只有4个，故a只能为0．18．（14分）如图1．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，沿DE将△AEDD 折起到△A1ED的位置，连结A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点．如图2．（I）求证：DE丄A1B（Ⅱ）求证：MN∥平面A1ED（Ⅲ）在棱A1B上是否存在一点G．使得EG丄平面A1BC？若存在，求出的值：若不存在．说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，DE⊥AB，沿DE将△AEDD折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE，∵A1E∩BE=E，∴DE⊥平面A1BE，∵A1B⊂平面A1BE，∴DE丄A1B．（Ⅱ）取CD中点E，连结NE，ME，∵M，N分别为A1C，BE的中点，∴ME∥A1D，NE∥DE，又DE∩A1D=D，NE∩ME=E，DE，A1D⊂平面A1DE，NE，ME⊂平面MNE，∴平面A1DE∥平面MNE．∴MN∥平面A1ED．（Ⅲ）取A1B的中点G，连结EG，∵A1E=BE，∴EG⊥A1B，由（Ⅰ）知DE⊥平面A1BE，∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1BE，∴EG⊥BC，又A1B∩BC=B，∴EG⊥平面A1BC．故棱A1B上存在中点G．使得EG丄平面A1BC，此时=1．19．（13分）已知函数f（x）=e x﹣ax．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=ax+2平行．求实数a的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）当0＜a＜l时，证明：曲线y=f（x）在直线y=（e﹣1）x的上方．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=e x﹣ax的导数为f′（x）=e x﹣a，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=e﹣a，由切线与直线y=ax+2平行，得e﹣a=a，解得a=．（Ⅱ）解：f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；若a＞0，则当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上递增；当x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lna）上递减．（Ⅲ）证明：令g（x）=f（x）﹣（e﹣1）x=e x﹣ax﹣ex+x，则g′（x）=e x﹣a﹣e+1，由g′（x）=e x﹣a﹣e+1=0，得x=ln（a+e﹣1）．∴当x＞ln（a+e﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）在（ln（a+e﹣1），+∞）上递增；当x＜ln（a+e﹣1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，ln（a+e﹣1））上递减．∴g（x）在（﹣∞，+∞）上有极小值也就是最小值为g（ln（a+e﹣1））=e ln（a+e﹣1）﹣（a+e﹣1）ln（a+e﹣1）=（a+e﹣1）（1﹣ln（a+e﹣1））．∵0＜a＜1，∴0＜a+e﹣1＜e，则ln（a+e﹣1）＜1，∴g（ln（a+e﹣1））=（a+e﹣1）（1﹣ln（a+e﹣1））＞0．∴曲线y=f（x）在直线y=（e﹣1）x的上方．20．（14分）在圆中直径所对的圆周角是直角，有同学类比圆研究椭圆，把经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径．已知椭圆C：+y2=1，AB是椭圆C的直径．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）该同学用几何画板在椭圆C上取了几个点．通过测量发现毎一个点与A，B连线的斜率之积不变．耶么对于椭圆上任意一点M（M不与A，B重合），直线MA，MB的斜率之积是否为定值．若是．写出定值并证明你的结论；若不是请说明理由．（III）O是坐标原点，M是椭圆上的一点且在第一象限．M关于原点的对称点为M′，E是x轴一点．△MOE 是等等腰三角形．MO=ME，直线M′E与椭圆的另一个交点为N，求证：∠M′MN是直角．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+y2=1的a=，b=1，c=，可得椭圆C的离心率为e==；（Ⅱ）直线MA，MB的斜率之积为定值﹣．理由：设M（m，n），A（s，t），B（﹣s，﹣t），则+n2=1，+t2=1，相减可得，=﹣（n2﹣t2），即有k MA•k MB=•==﹣；（Ⅲ）证明：设M（m，n）（m＞0，n＞0），M'（﹣m，﹣n），E（g，0），N（u，v），由△MOE是等等腰三角形．MO=ME，可得k MO+k ME=0，即为+=0，可得g=2m，即E（2m，0），直线M'E：y=（x﹣2m），代入椭圆x2+3y2=3，可得（1+）x2﹣x+﹣3=0，可得﹣m+u=，解得u=，v=（u﹣2m）=，则•=（2m，2n）•（u﹣m，v﹣n）=2mu﹣2m2+2nv﹣2n2=﹣2m2+﹣2n2=+=0．即有⊥，则∠M′MN是直角．。