高三一模数学试卷

广东省深圳高级中学高三一模数学（理）2月一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个正确答案）。

1．设全集U 是实数集R ，}034|{},22|{2<+-=>-<=x x x N x x x M 或，则图中阴影部分所表示的集合是 A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x x [来源:学|科|网]C ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2、定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： （i ）1*1=1，（ii ）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A ．nB ．n+1C ．n -1D ．n 2 3.复数1234,1z i z i =+=+，i 为虚数单位，若221z z z =⋅，则复数z =Ａ. i 5658+-Ｂ. i 5658-- Ｃ. i 5658+ Ｄ. i 5658- 4.设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是.A [1,5] .B [2,6] .C [3,10] .D [3,11]5.对任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值是A ．3B ．6C ．9D ．21 6．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为A ．12 B ．23 C ．32D ．27.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为A ．815B ．8114 C ．8122 D ．8125 8.， ()()上的可导函数为定义在已知为+∞∞-,x f ()()()0>'<x f x f x f 和且对于A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题分，每小题5分，共30分。

其中14，15小题为选做题，考生从给出的二道选做题中选择其中一道作答，若二题全答的只计算前一题得分）9．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量满足[2'(1)]OA y f OB =+-OC x⋅2ln ，则函数的表达式为 。

10．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。

11．设函数()(0,1)1xxa f x a a a =>≠+，表示不超过实数m 的最大整数，则函数11[()][()]22f x f x -+--的值域是 ．恒成立，则有R x ∈()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅>⋅<()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅>⋅>()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅<⋅>()()()()02010,0220102f e f f e f ⋅<⋅<,,OA OB OC ()y f x =:10 (0,0)l ax by a b ++=>>M 228210x y x y ++++=14a b+[]m12．设01a a >≠且，函数2lg(23)()x x f x a-+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>解集为 ．13．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的 数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据i a4041434344464748在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其 中a 是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是_______ .14、（几何证明选做题）如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 ．15、（参数方程与极坐标选做题）在直角坐标系中圆C的参数方程为（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，则圆的极坐标方程为___ __．三、解答题（本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值. （1）求.的值;（2）在ABC 中,分别是角A,B,C 的对边,已知,求角C..2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αO x C )0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x π=x ϕ∆c b a ,,,2,1==b a 23)(=A f 输出S结束输入i ←1是 开始S ←S +i ← i +1S ←0i ≥ 8 ?否S ← S / 817。

（本小题满分12分）连续做某种实验，结果或成功或失败，已知当第k 次成功，则第k+1次也成功地概率为21；当第k 次失败，则第k+1次成功的概率为43。

若首次试验成功和失败的概率都是21，求第n 次试验成功的概率。

18．（本题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，PD ABCD PA a AD ,,2底面⊥=与底面成30°角.（1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥； （2）在（1）的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值；（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的正切值.19. （本题满分14分）如图，为半圆，AB 为半圆直径，O为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()2f x x x =+.（Ⅰ）数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）已知数列11{}0,()(*)n n n b b t b f b n N +=>=∈满足，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为S n ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围。

21．（本小题满分14分）设函数f(x) = x 2 + bln(x+1),（1）若对定义域的任意x ，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b 的值； （2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(n＜k f nk ++++∑=都成立数学（理科）答案2月一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 二、填空题：（本大题共须作6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题横线上） 9、f(x)=2ln x10、 16 11、 ｛-1，0｝ 12、 (2,3) 13、7 14、 7 15、θρsin 4= 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16、(本小题满分12分) 解: （1）因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为1cos ()2sin cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=⋅+-sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-sin cos cos sin x x ϕϕ=+sin()x ϕ=+π=x sin()1πϕ+=-sin 1ϕ=,所以.所以（2）因为,所以,因为角A 为ABC 的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是, 因为,所以或. 当时,;当时,. 17、(本小题满分12分)解。

=K A 令{第K 次试验成功}，且,3,2,1,)( ==k p A P K K 则()()()()()()()||,(({K-1K-1K K-1K K-1K K-1K-1K-1K-1K-1k k 1K k 1K k 1K k 1k P A P A P A A P A P A A 1313P A P A P A 1P A 242431P A k 24431p p 6441P A p A)415P p A 443313A P p 5545p -------⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭=-≥=----------------+=-+=--=--=--∴-，即分令，所以，）},K-1K K-1n-1K n 3311P 45510313111P P n N 1244510510*⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫∴=--=--∈------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是等比列，，即分18．(本小题满分14分) 解法一：（1）ADBA BAD ⊥∴=∠,900ϕπ<<2πϕ=()sin()cos 2f x x x π=+=23)(=A f cos A =∆6A π=,2,1==b a sin sin a bA B=sin 1sin 22b A B a ===b a >4π=B 43π=B 4π=B 76412C ππππ=--=43π=B 36412C ππππ=--=.,,...,.,BAE PD A AE BA AE PD BA PD PAD PD PAD BA A AD PA PA BA ABCD PA 平面且又平面平面又底面⊥∴=⊥⊥∴⊂⊥∴=⊥⊥.,PD BE BE PD ⊥⊥∴即…………4分（2）过点E 作EM //CD 交PC 于M ，连结AM ，则AE 与ME 所成角即为AE 与CD 所成角.42334332.2,33334)332(.3342332.334,3322,30,90,.30.30,22a a aa PD PE CD ME a CD a a a PD PA PE a a aa PD AD PA AE a PD a PA a AD PDA PAD PAD Rt PDA ABCD PD ABCD PA =⋅=⋅=∴=====⋅=⋅=∴==∴==∠=∠∆∴=∠∴⊥ 中在角成与底面且底面.42cos ,.,..,,.,,90,,2,2,2.222==∠∆∴⊥⊂⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴=∠∴+=∴===∆AE ME MEA AME Rt AM ME PAC MA PAC ME PA ME CD PA ABCD PA AC ME AC CD ACD CD AC AD a CD a AC a AD ACD AC 中在平面平面底面又中在连结∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为42…………9分（3）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ，过B 作,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于,21//,AD CB A PG C CFB 的平面角为二面角--∠∴,22tan ,221,30.2,332,30,====∴=∠∴===∠==∴a aBFC a GB BF PGA a AG a PA PDA a AB GB∴平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的正切值为2. …………14分解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，,0)232(232210)(),232,2,0(),23,21,()332,0,0(),0,2,0(),0,,(),23,21,0(),0,0,(),0,0,0(=-⋅+⋅+⨯-=⋅∴-=-=∴a a a a PD BE a a PD a a a BE a P a D a a C a a E a B A 则 PD BE ⊥∴ …………4分（2）由（1）知，)0,,(),23,21,0(a a CD a a AE -==,420)()23()21(002321)(0||||cos 222222=++-⋅++⋅+⋅+-⨯=⋅=a a a a a a a a CD AE CD AE θθ则所成角为与设∴异面直线AE 与CD 所成角的余统值为42. …………9分（3）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥=则PAB BC PAB CB 是平面平面∴⊥.的法向量..2tan .555)3(110030110||||cos ,)3,1,1(,1.3,.0,0332.0,0),0,,(),332,,(.,),,,().0,,0(222222=∴=⋅=++⋅++⨯+⨯+⨯=⋅⋅==∴=⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=⋅=⋅∴-=-=⊥⊥==∴θθθa a a a m BC m BC m BC m y y z y x ay ax az ay ax CD m PC m a a CD a a a PC CD m PC m z y x m PCD a BC 则所成角为与设向量令得由而则的一个法向量为又设平面∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2. …………14分19、(本小题满分14分)解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2, 代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>kk k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1. 20、(本小题满分14分)解：（I ）()22f x x '=+，.........1分 122n n a a +∴=+ 122(2)n n a a +∴+=+ 11{2},2(2)2n n n a a a -+∴+=+为等比数列 1322n n a -∴=⋅- (4)分（Ⅱ）由已知得0n b >， 211(1),n n b b ++=+……1分1lg(1)2lg(1),n n b b +∴+=+∴又1lg(1)lg(1)0,b t +=+≠所以{lg(1)}n b +的公比为2的等比数列，∴12(1)1n n b t -=+-。