四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
四川省内江市高中2022届第一次模拟考试数学(理)试题
日期
１０ 月８ 日 １０ 月１８ 日 １０ 月２８ 日 １１ 月８ 日 １１ 月１８ 日
昼夜温差ｘ（℃） ８
１１
６
１５
５
就诊人数ｙ
１３
１７
１２
１９
９
（１）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数ｙ 与昼夜温差ｘ 之间的关系，请用以
上５ 组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程∧ｙ ＝
∧
ｂｘ
＋
∧ａ（结果精确到０．
０１
）；
（２）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为０． ６． 若
该寝室的另３ 位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有Ｘ 位同学被传染季节性流感，求Ｘ
的分布列和期望．
参考数据： （ ）（ ） ， （ ） ５
５
∑
ｉ ＝１
ｘｉ － ｘ珋
ｙｉ － ｙ珋 ＝ ６３
ｎ
（ ）（ ） ∧ （ ） ∴ ｂ ＝
∑
ｉ ＝１
ｘｉ － ｘ珋 ｙｉ － ｙ珋
ｎ
∑
ｉ ＝１
ｘｉ － ｘ珋２
＝ ６６３６≈０． ９５
分 ３
分 ∴
∧
ａ
＝
ｙ珋－
∧
ｂｘ珋＝ １４
－
６３ ６６
× ９≈５．
４１
５
∴ 就诊人数ｙ 关于昼夜温差ｘ 的线性回归方程为∧ｙ ＝ ０． ９５ｘ ＋ ５． ４１ ６ 分
ｆｘ ＝
ｇ ｘ ＝ ｆ ｘ － ｍｘ － ｍ ＋ １
（ ）， ， ｌｎ ｘ ＋１ ｘ ＞ －１
若ｇ（ｘ）存在２ 个零点，则实数ｍ 的取值范围是
高三一模考试数学（理科）试卷第 ２ 页（共４ 页）
四川省内江市2024届高三一模数学(理)试题(1)
一、单选题二、多选题1.已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ）A．B．C．D．2. 在中，已知，，，则（ ）A ．16B ．9C ．－9D ．－163. 已知集合，，则A．B．C．D． 4. “”是“直线与直线相互垂直”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知函数的周期为2，当时，，如果，则函数的所有零点之和为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．106. 已知,且,则的最小值为A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知函数的定义域为R ，则实数k 的取值范围是A．B．C．D．9. 已知函数（其中且），则下列说法正确的是（ ）A ．当时，在上单调递减，在上单调递增B．当时，的最小值为0C ．当时，若方程有两个不同的实数根，，则D ．无论α为何值时，都有10. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线，弦过焦点为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．存在点，使得B．C ．对于任意的点，必有向量与向量共线D ．面积的最小值为11. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若，，则m 与n 相交或异面B．若，，，则C ．若，，则D ．若，，，则m 与n 平行或相交或异面四川省内江市2024届高三一模数学（理）试题(1)四川省内江市2024届高三一模数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题12. 已知m ，n 是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则13. 已知多项式，则_______，________．14. 设m为实数，若函数在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m 的取值范围是_______________．15. 已知，，为，的夹角，且，则在上的投影向量的坐标为__________．16.已知椭圆的左、右焦点分别为离心率，点在且椭圆上，（1）求椭圆的方程；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.（3）试用表示的面积，并求面积的最大值.17.四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，，是等边三角形.（I ）证明：； （II ）若，求二面角的余弦值 .18.已知函数．（）在处的切线l 方程为．(1)求a ，b，并证明函数的图象总在切线l 的上方（除切点外）；(2)若方程有两个实数根，．且．证明：．19.设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）若.求证：，其中.20. 改革开放40年间，中国共减少贫困人口8.5亿多人，对全球减贫贡献率超70%，创造了世界减贫史上的“中国奇迹”.某中学“数学探究”小组为了解某地区脱贫成效，从1500户居民(其中平原地区1050户，山区450户)中，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭的2019年人均纯收入(单位：万元)作为样本数据.（1）应收集山区家庭的样本数据多少户？（2）根据这150个样本数据，得到该地区2019年家庭人均纯收入的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分频率组距组区间为，，，，，.若该地区家庭人均纯收入在8000元以上，称为“小康之家”，如果将频率视为概率，估计该地区2019年“小康家庭收入(万元)之家”的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的人均纯收入超过2万元，请完成“2019年家庭人均纯收入与地区类型”的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2019年家庭年人均纯收入与地区类型有关”？超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计附0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82821. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，.（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，过点（为坐标原点）作，求证：为定值.。
2020年四川省内江市高考数学一诊试卷(理科)
已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明：对一切 ，都有 成立．
已知数列 为等差数列，且 ＝ ， ＝ ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 为数列 的前 项和，若对任意 ，总有 ，求 的取值范围．
已知函数 满足： ＝ ．
（1）求 的解析式；
（2）若 ＝ ，且当 时， ，求整数 的最大值．
1.
【答案】
D
【考点】
并集及其运算
【解析】
由两集合的并集为 ，可得出 ＝ 或 ＝ ，即可求出 的值．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
2.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
【解答】
解：∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
②若函数 ＝ 在（一 ， ）上单调递增，则 的范围为 ；
③若 ＝ ，则 ＝ 在点（ ）处的切线方程为 ＝ ；
④若 ＝ ， ，则 ＝ 的最小值为一 ；
⑤若 ＝ 则函数 的图象向右平移 个单位可以得到函数 ＝ 的图象．
其中正确命题的序号有________（把你认为正确的序号都填上）．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）（一）必考题：共60分．
故选 .
3.
【答案】
B
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
四川省内江市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高二下·上饶期中) 复数（）A . 4﹣2iB . ﹣4+2iC . 2+4iD . 2﹣4i3. （2分）若{an}为等差数列，Sn是其前n项的和，且，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2014·重庆理) 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A . s＞B . s＞C . s＞D . s＞5. （2分）(2016·普兰店模拟) 以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③6. （2分） (2016高二下·新洲期末) 从重量分别为1，2，3，4，…，10，11克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为10克的方法总数为m，下列各式的展开式中x10的系数为m的选项是（）A . （1+x）（1+x2）（1+x3）…（1+x11）B . （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+11x）C . （1+x）（1+2x2）（1+3x3）…（1+11x11）D . （1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...（1+x+x2+ (x11)7. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 设向量，，若，则实数等于（）A . 2B . 4C . 6D . -38. （2分） (2018高二上·凌源期末) 如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·南宁月考) 设实数满足不等式组，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A . 1:3B . 1:C . 1:9D . 1:8111. （2分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A . 2B .C . 3D . 212. （2分） (2019高三上·沈河月考) 设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·天水期末) 已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ________14. （1分）(2018·宣城模拟) 已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在准线上，若，且直线的斜率，则的面积为________．15. （1分） (2019高三上·郑州期中) 若数列的各项均为正数，前项和为，且，，则 ________.16. （1分） (2019高二上·四川期中) 在下列四个命题中，正确的命题的有________.①已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则的最小值是10;②若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则；③若实数满足的取值范围为；④点M在圆上运动，点为定点，则|MN|的最大值是7.三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分）(2017·内江模拟) 如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC= DC．（1）若∠DAC=30°，求角B的大小；（2）若BD=2DC，且AD=3 ，求DC的长．18. （5分） (2015高二下·金台期中) 如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．19. （5分）(2017·仁寿模拟) 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. （5分） (2017高二上·荆门期末) 已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点P（x，y）是曲线C上的动点，求3x﹣4y的取值范围；（Ⅲ）已知定点Q（0，），探究是否存在定点T（0，t）（t ）和常数λ满足：对曲线C上任意一点S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，请说明理由．21. （10分）(2018·商丘模拟) 已知函数 .（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：且，有 .22. （5分） (2017高二下·烟台期中) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）= ，直线l2的极坐标方程为θ= ，l1与l2的交点为M．（Ⅰ）判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．23. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1） t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
四川省内江市高考数学一模试卷（理科）(含解析)一、选择题1．（5分）（2021•内江一模）已知是i虚数单位，复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的差不多概念．分析：将原式的分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：∵复数===﹣i．故选B．点评：熟练把握复数的除法法则是解题的关键．2．（5分）（2021•内江一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．54 B．68 C．72 D．90考点：等差数列的前n项和．专题：运算题；等差数列与等比数列．分析：依照等差数列的通项公式，将a4=18﹣a5化成2a1+7d=18．再由等差数列的求和公式，可得S8=4（2a1+7d）=72，从而得到本题答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=18﹣a5，∴a1+3d=18﹣（a1+4d），可得2a1+7d=18．∴S8=8=4（2a1+7d）=4×18=72故选：C点评：本题给出等差数列第4、5两项和和，求它的前8项之和，着重考查了等差数列的通项公式与求和公式等知识，属于中档题．3．（5分）（2021•内江一模）已知a是f（x）=的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）＜0 B．f（x0）=0 C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得f（a）=0，再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，结合0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，从而得到答案．解答：解：∵已知a是f（x）=的零点，∴f（a）=0．再由函数f（x）的解析式可得函数在区间（0，+∞）上是增函数，且0＜x0＜a，可得f（x0）＜0，故选A．点评：本题要紧考查函数的零点的定义，函数的单调性的应用，属于基础题．4．（5分）（2021•内江一模）已知函数y=f（x），x∈R，数列{an}的通项公式是an=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{an}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：数列的函数特性．专题：规律型；探究型．分析：本题可通过函数的单调性与相应数列的单调性的联系与区别来说明，能够看到，函数增时，数列一定增，而数列增时，函数不一定增，由变化关系说明即可解答：解：由题意数y=f（x），x∈R，数列{a n}的通项公式是a n=f（n），n∈N，若函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”，则“数列{a n}是递增数列”一定成立若“数列{a n}是递增数列”，现举例说明，这种情形也符合数列是增数列的特点，如函数在[1，2]先减后增，且1处的函数值小，综上，函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a n}是递增数列”的充分不必要条件故选A．点评：本题考查数列的函数特性，解题的关键是认识到数列与函数的不同，数列是离散的，而函数提连续的，由这些特点对两个命题的关系进行研究即可5．（5分）（2021•内江一模）设向量=（1，sinθ），=（3sinθ，1），且∥，则cos2θ等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．专题：运算题．分析：依照向量平行时满足的条件，列出关系式，化简后得到sin2θ的值，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin2θ的值代入即可求出值．解答：解：∵∥，∴=，即sin2θ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，把握两向量平行所满足的条件，是一道基础题．6．（5分）（2021•内江一模）某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，假如要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（）A．16 B．18 C．24 D．32考点：排列、组合及简单计数问题．专题：运算题；分类讨论．分析：本题是一个分类计数问题，第一安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情形都有车之间的一个排列A33，得到结果．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，第一安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列A33，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列A33，当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列A33，当最右边三辆时，有车之间的一个排列A33，总上可知共有不同的排列法4×A33=24种结果，故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的方法数要分析清晰，本题还考查列举法，是一个基础题．7．（5分）（2021•内江一模）已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（）A．﹣1 B．C．0D．1考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：数形结合．分析：第一画出可行域，z=代入坐标变为z=x+2y，即y=﹣x+z，z表示斜率为﹣的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即平移直线y=﹣x与可行域有公共点时直线在y轴上的截距的最大值即可．解答：解：如图所示：z=•=x+2y，即y=﹣x+z，第一做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当通过A（0，）点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（0，），故z的最大值为z=0+2×=1．故选D．点评： 本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．8．（5分）（2021•内江一模）在的展开式中X 的幂指数为整数的项共有（ ）A ． 3项B ． 4项C ． 5项D ． 6项考点：二项式系数的性质． 专题： 运算题． 分析：由题意的展开式的通项为T r+1==，要求展开式中x 的幂指数为整数，则使得17﹣为整数，从而有r 为6的倍数且0≤r ≤34可求解答：解：由题意的展开式的通项为T r+1==若使得17﹣为整数则r 为6的倍数且0≤r ≤34 ∴r=0，6，12，18，24，30 x 的幂指数为整数的项共6项 故选D点评：本题要紧考查了二项展开式的通项在求解指定项中的应用，属于基础试题9．（5分）（2021•内江一模）函数f （x ）的图象如图，f ′（x ）是的导函数，则下列数值排列正确的是（ ）A ． 0＜f ′（1）＜f ′（2）＜f （2）﹣f （1）B ． 0＜f ′（2）＜f （2）﹣f （1）＜f ′（1）C ． 0＜f ′（2）＜f ′（1）＜f （2）﹣f （1）D ． 0＜f （2）﹣f （1）＜f ′（1）＜f ′（2） 考点：导数的运算；函数的图象． 专题：函数的性质及应用． 分利用导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系即可得出．析：解答：解：由函数的图象可知：函数f（x）单调递增，同时先快后慢，∴f′（x）＞0，f′（x）是减函数，∴，故选B．点评：熟练把握导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系是解题的关键．10．（5分）（2021•内江一模）定义区间（a，b），[a，b），（a，b][a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度为d=（2﹣1）+（5﹣3）=3，用[x]表示不超过x的最大整数，记＜x＞=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•＜x＞，g（x）=2x ﹣[x]﹣2，若d1，d2，d3分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g （x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2021时，有（）A．d1=2，d2=0，d3=2021 B．d1=1，d2=1，d3=2021C．d1=2，d2=1，d3=2009 D．d1=2，d2=2，d3=2021考点：函数单调性的性质．专题：新定义．分析：先化简f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2021]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2021时的解集的长度；关于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．解答：解：∵f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=2x﹣[x]﹣2，f（x）＞g（x），等价于[x]x﹣[x]2＞2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＞[x]2﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＞（[x]﹣2）（[x]+1）．当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＜2，∴x∈[1，2）；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[3，2021]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2021时的解集为[0，2），故d1=2．f（x）=g（x）等价于[x]x﹣[x]2 =2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x=[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x=2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0=0，∴x∈[2，3）；当x∈[3，2021]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）=g（x）在0≤x≤2021时的解集为[2，3），故d2=1．f（x）＜g（x）等价于[x]x﹣[x]2 ＜2x﹣[x]﹣2，即（[x]﹣2）x＜[x]2﹣[x]﹣2，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＞2，∴x∈∅；当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0＜0，∴x∈∅；当x∈[3，2021]时，[x]﹣2＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[3，2021]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2021时的解集为[3，2021]，故d3=2009．故选C．点评：本题要紧考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．二、填空题11．（5分）（2021•内江一模）已知，且，则tanα=﹣．考点：同角三角函数间的差不多关系．专题：三角函数的求值．分析：第一依照sin2α+cos2α=1以及角的范畴求出sinα和cosα的值，然后依照tanα=求出结果．解答：解：∵sin2α+cos2α=1 ，①∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=∴sinαcosα=﹣∵，∴sinα＞0 cosα＜0sinα﹣cosα＞0∴（sinα﹣cosα）2=1+=sinα﹣cosα=②联立①②得sinα=，cosα=﹣∴tanα=﹣故答案为：﹣．点评：此题考查了同角三角函数的差不多关系，巧用sin2α+cos2α=1是解题的关键，要注意角的范畴．12．（5分）（2021•内江一模）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率运算公式，要求会读图，同时把握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．13．（5分）（2021•内江一模）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再依照流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环运算a的值，并输出．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否连续循环 a i循环前 2 1第一圈是 2第二圈是﹣1 3第三圈是 2 4…第2021圈是 2 2021第2021圈是2021第2021圈否故最后输出的a值为．故答案为：．点评：本题要紧考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．（5分）（2021•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x ﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范畴是（，2）．考点：根的存在性及根的个数判定．专题：运算题．分析：由已知中能够得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范畴．解答：解：∵关于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则有log a4＜3，且log a8＞3，解得：＜a＜2，故答案为（，2）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判定，指数函数与对数函数的图象与性质，其中依照方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，表达了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．15．（5分）（2021•内江一模）设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有（2）（3）（4）（1）函数f（x）在R上有最小值；（2）当b＞0时，函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根的充要重要条件是b2＞4|c|；（5）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．考点：命题的真假判定与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当b＜0时，能够依照函数的值域加以判定函数f（x）在R上是否有最小值；（2）当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情形讨论，转化为二次函数求单调性；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，能够依照函数图象的平移解决；（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即可得到结论；（5）依照f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象差不多上一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），结合二次函数的图象可得结果．解答：解：（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=值域是R，故函数f（x）在R 上没有最小值；（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=，知函数f（x）在R上是单调增函数；（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（﹣x）=﹣f（x）），也确实是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．（4）当b＜0时，方程f（x）=0有三个不同实数根，考虑函数f（x）与x轴有三个交点，如图，其充要重要条件是函数y=f（x）的极大值大于0且极小值小于0，即b2﹣4c＞0，b2＞4|c|；故（4）正确；（5）f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象差不多上一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．因此（5）不正确．故答案为：（2）（3）（4）．点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值等问题，关于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，表达了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一样转化为函数的奇偶性加以分析，再依照函数图象的平移解决，表达了转化、运动的数学思想；关于存在性的命题研究，一样通过专门值法来解决．三、解答题16．（12分）（2021•内江一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin2（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）依照cosA的值小于0，得到A为钝角，利用同角三角函数间的差不多关系求出sinA 的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，依照B为锐角，利用专门角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，依照周期的公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）由cosA=﹣＜0，A∈（，π），得到sinA=，又a=2，b=2，（2分）由正弦定理得：=，则sinB=，因为A为钝角，因此；（5分）（Ⅱ）由a=2，b=2，cosB=，依照余弦定理得：22=c2+12﹣4c•，即（c﹣2）（c﹣4）=0，解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2为最大边，因此c=4舍去，故c=2，（6分）把c=2代入得：===，（10分）则所求函数的最小正周期为π，由，得，则所求函数的单增区间为．（13分）点评：此题考查学生灵活运用正弦．余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，把握正弦函数的单调性，是一道中档题．学生求B度数的时候注意A为钝角那个隐含条件．17．（12分）（2021•内江一模）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发觉，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=﹣x+120．（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范畴．考点：函数模型的选择与应用．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：（1）确定销售利润，利用配方法求最值；（2）利用该商场获得利润不低于500元，建立不等式，即可确定销售单价x的范畴．解答：解：（1）由题意，销售利润为W=（﹣x+120）（x﹣60）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，有﹣（x﹣90）2+900≤1.45×60x，∴60＜x≤87∴当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）∵该商场获得利润不低于500元，∴（x﹣60）（﹣x+120）≥500∴70≤x≤110∴70≤x≤110时，该商场获得利润不低于500元．答：（1）当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）该商场获得利润不低于500元，销售单价x的范畴为[70，110]．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2021•内江一模）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：运算题．分析：（1）由已知得，解方程可求d，进而可求通项（2）由=，利用裂项可求T n，由T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立可知T n最大值≤λ（n+2），可求解答：解：（1）设公差为d．由已知得解得d=1或d=0（舍去）因此a1=2，故a n=n+1（2）因为=因此+…+==因为T n≤λa n+1对∀n∈N*恒成立∴≤λ（n+2）对∀n∈N*恒成立即对∀n∈N*恒成立又因此点评：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求把握．数列求和的方法具有专门强的模型（错位相减型、裂项相消型、倒序相加型），建议熟练把握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意．19．（12分）（2021•内江一模）某市为增强市民的环境爱护意识，面向全市征召义务宣传理想者．把符合条件的1000名理想者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名理想者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名理想者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名理想者中随机抽取3名理想者介绍宣传体会求第4组至少有一名理想者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若ξ表示抽出的3名理想者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．专题：运算题．分析：（1）由频率和频数的关系可得每组的人数，由分层抽样的特点可得要抽取的人数；（2）求出总的可能，再求出4组至少有一位理想者倍抽中的可能，由古典概型的概率公式可得；（3）可得ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得其分布列，由期望的定义可得答案．解答：解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.06×5×1000=300，第4组的人数为0.04×5×1000=200，第5组的人数为0.02×5×1000=100，第3、4、5组共600名理想者，故由分层抽样的特点可知每组抽取的人数为：第3组=6，第4组=4，第5组=2，因此第3、4、5组分别抽取6人，4人，2人；（2）从12名理想者中抽取3名共有=220种可能，第4组至少有一位理想者倍抽中有﹣=164种可能，因此第4组至少有一名理想者被抽中的概率为P==；（3）ξ的可能取值为：0，1，2，3，且P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，因此ξ的分布列为ξ0 1 2 3P∴ξ的期望Eξ==1.5点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及频率分布直方图和期望的求解，属中档题．20．（13分）（2021•内江一模）已知函数f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范畴．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．（2）要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范畴．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0），∴f′（x）=2ax﹣3+，x＞0∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a﹣2=0，∴a=1，∴f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，x＞0，令f′（x）=2x﹣3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为[，1），单调增区间为（1，+∞），当在区间时．∴f（x）在区间[，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）∴f max（x）=f（2）=﹣2+ln2，f min（x）=f（1）=﹣2．（6分）（2）原函数定义域为（0，+∞）∴f′（x）=2ax﹣3+=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立由于a＞0，设g（x）=2ax2﹣3x+1（x∈（0，+∞））由题意知△=9﹣8a≤0∴a≥因此a的取值范畴为：a≥．（12分）点评：本小题要紧考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，导数中常见的恒成立问题，属中档题．21．（14分）（2021•内江一模）关于函数f（x），若存在x0∈R，使f （x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．假如函数f（x）=有且仅有两个不动点0、2．（1）求b、c满足的关系式；（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{an}满足=1（Sn是数列{an}的前n项和），求证：；（3）在（2）的条件下，设，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：T2021﹣1＜ln2021＜T2021．考点：综合法与分析法(选修）；函数的值；利用导数研究函数的单调性．专题：运算题；证明题；新定义；转化思想．分析：（1）设=x的不动点为0和2，由此知推出b、c满足的关系式．（2）由c=2，知b=2，f（x）=（x≠1），2S n=a n﹣a n2，且a n≠1．因此a n﹣a n﹣1=﹣1，a n=﹣n，要证待证不等式，只要证，利用分析法证明＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0），由此入手利用函数的导数判定函数的单调性，然后导出．（3）由，利用（2）的结论，通过累加法证明所要证明的不等式T2021﹣1＜ln2021＜T2021即可．解答：解：（1）设=x的不动点为0和2∴即即b、c满足的关系式：b=1+且c≠0（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=（x≠1），由已知可得2S n=a n﹣a n2①，且a n≠1．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1﹣a n﹣12②，①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n=﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，2a1=a1﹣a12⇒a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1与a n≠1矛盾．∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n∴要证待证不等式，只要证，即证，只要证nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+），即证＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．令g（x）=x﹣ln（1+x），h（x）=ln（x+1）﹣（x＞0）．∴g'（x）=，h'（x）=，∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上差不多上增函数，∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，＜ln（x+1）＜x．令x=则**式成立，∴，（3）由（2）知b n=，则T n=在＜ln（1+）＜中，令n=1，2，3，…，2021，并将各式相加，得＜ln+ln+…+ln＜1+．即T2021﹣1＜ln2021＜T2021．点评：本题考查不等式的性质和应用，函数的导数判定函数的单调性构造法的应用，分析法证明不等式的方法，解题时要认真审题，认真解答，注意公式的合理运用．。
四川省内江市2023届高三一模数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）A．B．C．D．2.若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为（ ）A．B．C．D．3.设，，，则A．B．C．D．4.已知集合，集合，则的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．165. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是( )A．B．C．D．6. 已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P ，若，则椭圆C 的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8. 已知 ，，与的夹角为，则（ ）A ．2B．C．D ．49.边长为的正三角形ABC 三边AB ､AC ､BC 的中点分别为D ､E ､F ，将三角形ADE 沿DE 折起形成四棱锥，则下列结论正确的是（ ）A ．四棱锥体积最大值为B ．当时，平面平面PEF C ．四棱锥总有外接球D．当时，四棱锥外接球半径有最小值10.已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（ ）A．B．函数在内单调递增C ．对于任意都有D．不等式的解集为11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（ ）四川省内江市2023届高三一模数学（理）试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B．C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12. 已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________13. 已知函数，则=______14.展开式奇数项的二项式系数和为32，则该展开式的中间项是__________.15. 已知，则__________，当时，的值为________.16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．18.已知（1）求的值；（2）若是第三象限的角，化简三角式，并求值.19. 图1所示的椭圆规是画椭圆的一种工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D 为旋杆上的一点且在M ，N 两点之间，且.当滑标M 在滑槽EF 内做往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.八、解答题九、解答题十、解答题(1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的短轴为直径作圆，已知直线l与圆相切，且与椭圆交于A ，B 两点，记△OAB 的面积为S，若，求直线l 的斜率.20. 已知函数，，其中，为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极小值；（2）对，是否存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）设，当时，若函数存在三个零点，且，求证：．21. 为提升学生的综合素养能力，学校积极为学生搭建平台，组织学生参与各种社团活动.在学校辩论队活动中，甲同学积极参与.为了更好的了解每个同学的社团参与情况和能力水平，对每位参与辩论队的同学进行跟踪记录.社团老师了解到，甲自加入辩论队以来参加过100场辩论比赛：甲作为一辩出场20次，其中辩论队获胜14次；甲作为二辩出场30次，其中辩论队获胜21次；甲作为三辩出场25次，其中辩论队获胜20次；甲作为四辩出场25次，其中辩论队获胜20次.用该样本的频率估计概率，则：(1)甲参加比赛时，求该辩论队某场比赛获胜的概率；(2)现学校组织6支辩论队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级.社团老师决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在辩论队顺利晋级，记其获胜的场数为，求的分布列和数学期望.22.下图的四棱锥和四棱台是由一个四棱锥被过各侧棱中点的平面所截而成在四棱台中，平面，H是的中点，四边形为正方形，.（1）证明：；（2）求四棱台的体积.。
2019-2020学年四川省内江市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合 A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则 A∪B=（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
∴
考 ，解得 a=1．
故选：C．
高
您 3．（5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（
A．
，
B．
，
）
祝C．
，
D．
，
【解答】解：对于 A，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
对于 B， ， 是两个不共线向量，故可作为基底．
对于 C，
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．．
对于 D， 故选：B．
上单调递减，
则
，可得
φ
，k∈Z．
∴φ= 故选：C
7．（5 分）已知 α 是锐角，若 A． B． C． D． 【解答】解：∵已知 α 是锐角，若
，则 cos2α=（ ）
！
功 ， ∴ cos （ α ﹣ ）
= 则 cos2α=sin（
=， ﹣2α）=﹣sin（2α﹣
）=﹣2sin（α﹣
成）cos（α﹣
， ， 是两个共线向量，故不可作为基底．
4．（5 分）下列说法中正确的是（ ）
A．先把高三年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的 50 名
学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150…
2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题（解析版）
2020届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}1,2,3,4A B =，则实数m 为（ ）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．3或4【答案】D【解析】根据并集的运算结果可得出实数m 的值. 【详解】集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}1,2,3,4A B =，3m ∴=或4.故选：D. 【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()12221211212555i i i i z i i i i -+====+++-， 因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πC ．πD ．2π【答案】B【解析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=， 所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=，因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为3π. 故选：B. 【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）． A ．10- B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】分析：先求出二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出k 的值，即可求得展开式中4x 的项的系数.详解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项()()()552135155C 1C k k k k k k k T x x x ----+=-=-， 、令354k -=，可得3k =， ∴()()5533551C 1C 10kk---=-=．故选C ．点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．函数()y f x =在()()1,1P f 处的切线如图所示，则()()11f f '+=（ ）A ．0B ．12C ．32D ．12-【答案】A【解析】由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率()1f '和切线方程,然后求出(1)f ,即可得到()()11f f '+的值. 【详解】解:因为切线过(2,0)和(0,1)-,所以011(1)202f +=-'=, 所以切线方程为112y x =-,取1x =,则12y ,所以1(1)2f =-, 所以()()1111022f f '+=-+=.故选:A . 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题. 6．已知等比数列{}n a 是递增数列，22a =，37S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A ．31 B ．31或314C ．3116D ．3116或314【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出1a 和q 的值，并确定出等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得()21231217a a q S a q q ==⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 由于等比数列{}n a 是递增数列，则11a =，2q，1111112n n n na a a q a ++∴===，且111a ，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为511131211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．函数()2221xf x x x =--+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据()f x ,求出(0)f ,即可排除错误选项. 【详解】解:因为()2221xf x x x =--+,所以(0)0f =,排除ACD .故选:B . 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题. 8．已知向量()2cos 2a θθ=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ-D ．θ【答案】C【解析】直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可. 【详解】 解:因为()2cos ,2sin a θθ=,()0,1b =,所以2sin cos ,sin ||||2a b a b a b θ⋅<>===,因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,2a b πθ<>=-,所以向量a 与b 的夹角为2πθ-.故选:C . 【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.9．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5,2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】由程序框图可得， 1n =时， 4462242a b =+=>⨯==，继续循环； 2n =时，6692482a b =+=>⨯==，继续循环； 3n =时，9279281622a b =+=<⨯==， 继续循环；结束输出3n =.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足：任意1x ，()212x x x ∈[0,+∞)≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()32log 1321log 2log 29f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()332log log 1212log 229f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()32log 13212log 2log 9f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据条件可知()f x 在[0,)+∞上单调递减,然后结合()f x 的奇偶性比较函数值的大小即可. 【详解】解:由任意1x ,()212[,+)x x x ∈0∞≠,有()()21210f x f x x x -<-,知()f x 在[0,)+∞上单调递减,又()f x 为R 上的偶函数, 所以32log (2()3)f f =<31(log )(2)(2)9f f f =-=<12(log 2)(1)f f -=,即()32log 31212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A . 【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.11．函数()()()()128f x x x S x S x S =---，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n a n n =+，则()0f '=（ ）A ．112 B ．14C ．18D ．19【答案】D【解析】先利用裂项相消法求出n S ,再求出()f x ',进一步求出(0)f '的值.【详解】 解:因为()11n a n n =+,所以111n a n n =-+,所以11111[(1)()()]2231n S n n =-+-++-+=1111nn n -=++. 由()()()()128f x x x S x S x S =---,得()()()()()()128128()+x [ ] f x x S x S x S x S x S x S ''=------,所以1281281(0)2399S S f S =='⨯⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前n 项和,属中档题.12．已知函数222,0()|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得122x x +=-，341x x =，数形结合求出12210x x -<<-<<,341122x x <<<<，进而可得结果. 【详解】画出函数()f x 的大致图象如下图，得出122x x +=-，341x x =，①错、②正确；且12210x x -<<-<<，341122x x <<<<， 344415(2,)2x x x x +=+∈， 则123444112(0,)2x x x x x x +++=-++∈，③正确； 因为221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈， 所以123412(0,1)x x x x x x =∈④正确.故选C. 【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题13．已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.【答案】12【解析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可. 【详解】解:因为随机变量ζ服从正态分布()22,N δ,所以正态曲线关于2ζ=对称,所以()122P ζ<=. 故答案为:12.【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题. 14．设函数()()lg 1f x x =-，则函数()()f f x 的定义域为___________.【答案】（-9，1）【解析】先求出(())f f x ,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域. 【详解】解:因为()()lg 1f x x =-,所以()()lg(1())lg[1lg(1)]ff x f x x =-=--.由1lg(1)010x x -->⎧⎨->⎩,得1101x x -<⎧⎨<⎩,所以91x -<<, 所以函数()()ff x 的定义域为(9,1)-.故答案为:(9,1)-. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.15．已知函数()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=.若()11f =，则()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=___________. 【答案】0【解析】根据()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=,得到(0)0f =和()f x 的周期,再结合(1)1f =,求出(1)f ,(1)f ,(3)f 和(4)f 的值,进一步得到答案. 【详解】解:因为()y f x =是定义域为(),-∞+∞的奇函数满足()()310f x f x --+-=, 所以(0)0f =,(1)(3)(3)f x f x f x -=---=+, 则()(4)f x f x =+,所以()f x 的周期4T=,又()11f =,所以(3)(1)(1)1f f f =-=-=-,(4)(0)0f f ==, 令1x =-,则(31)(2)2(2)0f f f -++-=-=,所以(2)0f -=,所以(2)(2)0f f =--=,所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=,所以()()()()1232020f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=504[(1)(2)(3)(4)]0f f f f ⨯+++=. 故答案为:0. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题.16．对于函数()13f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（其中0>ω）：①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π，则2ω=；②若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的范围为110,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③若2ω=，则()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为210y --=；④若2ω=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的最小值为12-；⑤若2ω=，则函数1y x =+的图象向右平移3π个单位可以得到函数()y f x =的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①④【解析】①根据条件,可得44T π=,然后利用周期公式求出ω;②根据()f x 在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,可得332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩,然后求出ω的范围;③当2ω=时,求出f (0)和f (x )的导函数,然后求出()()0,0f 处的切线方程的斜率()k f x '=,再求出切线方程即可;④根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,直接利用整体法求出f (x )的值域,从而得到f (x )的最小值;⑤直接求出函数1y x =+的图象向右平移3π个单位的解析式即可. 【详解】解:①若函数()y f x =的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为4π,则 44T π=,所以T π=,所以22T πω==,故①正确;②当(,)34x ππ∈-,则(,)33343x πωππωππω-∈---, 因为0>ω,所以若函数()y f x =在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则332432ωπππωπππ⎧--≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩, 所以12ω≤,又0>ω,所以102ω<≤,故②错误; ③当2ω=时,())13f x x π=-+,则1(0)2f =-, ())3x x f π'=- ,所以切线的斜率(0)f k ='=,所以()y f x =在点()()0,0f处的切线方程为210y --=,故③错误; ④当2ω=时,())13f x x π=-+,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ2π2[,]333x -∈-,所以当(2)[32sin x π-∈-,所以1()()122min f x =-+=-,故④正确; ⑤当2ω=时,())13f x x π=-+,若1y x =+的图象向右平移3π个单位,则2)]1)1()33y x x f x ππ=-+=-+≠,故⑤错误. 故答案为:①④. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.三、解答题17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状.【答案】（1）60；（2）ABC ∆面积的最大值为，此时ABC ∆为等边三角形. 【解析】（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出1cos 2A =，再结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）对a 利用余弦定理，利用基本不等式求出bc 的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出b c =，可判断出此时ABC ∆的形状. 【详解】 （1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，()22b c a bc ∴-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，0180A <<，60A ∴=；（2）由余弦定理和基本不等式得222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤=，当且仅当6b c a ===时，等号成立，ABC ∆∴的面积113sin 369322ABC S bc A ∆=≤⨯⨯=.此时，由于6b c ==，60A =，则ABC ∆是等边三角形. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？ 甲班 乙班 总计 成绩优良（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n da bc K a c b d a b c d -=++++（其中n a b c d =+++）【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，43. 【解析】(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算2K ,再对照表得出结论; (2)先确定甲班人数X 的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X 的分布列和数学期望. 【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出22⨯列联表如表所示,根据22⨯列联表中的数据,得()22401041610 3.956 3.84126142020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. (2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6. 由题意可知X 的取值分别为X 0=,1X =,2X =,则()22261015C P X C ===；()1124268115C C P X C ⋅===；()24266215C P X C ===. ∴X 的分布列为其数学期望EX =18640121515153⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题. 19．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln x x x x e e<-成立.【答案】（1）()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的递增区间和递减区间；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，证明出()()max min f x g x ≤，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.【详解】 （1）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=. 令()0f x '>，即ln 1x <，解得0x e <<；令()0f x '<，即ln 1x >，解得x e >. 因此，函数()y f x =的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，其中0x >. 由（1）知，函数()ln xf x x=在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1f x f e e==.()2x x g x e e =-，()1x x g x e-'∴=. 令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g e==. ()()maxmin f x g x ∴≤，所以，ln 2x x x x e e <-，因此，22ln x x x x e e<-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．已知数列(){}()*2log 1n a n N -∈为等差数列，且13a=，39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意*n N ∈，总有43n m S -<，求m 的取值范围.【答案】（1）21nn a =+；（2）[)10,+∞.【解析】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，利用1a 、3a 求出d 的值，可求出数列(){}2log 1n a -的通项公式，再利用对数式化指数式可求出n a ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用定义判断数列{}n b 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出n S ，可求出n S 的取值范围，即可得出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，则()()2321222log 1log 1log 8log 22d a a =---=-=，解得1d =，()212log 1log 21a -==，()()2log 1111n a n n ∴-=+-⨯=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+；（2）1221122n n n n b a -===-，11112121222n n n nn n b b -+-∴===，且11b =， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11112211212n n n S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，由于数列{}n S 单调递增，11S =，12n S ∴≤<， 对任意*n N ∈，总有43n m S -<，423m -∴≥，解得10m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)10,+∞. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n 项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()f x 满足：()()()12102x f f x x x e f x -'=-+. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212g x f x x =-，且当0x >时，()()10x k g x x '-++>，求整数k 的最大值.【答案】（1）()212xe xf x x =-+；（2）2. 【解析】(1)直接对f (x )求导,然后令x =1,求出(0)f ',再令x =0,求出(1)f ',从而得到f (x )的解析式;(2)先求出g (x )的解析式,然后利用分离参数法求出k 的范围,进一步得到整数k 的最大值. 【详解】解:(1)∵()()()12102x f f x x x e f x -'=-+, ∴()()()10x x f x x f ef -''=-+,令1x =得,()01f =,即()()12112x f e f x x x -'=-+, 令0x =得,(1)e f ,∴函数()f x 的解析式为()212xe xf x x =-+. (2)由(1)有()xg x e x =-,则()1x g x e '=-,∴()()()()111xx k g x x x k e x '-++=--++,故当0x >时,()()10x k g x x '-++>等价于()101x x k x x e +<+>-①, 令()1(0)1x h x x x x e +=+>-,则()()()()2221111x x x x xh x e e x xe e e ----=+=-'-, 令函数()2xe x H x =--,易()H x 在()0,∞+上单调递增,而()01H <,()02H >,所以()H x 在()0,∞+内存在唯一的零点, 故()h x '在()0,∞+内存在唯一的零点,设此零点为0x ,则()01,2x ∈. 当()00,x x ∈时,()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时,()0h x '>.∴()h x 在()0,∞+内的最小值为()0h x .又由()00h x '=可得002xe x =+∴()()00000112,31x x x x h x e +=+=+∈-,∴k 2≤, ∴()101x x k x x e +<+>-恒成立,则整数k 的最大值为2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值. 【答案】（1）圆的普通方程为()()22129x y -++=；0x y m ；（2）2m=-32.【解析】试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程分别为()()22129x y -++=, 0x y m -+= ；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得3m =-±试题解析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得 sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=. （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，2=，解得3m =-±23．函数()2f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]2,3-；（2）(][),62,-∞-+∞.【解析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式()5f x ≤，即可得出该不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出函数()2f x x a x =++-的最小值为2a +，由题意可得出24a +≥，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()12f x x x =++-.当1x ≤-时，()()()12215f x x x x =-++-=-+≤，解得2x ≥-，此时21x -≤≤-； 当12x -<<时，()1215f x x x =-+-=≤成立，此时12x -<<； 当2x ≥时，()12215f x x x x =++-=-≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤. 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]2,3-；（2）由于不等式()4f x ≥在R 上恒成立，则()min 4f x ≥.由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+，24a ∴+≥，即24a +≤-或24a +≥，解得6a ≤-或2a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。
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四川省内江市高考数学一模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2020高二下·重庆期末) 已知集合，则（）
A . {2}
B . {3}
C .
D .
2. （2分）(2017·长春模拟) 已知平面向量，，则
A .
B . 3
C .
D . 5
3. （2分） (2019高一上·广州期末) 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且
，，连接交于点，若，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高一上·金华期末) 已知在梯形中，，且，，点为中点，则（）
A . 是定值
B . 是定值
C . 是定值
D . 是定值
5. （2分） (2019高一上·连城月考) 函数定义域为R,且对任意 , 恒成立,则下列选项中不恒成立的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示，该几何图形的体积或面积分别是（）
A . a3 ， a2
B . a3 ，
C . a3 ， a2
D . a3 ，
7. （2分）若函数( ， )的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2017高二下·扶余期末) 运行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高三上·浙江月考) 函数的部分图象大致为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，如果，那么
＝（）
A . 6
B . 8
C . 9
D . 10
12. （2分）已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）设i是虚数单位，则复数i-＝________
14. （1分）(2017·红河模拟) 如果实数x，y满足条件，则z= 的最大值为________．
15. （1分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为________
16. （1分） (2015高二上·菏泽期末) 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________米．
三、解答题 (共7题；共50分)
17. （5分）(2019·昌平模拟) 在等差数列中，a2=8，且a3+a5=4a2 ．
（Ⅰ）求等差数列的通项公式；
（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列满足，求数列{bn-an}的前n项和．
18. （5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=， b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
19. （10分）(2020·莆田模拟) 为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.
参考公式：，其中 .
参考数据：
0.100.050.0250.0100.0050.001
2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关；
非网购达人网购达人总计
男
女10
总计
（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差 .
20. （10分）(2020高二上·安徽月考) 三棱台中，，
， , ．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21. （5分）已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）讨论函数h（x）=的单调性；
（2）如果对任意的s，t∈[， 2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
22. （10分）(2019·南通模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）直线l的直角坐标方程；
（2）直线被曲线C截得的线段长．
23. （5分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）= ，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、22-1、22-2、
23-1、。