2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8B．0.4C．0.3D．0.23．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1B．﹣1C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720积为（）A BC的三视图，其表面锥S﹣9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱A．16B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），为P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣n﹣4*为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）||=2||=2，|﹣|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足的投影为．a1=a2=1，an+2=，14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足S2n=．则数列{a n}前2n项和a=0把区域分成面2）y+4﹣15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣积相等的两部分，则的最大值为．2 16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x（a＜﹣1）对．x2|，则a的取值范围为f（x2）|≥4|x1﹣任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣.）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤c=1，17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足且cosBsinC+（a﹣s inB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；2+b2（2）求a的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．A BCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，P﹣18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段C D上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区时转动两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同无效，重新开下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动转盘待指针停域为y，x、y∈{1，2，3}，域为x，转盘（B）指针所对的区始），记转盘（A）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线1，）．过椭圆E内一点P（1，）的与椭圆相交于M、N两点，且线段M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；．（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），C的极坐标方程在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线为ρ=C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（1）求曲线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．（2）若直线4-5：不等式选讲][选修3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；x∈R恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A ∩B=（）A ．?B ．（0，1）C ．[0，1）D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2 ＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}， 则A ∩B=[0，1）， 故选：C ．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N （3，σ2），若P （ξ＞4）=0.2，则P （3＜ξ≤4）=（）A ．0.8B ．0.4C ．0.3D ．0.2【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ 2 ），∴μ=3，得对称轴是x=3． ∵P （ξ＞4）=0.2∴P （3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3． 故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i 为虚数单位），则 3=（）A ．1B ．﹣1C ．D ． 【解答】解：复数z=， 可得=﹣=cos+isin ． 则 3=cos4π+isin4π=1． 故选：A ．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为P 、Q ，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 【解答】解：如图若∠PFQ=π， 则由对称性得∠QFO=， 则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+⋯+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣A BC的三视图，其表面积为（）A．16B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．word完美格式∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣k x=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，xx0=1，当x＜0时，函数f（x）=e﹣1的导数f′（x）=e，则f′（0）=e即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．k≤0或k≥1，围为综上k的取值范故选：B．2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为a n=﹣n﹣4*围为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）n﹣42【解答】解：∵an﹣b n=﹣2n+p﹣，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，n﹣4bn=2随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，=word完美格式=7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2﹣1．n+n2【解答】解：∵数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．n2故答案为：2+n﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．216．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f （x ）=（a+1）lnx+x （a ＜﹣1）对 任意的x 1、x 2＞0，恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥4|x 1﹣x 2|，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]． 【解答】解：由f ′（x ）=+x ，得f ′（1）=3a+1，所以f （x ）=（a+1）lnx+ax 2，（a ＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2， 则f （x 1）﹣f （x 2）≥4x 2﹣4x 1，即f （x 1）+4x 1≥f （x 2）+4x 2， 令F （x ）=f （x ）+4x ，F ′（x ）=f ′（x ）+4=+2ax+4， 等价于F （x ）在（0，+∞）上单调递减， 故F'（x ）≤0恒成立，即+2ax+4≤0， 所以恒成立， 得a ≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足c =1， 且cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 （1）求C 的大小；（2）求a 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．2+b 2 【解答】解：（1）cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 可得：cosBsinC ﹣（a ﹣sinB ）cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0． 由正弦定理可知：， ∴，c=1，word完美格式∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c﹣2abcosC，2=a2+b2得1=a﹣ab2+b2又，∴，即：．当时，a2+b取到最大值为2+．2+b218．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴MEAD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），1）．==（λ+1，2λ﹣1，﹣∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动，重新开转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效域为y，x、y∈{1，2，3}，始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，转盘1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，同理转盘B指针指向∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．⋯（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ23456PEξ==．⋯（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段1，）．过椭圆E内一点P（1，）的M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．，【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则两式相减，故a⋯（2分）2=3b2A P平行于x轴时，设|AC|=2d，当直线∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得⋯4分22a=3，b=1，所以方程为⋯（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），⋯①同理可得⋯②⋯（8分）由①②得：⋯③得，程将点A、B的坐标代入椭圆方两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）⋯④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），⋯（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）⋯⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．⋯（12分）2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线x﹣2y+e=0平行．与直线（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；．（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故，则而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），word完美格式要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．﹣kk=2e k22=?（k），k﹣k）﹣2+2e﹣易知，又h（e）=k×（﹣k26＞则?'（k）=2（e﹣k）＞0，则?（k）在k＞2为增函数，∴?（k）＞?（2）=2e﹣0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．4-1：几何证明选讲][选修22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．word完美格式..（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD ．【解答】证明：（Ⅰ）连接B D ，因为D 为的中点，所以BD=DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB ∥DE ．⋯（5分）（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD=∠DAC ，又∠BAD=∠DCB ，则∠DAC=∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以=，AD?CD=AC?CE ，2AD?CD=AC?2CE ，因此2AD?CD=AC?BC ．⋯（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由曲线C 的极坐标方程为ρ=得ρ2sin 2 θ=2ρcos θ． 2∴由曲线C 的直角坐标方程是：y=2x ．由直线l 的参数方程为（t 为参数），得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：x ﹣y ﹣4=0，所以直线l 的普通方程为：x ﹣y ﹣4=0⋯（5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得t 2=2x ，得t 2 ﹣8t+7=0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，word完美格式..所以|AB|===，y﹣4=0的距离d=，因为原点到直线x﹣所以△AOB的面积是|AB|d==12．⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．l|+|x﹣3|=的图象如图所示，【解答】解：函数f（x）=|x﹣（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈?，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．1，5]．综上可得，原不等式的解集为[﹣（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。
河北省衡水中学2018届高三高考押题(一)理科数学试题(PDF)
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=（ ）4{|0}2x A x Z x -=∈≥+1{|24}4x B x =≤≤A B A ． B ． C ． D ．{|12}x x -≤≤{1,0,1,2}-{2,1,0,1,2}--{0,1,2}2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）i 11ti z i-=+t A ． B ． C ．D ．[1,1]-(1,1)-(,1)-∞-(1,)+∞3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（ ）(,0)-∞A. B ． C. D ．42y x x =+||2x y =22x x y -=-12log ||1y x =-4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）1C 2212x y -=2C 2212x y -=-A.它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等5.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（ ）{}n a 4a 12a 2310x x ++=81a=±A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）S A.1009 B ．-1009 C.-1007 D ．10087.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．163π+112π+1123π+143π+8.已知函数的部分图象如图所示，则函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><图象的一个对称中心可能为（ ）()cos()g x A x ϕω=+A ．B ． C. D ．5(,0)2-1(,0)61(,0)2-11(,0)6-9.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的F O C AB OF AB ⊥AC a =BC b =无字证明为（ ）A. B ． 2a b +≥(0,0)a b >>222a b ab +≥(0,0)a b >>C. D ．2ab a b ≤+(0,0)a b >>2a b +≤(0,0)a b >>10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）A ．720B ．768 C.810 D ．816。
衡水中学2018年高考理数押题试卷
河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A {x|x2x 6 0, x Z}，B {z|z x y ,x A,y A}，则Al B ()A. {0,1} B• {0,1,2} C• {0,1,2,3} D• { 1,0,1,2}1 z2.设复数z满足'2 i，则| A ()1 i zA. .5B 1C•仝D仝5 5 253.若cos( -)- ，(0,—) ，则sin 的值为（)4 3 2A. 4 2B 4 .2 C7 D辽••6 6 18 34.已知直角坐标原点O为椭圆C :2 2x y1(a b 0）的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任a2 b2取一个数e，则事件“'以e为离心率的椭圆C与圆0： 2 2 x y a b没有交点”的概率为（)Ad B 4 2C D 2 24 4 2 25.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E :2 2% y21（a 0,b 0），当其离心率e [「2,2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）a bA. [0, ] B • [―,]C • [―,]D •[―,]6 6 3 4 3 3 26.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 2，则它的表面积是（）A. (32133) .22 2B- (3 413|) 22 2c •卫.22D.13 ,22247.函数ysin x ln x 在区间［ 3,3］的图象大致为()A.函数g( x)图象的对称轴方程为 x k (k Z)12B. 函数g(x)的最大值为2.218.二项式(ax)n (a 0,b 0)的展开式中只有第 6项的二项式系数最大,bx第4项的系数的3倍，则ab 的值为( )且展开式中的第3项的系数是A . 4B12D. 169.执行如图的程序框图，若输入的x 0 , y 1 ,n 1，则输出的p 的值为(A . 81B• 2 10. 已知数列 a 1 1, a 22, 且an 2A .2016 1010 1B.100911. 已知函数 f(x)Asin( x )(Aa n 2 20170,2( 1)n , 814n N ,则S 2017的值为.2017 1010 1 D81 8)1009 20160,)的图象如图所示，令 g(x)2f(x) f '(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是()B .C . Dr'-W I I 庄C.函数g(x)的图象上存在点 P ，使得在P 点处的切线与直线I : y 3x 1平行第U 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 向量a (m, n) , b ( 1,2)，若向量a , b 共线，且a 2 b ，则mn 的值为 _______________________ .2 2x y14. 设点M 是椭圆 —2 1(a b 0)上的点，以点 M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点 F ，圆Ma b与y 轴相交于不同的两点 P 、Q ，若 PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ___________________ .2x y 3 015.设x ， y 满足约束条件 x 2y 2 0，则y 的取值范围为2x y 2 x16.在平面五边形 ABCDE 中， 已知 A 120o ， B 90o ， C 120o ， E 90o ，AB 3，AE 3， 当五边形ABCDE 的面积S [6・、,3,9、一 3)时，则BC 的取值范围为 __________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•1 *17.已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，q —，2S n S n 1 1(n 2,n N).2(1 )求数列｛a n ｝的通项公式；* 1(2)记 b n log 1 a n (n N )，求｛｝的前 n 项和 T n .2b n b n 1D.方程g(x) 2的两个不同的解分别为X i ， x 2，贝U X ! x 2最小值为一212.已知函数f(x) ax 3 3x 21，若f (x)存在三个零点，则 a 的取值范围是(A . (, 2) B . ( 2,2) C . (2,) D(2,0) U(0,2)18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB 2a , ABC 120o, AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF , BD DE , DE 2BF 2. 2a，平面BDEF 底面ABCD.（1）证明：平面AEF 平面AFC ；（2 ）求二面角E AC F的余弦值•19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1 ）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望20.已知椭圆C :与爲l(a b 0)的离心率为—，且过点，动直线I : y kx m交a b 2 22uuu uuu椭圆C于不同的两点A, B，且OA OB 0 ( O为坐标原点)•(1)求椭圆C的方程•(2)讨论3m2 2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由_ 2 221.设函数f (x) a In x x ax(a R).(1)试讨论函数f (x)的单调性；(2)设(x) 2x (a2 a)ln x，记h(x) f (x) (x)，当a 0时，若方程h(x) m(m R)有两个不相等的实根禺，X2，证明h'Q x2) 0 .2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22.选修4-4 :坐标系与参数方程x 3 cost在直角坐标系xOy中，曲线G : ( t为参数，a 0)，在以坐标原点为极点，x轴的非负y 2 si nt半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 4sin .(1 )试将曲线G i与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；(2)当a 3时，两曲线相交于A，B两点，求AB .23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) 2x 1 x 1 .(1 )在下面给出的直角坐标系中作出函数y f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x) 3的解集;(2)若函数y f (x)的最小值记为m，设a, b R，且有a2 b2 m，试证明:1 4 18 a2 1 b2 1 7、选择题 1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11 、填空题 13. 8 14. 参考答案及解析 理科数学（U ）、12: CD15.2 7 - [―,—]代.[、,3,3、3) 5 417.解：（1）当 n 2时，由— 得 2S 2 S 1 1 ，即 2a〔 2a 2又由2S n S n 1 1，① 可知2S n 1 S n 1，② ②-①得2a n 1 a n ，即也a n 1适合上式, 2 a 2 a 1三、解答题 S n 1 1 及 a 11，解得a 212 14 .且n 1时, (2)由(1)及 b n1 可知bn log 1(2)n 1 所以 ------ b n bn 11 故Tn — b n b2 1 尹2). 1 因此数列｛a n ｝是以一为首项, 21-为公比的等比数列，故21 * a n 27(nN ).log-, a n (n N2n(n 1) 1 db s b n b n 1 [(1 2）（11）（丄n 1 1 —)]1 —n 1n 118.解：（1）因为底面 ABCD 为菱形，所以AC BD ， 又平面BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF I 平面 ABCD BD，因此AC 平面BDEF ，从而AC EF . 又BD DE ，所以DE 平面ABCD ， 由 AB 2a ，DE 2BF 2、2a ， ABC 120o ， 可知 AF -4a 2 2a 2 ，6a ，BD 2a ， EF 4a 2 2a 2 . 6a ，AE 4a 2 8a 2 2.3a ，从而 AF 2 FE 2 AE 2，故 EF AF .19.解：(1)从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为 B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为卫6 14，100 25 14则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有800 14 448.251(2)这100名学生成绩的平均分为 (32 100 56 90 7 80 3 70 2 60)100因为91.3 90 ,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 (3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中 A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3又AF I AC A ，所以EF 平面AFC .又EF 平面AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC .(2)取EF 中点G ，由题可知OG / /DE ，所以OG 平面ABCD ，又在菱形 ABCD 中，OA OB ，所uuu以分别以OA ， uuu uuu OB ， OG 的方向为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz(如图示)，则 O(0,0,0),A(「3a,0,0)，C( _3a,0,0)，E(0, a,2.'2a)，F(0,a,j2a)， uuu 所以AE (0, a,2、2a) ( 3a,0,0)( , 3a, a,2 2a)， uuur _ __ uuu_AC (3a,0,0)(..3a,0,0)(2、3a,0,0)，EF (0,a, 2a)(0, a, 2 2a)(0,2a, ,2a).uur由(1)可知EF 平面AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EF (0,2a, ,2a).设平面AEC 的法向量为n (x, y, z)，r uuu冲 n AE 0 则r uuir ，即n AC 0x 0x 0r uuun EF 6a V 31 n LuiU I EF |6屈 3 .，即 y 2'2z ，令 z 2，得 y 4，91.3，2 2zAC F 的余弦值为所以 n (0,4, .2).r uuu 从而 cos n, EF故所求的二面角 E个为A 级的个数 的可能值为0, 1, 2 , 3.x2故所求的椭圆方程为 -2uuu uuu(2)设 A(x 1, %)，B(x 2, y 2)，由 OA OBy 联立方程组 x 22因此可得的分布列为:12 则 E( )0 11552兰4 7 28 133 55 可知 x-|X 2 y 1y 2 0.消去y 化简整理得 (1 2 2 22k )x 4kmx 2m2 2 由 16k m8(m 21)(122k ) 0,得 12k 2m 2，所以 X 1 X 24km1 2k2 ，X-|X 2c 2 c细2，③1 2k又由题知x 1x 2 yy 即 x 1x 2 (kx 1 m)(kx 2 m)整理为(1 k 2)x 1x2 km(x 1 X 2)c 22、2m 将③代入上式，得（1 k 2）击 km岁 3 -165 20.解：（1） c由题意可知一 a所以a 2 2 c 2 2(a 2 b 2)，即 a 22b 2，①又点P （互 2f ）在椭圆上，所以有2 4a 2 34b 2，②由①②联立，解得b 21， a 21.kx2 2化简整理得3m 2 22k 0，从而得到3m 2i 2k 22k 2 2.2i.解：(i )由 f(x) a 21nx x 2 ax ， 可知 f'(x)2x a2x 2 ax a 2(2x a)(x a)因为函数f (x)的定义域为(0, )，所以, ①若a 0时，当x (0, a)时, f'(x) 0, 函数 f (x)单调递减, (a,)时, f'(x) 0 ,函数f (x)单调递增; ②若a 0时，当f '(x) 2x 0 在 x (0, )内恒成立，函数 f (x)单调递增;③若a 0时，当x (0, f'(x) 0,函数 f(x)单调递减，当xa (2,)时, f '(x)0，函数f (x)单调递增. (2 )证明：由题可知 h(x) f (x) (x) x 2 (2 a)x a In x(x 0)，所以 h'(x) 2x (2 2 、a 2x a )x(2 x a)x a (2x a)(x 1)a a X (0,)时，h'(x) 0 ；当 x (, 2 2 欲证 h'(Xi X2) 0，只需证 h'4 X2) h'(a )， 2 2 2 x i x 2 a 2 2. 所以当 )时，h'(x)i 时,h' 0.)0，只需证h '(又 h''(x)即h'(x)单调递增，故只需证明设X i ，X 2是方程h(x) m 的两个不相等的实根，不妨设为 X iX 2，2 “X i (2 a)x i al n X i m 则 v 7 i i， 2x 2 (2 a)x 2 a I n x 2 m 两式相减并整理得 a(x-i x 2 In x-i In x 2) 2 2^ X i X 2 2 X i2x2，从而a x i 2 x 222x i 2x 2 x 2 In x i In x 2 X i 故只需证明x i x 2 x i 2 x 22 2x i 2x 2 2 2(x i x 2 In x i In x 2)即 x 1 x 2 2 2% x 2 2为 2X 2 x i x ? In x i In x 2 因为 x-i x 2 In x i In x 2 0， 所以(*)式可化为In x i, 2x i 2x 2 In x 2 x i x 2因为0 x 1 x 2，所以0 竺1 ,X 2因此R(t)在(0,1)单调递增• 又 R(1) 0 ,因此 R(t) 0 , t (0,1),故 Int 2— , t (0,1)得证，t 1从而h'(X1 X2) 0得证.2 x 3cost2 2 22.解：(1)曲线C 1: ，消去参数t 可得普通方程为(x 3) (y 2)y 2 si nt 曲线C 2: 4sin ，两边同乘 •可得普通方程为x 2 (y 2)2 4. 把(y 2)2 4 x 2代入曲线G 的普通方程得：a 2 (x 3)2 4 x 2 13 6x ， 而对C 2有x 2 x 2 (y 2)2 4，即2x2，所以1 a 225故当两曲线有公共点时, 为[1,5].2 2 (2)当 a 3时，曲线 G ： (x 3) (y 2)9，2两曲线交点A ，B 所在直线方程为x 2.即ln$ X 2 2生2 X 2 X i X 2所以AB 2 823不妨令t —-，所以得到In t X 2 2tt t (0,1). 2t 21 4 设 R ⑴ |nt 十,t (0,1)，所以 R'(t)? r (t 1)2 3 t(t 1)2 0，当且仅当t 1时，等号成立,a 的取值范围32 2 2 2 曲线x (y 2) 4的圆心到直线 x 的距离为d —，3 3 3x, x 1 23.解：(1)因为 f (x) |2x 1 x 1 x 2, 1所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 所以 2 a ，从而 b 2 3 2 从而1 a2 1 4 b 2 1 7[(a2 1) 3x,x 1 f (x) 3的解集为[1,1] f (x)的最小值为 1 b 21 7， 22 1(b 2 1)](— a a2 b 2 1 4(a 2 0 181 b2 1 ] 7当且仅当 b 2 1 a 22肓时，等号成立即a 2 所以 1 6 1 a 2 1 b 2 4 b 7" 4时，有最小值，3 18 、工得证.1 7 i ，即 7[5 J2 當)]。
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案
模拟试卷】衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(二)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合$A=\{x|y=x^2-2x\}$，$B=\{y|x^2+1\}$，则$A\cap B=$（）A。
$[1,+\infty)$B。
$[2,+\infty)$C。
$(-\infty,2]\cup[2,+\infty)$D。
$(-\infty,+\infty)$2.已知$a\in R$，且$a>0$，$i$是虚数单位，$\frac{a+i}{2+i}=2$，则$a=$（）A。
4B。
32C。
19D。
253.已知$\theta$为直线$y=3x-5$的倾斜角，若$A(\cos\theta,\sin\theta)$，$B(2\cos\theta+\sin\theta,5\cos\theta-\sin\theta)$，则直线AB的斜率为（）A。
3B。
-4C。
$\frac{11}{3}$D。
$-\frac{3}{4}$4.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的渐近线与抛物线$y=x^2+1$相切，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
$\sqrt{2}$D。
$\sqrt{5}$5.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是（）A。
$\frac{3}{11}$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{7}{25}$D。
$\frac{9}{25}$6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由XXX所著，其中记载这样一首诗：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请XXX算莫迟疑！其含义为：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？现有如图所示的程序框图，输入$m,n$分别代表钱数和果子个数，则符合输出值$p$的为（）A。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，. . . .. . ..s . .. 因为原点到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d=， 所以△AOB 的面积是|AB |d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|．（I ）解不等式f （x ）≤6；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|= 的图象如图所示，（I ）不等式f （x ）≤6，即①或②，或③． 解①求得x ∈∅，解②求得3＜x ≤5，解③求得﹣1≤x ≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R 恒成立，则函数f （x ）的图象不能在y=ax ﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B （3，2），∴3a ﹣1≤2，且 a ≥﹣2，求得﹣2≤a ≤1．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试【衡水金卷】模拟试题理数试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确. 故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:市场份额(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。
高考数学模拟试卷衡水中学理科
高考数学模拟试卷衡水中学理科IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．B．（0，1） C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=，则P （3＜ξ≤4）=（）A．B．C．D．3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6 C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E 内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E 为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．B．（0，1） C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=，则P （3＜ξ≤4）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=∴P（3＜ξ≤4）=﹣=．故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6 C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM平面PAB，∴BC⊥AM，又PB平面PBC，BC平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E 内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=（k），则'（k）=2（e k﹣k）＞0，则（k）在k＞2为增函数，∴（k）＞（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E 为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：ACBC=2ADCD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，ADCD=ACCE，2ADCD=AC2CE，因此2ADCD=ACBC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y ﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （ ）．∅ ．（ ， ）． ， ） ． ，．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （ ）．．． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则（ ）．．﹣ ．．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ）．．．．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）第 卷二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．）．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ）（ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ； （ ）设点 是线段 上一动点，且，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足 ， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．选修 ：不等式选讲．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （）．∅ ．（ ， ） ． ， ） ． ，【解答】解： ＜ ﹣ ＜ ＜ ， ≥ ，则 ， ），故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （）． ． ． ．【解答】解：∵随机变量 服从正态分布 （ ， ），∴ ，得对称轴是 ．∵ （ ＞ ）∴ （ ＜ ≤ ） ﹣ ．故选：．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则 （） ． ．﹣ ． ．【解答】解：复数 ，可得 ﹣ ．则．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣（ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±【解答】解：如图若∠ ， 则由对称性得∠ ，则∠，即 的斜率， 则双曲线渐近线的方程为 ± ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ），∴ ，同理，【解答】解：∵，∴故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）． ． ． ．【解答】解：第一次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第二次循环， ＞ ，即 ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第三次循环， ＞ ，即﹣ ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第四次循环， ＞ ，即 ＞﹣ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第五次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 不成立，输出 ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）【解答】解：设等差数列的公差为 ， ， ，∴，解得， ，∴（ ﹣ ） ，∴，∴（ ﹣ ﹣ ﹣） （ ﹣）故选 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．【解答】解：（ ﹣ ） （ ）﹣ ，∴，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为 ， ， 的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为 × ．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．【解答】解：设右焦点为 ，由 （﹣ ， ），可得 （ ， ），由椭圆的定义可得 ，即 ﹣ ，则 （ ﹣ ）≤ ，当 ， ， 共线时，取得等号，即最大值 ，由 ，可得 ，所以 ，则 ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥【解答】解：由 （ ）﹣ 得 （ ） ，作出函数 （ ）和 的图象如图，由图象知当 ≤ 时，函数 （ ）和 恒有一个交点，当 ≥ 时，函数 （ ） （ ）的导数 （ ） ，则 （ ） ，当 ＜ 时，函数 （ ） ﹣ 的导数 （ ） ，则 （ ） ，即当 时， 是函数 （ ）的切线，则当 ＜ ＜ 时，函数 （ ）和 有 个交点，不满足条件．当 ≥ 时，函数 （ ）和 有 个交点，满足条件．综上 的取值范围为 ≤ 或 ≥ ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ ， ） 【解答】解：∵ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ， ∴ ﹣ 随着 变大而变小，又∵ ﹣ 随着 变大而变小，﹣ 随着 变大而变大， ∴，（ ）当（ ）当，综上 ∈（ ， ），故选 ．二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．） ．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为 ﹣ ．【解答】解：根据条件，；∴； ∴在上的投影为．故答案为：﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ﹣． 【解答】解：∵数列 满足 ， ， ∴ ﹣ 时， ﹣ ﹣ ，为等差数列；时， ，为等比数列．∴．故答案为： ﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．【解答】解：由 （ ﹣ ） ﹣ 得 （ ﹣ ） ﹣ ， 则得，即直线恒过 （﹣ ， ），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过 的中点 ，由得，即 （ ， ），∵ （ ， ），∴中点 （ ， ），代入 （ ﹣ ） ﹣ ，得 ﹣ ，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣ ， ）的斜率，由图象过 的斜率最大，此时最大值为 ．故答案为： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ） （ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 （﹣ ，﹣ ．【解答】解：由 （ ） ，得 （ ） ，所以 （ ） （ ） ，（ ＜﹣ ）在（ ， ）单调递减，不妨设 ＜ ＜ ， 则 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ ，即 （ ） ≥ （ ） ，令 （ ） （ ） ， （ ） （ ），等价于 （ ）在（ ， ）上单调递减，故 （ ）≤ 恒成立，即≤ ， 所以恒成立， 得 ≤﹣ ．故答案为：（﹣ ，﹣ ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．【解答】解：（ ） （ ﹣ ） （ ）可得： ﹣（ ﹣ ）即： ﹣ ．由正弦定理可知：，∴， ，∴ ﹣ ，﹣ ，可得 （ ﹣） ， 是三角形内角，∴ ．（ ）由余弦定理可知： ﹣ ，得 ﹣又，∴，即：．当时， 取到最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ；（ ）设点 是线段 上一动点，且 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，则连接 ，∵ 是△ 的中位线，∴ ，又 ，∴ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ．∵ ， 是 的中点，∴ ⊥ ，∵ ⊥平面 ， ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊂平面 ， ⊂平面 ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ∥ ，∴ ⊥平面 ，又 ⊂平面 ，∴平面 ⊥平面 ．（ ）以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）．∴ （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），∴ （ ， ， ）， （ ， ， ），（ ， ﹣ ，﹣ ）．∵ ⊥平面 ，∴为平面 的一个法向量，∴ ＜＞设 与平面 所成的角为 ，则 ．∴当 即时， 取得最大值，∴ 与平面 所成的角最大时．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．【解答】解：（ ）记转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，同理转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，∴ （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ，（ ） （ ﹣ （ ）） ×（ ﹣） ． （ 分）（ ）由已知得 的可能取值为 ， ， ， ， ， （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）， （ ） （ ） （ ），∴ 的分布列为：． （ 分） ．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（ ）设 （ ， ）、 （ ， ），则，两式相减，故 （ 分）当直线 平行于 轴时，设 ，∵，，则，解得， 故点 （或 ）的坐标为． 代入椭圆方程，得 分， ，所以方程为 （ 分）（ ）设 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）由于，可得 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），同理可得 （ 分）由 得：将点 、 的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（ ）（ ﹣ ） （ ）（ ﹣ ） ，于是 （ ） ﹣（ ）同理可得： （ ） ﹣（ ）， （ 分）于是 （ ） ﹣（ ）（∵ ∥ ，∴ ）所以 （ ） ﹣ （ ）由 两式相加得到： （ ） ﹣ （ ）（ ）把 代入上式得 （ ） ﹣ （ ），解得：，当 变化时， 为定值，． （ 分）．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．【解答】解：（ ） 由，得，解得 ，故，则，函数 （ ）的定义域为（ ， ） （ ， ），而，又函数 （ ）在（ ， ）上是减函数，∴在（ ， ）上恒成立，∴当 ∈（ ， ）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数 的最小值；（ ） 由题可得，且定义域为（ ， ） （ ， ），要使函数 （ ）无零点，即在（ ， ） （ ， ）内无解，亦即在（ ， ） （ ， ）内无解．构造函数，则，（ ）当 ≤ 时， （ ）＜ 在（ ， ） （ ， ）内恒成立，∴函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内也单调递减．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ）时， （ ）＞ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，同理，当 ∈（ ， ）时， （ ）＜ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，故 ≤ 满足条件；（ ）当 ＞ 时，．若 ＜ ＜ ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又 （ ） ，∴ （ ）在（ ， ）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴ ＜ ＜ 不满足条件；若 ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内单调递增．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ） （ ， ）时， （ ）＞ 恒成立，故无零点．∴ 满足条件；若 ＞ ，则函数 （ ）在内单调递减，在内单调递增，在（ ， ）内也单调递增．又 （ ） ，∴在及（ ， ）内均无零点．易知，又 （ ﹣ ） ×（﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ （ ），则 （ ） （ ﹣ ）＞ ，则 （ ）在 ＞ 为增函数，∴ （ ）＞ （ ） ﹣ ＞ ．故函数 （ ）在内有一零点， ＞ 不满足．综上： ≤ 或 ．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．【解答】证明：（ ）连接 ，因为 为的中点，所以 ．因为 为 的中点，所以 ⊥ ．因为 为圆的直径，所以∠ ，所以 ∥ ． （ 分）（ ）因为 为的中点，所以∠ ∠ ，又∠ ∠ ，则∠ ∠ ．又因为 ⊥ ， ⊥ ，所以△ ∽△ ．所以 ， ， ，因此 ． （ 分）选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为得 ．∴由曲线 的直角坐标方程是： ． 由直线 的参数方程为（ 为参数），得 代入 中消去 得： ﹣ ﹣ ，所以直线 的普通方程为： ﹣ ﹣ （ 分）（ ）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程 ，得 ﹣ ，设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，所以 ， 因为原点到直线 ﹣ ﹣ 的距离 ，所以△ 的面积是． （ 分）选修 ：不等式选讲 ．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．【解答】解：函数 （ ） ﹣ ﹣ 的图象如图所示，（ ）不等式 （ ）≤ ，即 或 ，或 ．解 求得 ∈∅，解 求得 ＜ ≤ ，解 求得﹣ ≤ ≤ ．综上可得，原不等式的解集为 ﹣ ， ．（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，则函数 （ ）的图象不能在 ﹣ 的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣ ， ，点 （ ， ），∴ ﹣ ≤ ，且 ≥﹣ ，求得﹣ ≤ ≤ ．。
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2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科)第1卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、23.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.16.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.57.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.7209.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+610.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)第2卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分、在每个小题给出得四个选项中,只有一项就是符合题目要求得、)1.(5分)(2018•衡中模拟)已知集合A={x|x2＜1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.∅B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1]【解答】解:A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1},B={y|y=|x|≥0},则A∩B=[0,1),故选:C.2.(5分)(2018•衡中模拟)设随机变量ξ～N(3,σ2),若P(ξ＞4)=0、2,则P(3＜ξ≤4)=()A.0、8B.0、4C.0、3D.0、2【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2),∴μ=3,得对称轴就是x=3.∵P(ξ＞4)=0、2∴P(3＜ξ≤4)=0、5﹣0、2=0、3.故选:C3.(5分)(2018•衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1B.﹣1C.D.【解答】解:复数z=,可得=﹣=cos+isin.则3=cos4π+isin4π=1.故选:A.4.(5分)(2018•衡中模拟)过双曲线﹣=1(a＞0,b＞0)得一个焦点F作两渐近线得垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线得渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解答】解:如图若∠PFQ=π,则由对称性得∠QFO=,则∠QOx=,即OQ得斜率k==tan=,则双曲线渐近线得方程为y=±x,故选:B5.(5分)(2018•衡中模拟)将半径为1得圆分割成面积之比为1:2:3得三个扇形作为三个圆锥得侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3得值为()A. B.2 C. D.1【解答】解:∵2πr1=,∴r1=,同理,∴r1+r2+r3=1,故选:D.6.(5分)(2018•衡中模拟)如图就是某算法得程序框图,则程序运行后输出得结果就是()A.2B.3C.4D.5【解答】解:第一次循环,sin＞sin0,即1＞0成立,a=1,T=1,k=2,k＜6成立,第二次循环,sinπ＞sin,即0＞1不成立,a=0,T=1,k=3,k＜6成立,第三次循环,sin＞sinπ,即﹣1＞0不成立,a=0,T=1,k=4,k＜6成立,第四次循环,sin2π＞sin,即0＞﹣1成立,a=1,T=1+1=2,k=5,k＜6成立,第五次循环,sin＞sin2π,即1＞0成立,a=1,T=2+1=3,k=6,k＜6不成立,输出T=3,故选:B7.(5分)(2018•衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n}得前8项与为()A. B. C. D.【解答】解:设等差数列{a n}得公差为d,a3=7,a5=11,∴,解得a1=3,d=2,∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1,∴,∴b8=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=故选B.8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=()A.45B.180C.﹣180D.720【解答】解:(x﹣3)10=[(x+1)﹣4]10,∴,故选:D.9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三棱锥S﹣ABC得三视图,其表面积为()A.16B.8+6C.16D.16+6【解答】解:由三视图可知该三棱锥为边长为2,4,4得长方体切去四个小棱锥得到得几何体. 三棱锥得三条边长分别为,∴表面积为4×=16.故选:C.10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0)得左焦点F(﹣3,0),P为椭圆上一动点,椭圆内部点M(﹣1,3)满足PF+PM得最大值为17,则椭圆得离心率为()A. B. C. D.【解答】解:设右焦点为Q,由F(﹣3,0),可得Q(3,0),由椭圆得定义可得|PF|+|PQ|=2a,即|PF|=2a﹣|PQ|,则|PM|+|PF|=2a+(|PM|﹣|PQ|)≤2a+|MQ|,当P,M,Q共线时,取得等号,即最大值2a+|MQ|,由|MQ|==5,可得2a+5=17,所以a=6,则e===,故选:A.11.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k得取值范围为()A.k≤0B.k≤0或k≥1C.k≤0或k≥eD.k≤0或k≥【解答】解:由y=f(x)﹣kx=0得f(x)=kx,作出函数f(x)与y=kx得图象如图,由图象知当k≤0时,函数f(x)与y=kx恒有一个交点,当x≥0时,函数f(x)=ln(x+1)得导数f′(x)=,则f′(0)=1,当x＜0时,函数f(x)=e x﹣1得导数f′(x)=e x,则f′(0)=e0=1,即当k=1时,y=x就是函数f(x)得切线,则当0＜k＜1时,函数f(x)与y=kx有3个交点,不满足条件.当k≥1时,函数f(x)与y=kx有1个交点,满足条件.综上k得取值范围为k≤0或k≥1,故选:B.12.(5分)(2018•衡中模拟)已知数列{a n}得通项公式为a n=﹣2n+p,数列{b n}得通项公式为b n=2n﹣4,设c n=,若在数列{c n}中c6＜c n(n∈N*,n≠6),则p得取值范围()A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)【解答】解:∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4,∴a n﹣b n随着n变大而变小,又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小,b n=2n﹣4随着n变大而变大,∴,(1)当(2)当,综上p∈(14,20),故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中得横线上.)13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|﹣|=,则在上得投影为﹣1. 【解答】解:根据条件,==7;∴;∴在上得投影为.故答案为:﹣1.14.(5分)(2018•衡中模拟)若数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,则数列{a n}前2n项与S2n=2n+n2﹣1.【解答】解:∵数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=,∴n=2k﹣1时,a2k+1﹣a2k﹣1=2,为等差数列;n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.∴.故答案为:2n+n2﹣1.15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a﹣2)y+4﹣a=0把区域分成面积相等得两部分,则得最大值为2.【解答】解:由ax+(a﹣2)y+4﹣a=0得a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,则得,即直线恒过C(﹣1,2),若将区域分成面积相等得两部分,则直线过AB得中点D,由得,即A(1,6),∵B(3,0),∴中点D(2,3),代入a(x+y﹣1)+4﹣2y=0,得4a﹣2=0,则,则得几何意义就是区域内得点到点(﹣2,0)得斜率,由图象过AC得斜率最大,此时最大值为2.故答案为:2.16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(a＜﹣1)对任意得x1、x2＞0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,则a得取值范围为(﹣∞,﹣2] .【解答】解:由f′(x)=+x,得f′(1)=3a+1,所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a＜﹣1)在(0,+∞)单调递减,不妨设0＜x1＜x2,则f(x1)﹣f(x2)≥4x2﹣4x1,即f(x1)+4x1≥f(x2)+4x2,令F(x)=f(x)+4x,F′(x)=f′(x)+4=+2ax+4,等价于F(x)在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)≤0恒成立,即+2ax+4≤0,所以恒成立,得a≤﹣2.故答案为:(﹣∞,﹣2].三、解答题(本大题共5小题,共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、)17.(12分)(2018•衡中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对得边分别为a,b,c,满足c=1,且cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0(1)求C得大小;(2)求a2+b2得最大值,并求取得最大值时角A,B得值.【解答】解:(1)cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0可得:cosBsinC﹣(a﹣sinB)cosC=0即:sinA﹣acosC=0.由正弦定理可知:,∴,c=1,∴asinC﹣acosC=0,sinC﹣cosC=0,可得sin(C﹣)=0,C就是三角形内角,∴C=.(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2﹣2abcosC,得1=a2+b2﹣ab又,∴,即:.当时,a2+b2取到最大值为2+.18.(12分)(2018•衡中模拟)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M就是棱PB中点.(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PCD;(Ⅱ)设点N就是线段CD上一动点,且=λ,当直线MN与平面PAB所成得角最大时,求λ得值.【解答】证明:(1)取PC得中点E,则连接DE,∵ME就是△PBC得中位线,∴ME,又AD,∴MEAD,∴四边形AMED就是平行四边形,∴AM∥DE.∵PA=AB,M就是PB得中点,∴AM⊥PB,∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵AM⊂平面PAB,∴BC⊥AM,又PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,PB∩BC=B,∴AM⊥平面PBC,∵AM∥DE,∴DE⊥平面PBC,又DE⊂平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD.(2)以A为原点,以AD,AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,1,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),∴=λ=(λ,2λ,0),=(λ+1,2λ,0),==(λ+1,2λ﹣1,﹣1).∵AD⊥平面PAB,∴为平面PAB得一个法向量,∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成得角为θ,则sinθ=.∴当即时,sinθ取得最大值,∴MN与平面PAB所成得角最大时.19.(12分)(2018•衡中模拟)如图就是两个独立得转盘(A)、(B),在两个图中三个扇形区域得圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘进行游戏,规则就是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始),记转盘(A)指针所对得区域为x,转盘(B)指针所对得区域为y,x、y∈{1,2,3},设x+y得值为ξ.(Ⅰ)求x＜2且y＞1得概率;(Ⅱ)求随机变量ξ得分布列与数学期望.【解答】解:(1)记转盘A指针指向1,2,3区域得事件为A1,A2,A3,同理转盘B指针指向1,2,3区域得事件为B1,B2,B3,∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P=P(A1)P(1﹣P(B1))=×(1﹣)==.…(5分)(2)由已知得ξ得可能取值为2,3,4,5,6,P( ξ=2)=P(A1)P(B1)===,P(ξ=3)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)==,P(ξ=4)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)==,P( ξ=5)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,P(ξ=6)=P(A3)P(B3)==,∴ξ得分布列为:ξ 2 3 4 5 6PEξ==.…(12分)20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),倾斜角为45°得直线与椭圆相交于M、N 两点,且线段MN得中点为(﹣1,).过椭圆E内一点P(1,)得两条直线分别与椭圆交于点A、C 与B、D,且满足=λ,=λ,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应得λ=.(Ⅰ)求椭圆E得方程;(Ⅱ)当λ变化时,k AB就是否为定值？若就是,请求出此定值;若不就是,请说明理由.【解答】解:(Ⅰ)设M(m1,n1)、N(m2,n2),则,两式相减,故a2=3b2…(2分)当直线AP平行于x轴时,设|AC|=2d,∵,,则,解得,故点A(或C)得坐标为.代入椭圆方程,得…4分a2=3,b2=1,所以方程为…(6分)(Ⅱ)设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)由于,可得A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),…①同理可得…②…(8分)由①②得:…③将点A、B得坐标代入椭圆方程得,两式相减得(x1+x2)(x1﹣x2)+3(y1+y2)(y1﹣y2)=0,于就是3(y1+y2)k AB=﹣(x1+x2)…④同理可得:3(y3+y4)k CD=﹣(x3+x4),…(10分)于就是3(y3+y4)k AB=﹣(x3+x4)(∵AB∥CD,∴k AB=k CD)所以3λ(y3+y4)k AB=﹣λ(x3+x4)…⑤由④⑤两式相加得到:3[y1+y2+λ(y3+y4)]k AB=﹣[(x1+x2)+λ(x3+x4)]把③代入上式得3(1+λ)k AB=﹣2(1+λ),解得:,当λ变化时,k AB为定值,.…(12分)21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=e2处得切线与直线x﹣2y+e=0平行.(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)﹣ax在(1,+∞)上就是减函数,求实数a得最小值;(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)﹣无零点,求k得取值范围.【解答】解:(Ⅰ) 由,得,解得m=2,故,则,函数g(x)得定义域为(0,1)∪(1,+∞),而,又函数g(x)在(1,+∞)上就是减函数,∴在(1,+∞)上恒成立,∴当x∈(1,+∞)时,得最大值.而,即右边得最大值为,∴,故实数a得最小值;(Ⅱ) 由题可得,且定义域为(0,1)∪(1,+∞),要使函数F(x)无零点,即在(0,1)∪(1,+∞)内无解,亦即在(0,1)∪(1,+∞)内无解.构造函数,则,(1)当k≤0时,h'(x)＜0在(0,1)∪(1,+∞)内恒成立,∴函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内也单调递减.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)时,h(x)＞0,即函数h(x)在(0,1)内无零点,同理,当x∈(1,+∞)时,h(x)＜0,即函数h(x)在(1,+∞)内无零点,故k≤0满足条件;(2)当k＞0时,.①若0＜k＜2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又h(1)=0,∴h(x)在(0,1)内无零点;又,而,故在内有一个零点,∴0＜k＜2不满足条件;②若k=2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又h(1)=0,∴当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h(x)＞0恒成立,故无零点.∴k=2满足条件;③若k＞2,则函数h(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,+∞)内也单调递增.又h(1)=0,∴在及(1,+∞)内均无零点.易知,又h(e﹣k)=k×(﹣k)﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ(k),则ϕ'(k)=2(e k﹣k)＞0,则ϕ(k)在k＞2为增函数,∴ϕ(k)＞ϕ(2)=2e2﹣6＞0.故函数h(x)在内有一零点,k＞2不满足.综上:k≤0或k=2.[选修41:几何证明选讲]22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为⊙O得直径,D为得中点,E为BC得中点.(Ⅰ)求证:DE∥AB;(Ⅱ)求证:AC•BC=2AD•CD.【解答】证明:(Ⅰ)连接BD,因为D为得中点,所以BD=DC.因为E为BC得中点,所以DE⊥BC.因为AC为圆得直径,所以∠ABC=90°,所以AB∥DE.…(5分)(Ⅱ)因为D为得中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB.又因为AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.所以=,AD•CD=AC•CE,2AD•CD=AC•2CE,因此2AD•CD=AC•BC.…(10分)[选修44:坐标系与参数方程]23.(2018•衡中模拟)在平面直角坐标系中,直线l得参数方程为(t为参数),在以直角坐标系得原点O为极点,x轴得正半轴为极轴得极坐标系中,曲线C得极坐标方程为ρ=(1)求曲线C得直角坐标方程与直线l得普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB得面积.【解答】解:(1)由曲线C得极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ.∴由曲线C得直角坐标方程就是:y2=2x.由直线l得参数方程为(t为参数),得t=3+y代入x=1+t中消去t得:x﹣y﹣4=0,所以直线l得普通方程为:x﹣y﹣4=0…(5分)(2)将直线l得参数方程代入曲线C得普通方程y2=2x,得t2﹣8t+7=0,设A,B两点对应得参数分别为t1,t2,所以|AB|===,因为原点到直线x﹣y﹣4=0得距离d=,所以△AOB得面积就是|AB|d==12.…(10分)[选修45:不等式选讲]24.(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|.(I)解不等式f(x)≤6;(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,求实数a得取值范围.【解答】解:函数f(x)=|x﹣l|+|x﹣3|= 得图象如图所示,(I)不等式f(x)≤6,即①或②,或③.解①求得x∈∅,解②求得3＜x≤5,解③求得﹣1≤x≤3.综上可得,原不等式得解集为[﹣1,5].(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax﹣1对任意x∈R恒成立,则函数f(x)得图象不能在y=ax﹣1得图象得下方.如图所示:由于图中两题射线得斜率分别为﹣2,2,点B(3,2), ∴3a﹣1≤2,且a≥﹣2,求得﹣2≤a≤1.。