2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题文科数学试题参考答案内江一模
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）A．6481B．3227C．89D．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x=，24i=<，不满足判断条件；第2次循环：89x=，34i=<，不满足判断条件；第4次循环：3227x=，44i=≥，满足判断条件；输出结果3227x=.故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.2．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x =， 则()21ln xg x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.6．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a xx =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题7．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．8．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 9．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算． 【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 10．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.12．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题文科数学试题内江一模
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内江一模 高三一模考试数学（文科）试卷第 ２ 页（共４ 页）
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２ ＝ ， － ５ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
１５．
在 ． △ＡＢＣ
中，角Ａ、Ｂ、Ｃ
的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，且ｂ ＋
２ｃ
＝
， ２ａｃｏｓＢ ａ
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
内江市高中 ２０２１ 届第一次模拟考试题
数 学（文科）
１． 本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４ 页。全卷满分１５０ 分，
考试时间１２０ 分钟。
２． 答第Ⅰ卷时，用２Ｂ 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用０． ５ 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作
Ｂ． Ｄ．
ｆｆ（（ｃｂ））＜＜
ｆｆ（（ａａ））＜＜
ｆｆ（（ｂｃ））
＝
， ｌｎ２ ｃ
＝
－
，则 ２０． １
已知函数（） ，则（ ） （ ） … （ ） （ ） １１．
ｆｘ
＝
２ ２０２０ ｘ
＋
１
＋
ｓｉｎｘ
ｆ ｌｎ２ ＋ ｆ ｌｎ３ ＋
＋ ｆ ｌｎ２０２０
＋ｆ
ｌｎ
１ ２
＋
（ ） … （ ） ｆ
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题数学试题及答案内江一模
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。８
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
{ 已知实数， 满足约束条件 １３．
ｘｙ
３ｘ － ｙ － ３ ≤ ０ ｘ － ２ｙ ＋ ４ ≥ ０
，则ｚ ＝ ２ｘ － ｙ 的最大值是
３ｘ ＋ ４ｙ ＋ １２ ≥ ０
．
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２２ ＝ ， － ３ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
５．
若向量Ａ→Ｂ
＝
（１ ２
，槡２３），Ｂ→Ｃ
＝
（槡３，１），则△ＡＢＣ
的面积为
Ａ． １ ２
槡 Ｂ． ３
Ｃ． １
２
槡 Ｄ． ３
内江一模 高三一模考试数学（理科）试卷第 １ 页（共４ 页）
６． 已知（１ ＋ ）ｘ ｎ 的展开式中第４ 项与第８ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为ຫໍສະໝຸດ Ａ． ２１２＋π ６
），现将ｙ ＝
ｆ（ｘ）的图象向左平移１π２
个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的１ ２
倍，纵坐标不变，得到函数ｙ
＝
ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（ｘ）在
［０，５２π４ ］的值域为 ［ ，］ Ａ． － １ ２
Ｂ． ［０，１］
［ ］ Ｃ． ０． ２
［ ］ Ｄ． － １． ０
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2xe m x = 令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需24e m > 故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 3．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ） A ．23 B ．3C ．23 D ．33【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.4．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④ 【答案】D【解析】【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直.【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 7．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
四川省内江市高三数学第一次模拟考试试题文
1高三数学第一次模拟考试试题文本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}0|{??xxA，}11|{????xxB，则?BA?A.),0(??B. ),1(???C. )1,0(D. )1,1(?2.设i为虚数单位，Ra?，若)1)(1(aii??是纯虚数，则?aA.2B.2?C. 1D. 1?3.??0000140sin20cos40cos20sinA.23?B.23C. 21?D. 214.下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为?150,100,50???mmm的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线axby?????不一定过样本中心点),(yxC. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D.若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是325.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是A. 2B. 1C.21D.1?6.已知数列}{n a满足)(2*1Nnaa nn???，231??aa，则??75aaA.8B. 16C. 32D. 647.已知实数yx,满足??????????????06302023yxxyyx，则xyz2??的最小值是A. 5B.2?C.3?D.5?8. 从集合}4,3,2{中随机抽取两数yx,，则满足21log?y x的概率是2C. oy-22xB. oy-22x A.oy-22x D.o y-22x A.32 B.21C. 31D.619.函数x xx f2)(2??的图象大致是10.已知函数xxxxf cos sin3sin)(2??，则A.)(xf的最小正周期为?2B.)(xf的最大值为2C.)(xf 在)65,3(??上单调递减D.)(xf的图象关于直线6??x对称11.设0?a，当0?x时，不等式22232ln)1(21aaxaxax?????恒成立，则a的取值范围是A.),1()1,0(??B.),0(??C.),1(??D.)1,0(12.设*Nn?，函数x xexf?)(1，)()(12xfxf??，)()(23xfxf??，…，)()(1xfxf nn???，曲线)(xfy n?的最低点为n P，则A.存在*Nn?，使21???nnn PPP为等腰三角形B. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为锐角三角形C. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为直角三角形D. 对任意*Nn?，21???nnn PPP为钝角三角形第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方形ABCD的边长为2，则???)(ADACAB .14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 . 15.设函数?????????0),(20),1()(xxfxxxxf，则满足2)(?xf的x的取值范围是 .16.已知n S是等差数列}{n a的前n项和，3813,1aaa??，则3???????11434323212nnn SSaSSaSSaSSa .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设n S是数列}{n a的前n项和.已知11?a，122???nn aS. （Ⅰ）求数列}{n a的通项公式；（Ⅱ）设nnn ab)1(??，求数列}{n b的前n项和.18.（本小题满分12分）ABC?的内角CBA,,的对边分别为cba,,，已知0sincos??BcCb.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若10,5??ba，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长.19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)120,100[内，则为合格品，否则为不合.图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.4P(K2≥k0)0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635))()()(()(22dbcadcbabcadnK??????.20.（本小题满分12分）已知函数),(cossin)(Rbaxbxaxf???，曲线)(xfy?在点))3(,3(??f处的切线方程为：3???xy. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数xxfxg)3()(???在]2,0(?上的最小值. 21.（本小题满分12分）已知函数)(1)(Raaxexf x????. （Ⅰ）讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）设1?a，是否存在正实数x，使得0)(?x f？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??????????tytx212332（t为参数），曲线C的参数方程为??????????sin3cos33yx（?为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为),2(?，其中)2,0(???. 射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求MN的值.23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数213)(????xxxf的最小值为m. （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数ba,满足mba??222，证明：52??ba.数学（文史类）参考答案及评分意见5一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）1.B2. C3. B4.D5. A6. C7. D8. D9. B 10. C 11.A 12.D 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.4 14. 乙 15. ),2()0,1(???16. 2)1(11??n三．解答题（共6小题，共70分）17.解：（Ⅰ）∵122???nn aS，11?a∴当1?n时，2122aS??，得212121112?????aSa..........................2分当2?n时，nn aS221???∴当2?n时，122???nnn aaa，即nn aa211?? (5)分又1221aa?∴}{n a是以11?a为首项，21为公比的等比数列..................................6分∴数列}{n a的通项公式121??nn a..............................................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12)1(???nnn b∴当2?n时，211???nn bb∴}{n b是以11??b为首项，21?为公比的等比数列..............................10分∴数列}{n b的前n项和为322132211])21(1[??????????????nn........................12分18.解：（Ⅰ）∵0sincos??BcCb∴由正弦定理知，0sinsincossin??BCCB (2)分∵???B0∴0sin?B，于是0sincos??CC，即1tan??C..............................4分∵???C0∴43??C (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，????25)22(5102105cos222222???????????C ab bac6∴5?c (8)分∴552552102552cos222?????????ac bcaB........................................ 10分设BC的中垂线交BC于点E∵在BCDRt?中，BDBEB?cos∴455522cos???aBBEBD又BDCD?∴45?CD (12)分19.解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为507......................2分∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为7005075000??（件）..............3分（Ⅱ）由表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 5050100 ........................................................................... 5分将列联表中的数据代入公式计算得05.39915050)432748(100))()()(()(222???????????????dbcadcbabcadn K................8分∵706.205.3?∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 (9)分（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为5048，乙套设备生产的合格品的概率约为5043，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.....................12分20.解：（Ⅰ）由切线方程知，当3??x时，0?y7∴02123)3(???baf? (1)分∵xbxaxfsincos)(??? (3)分∴由切线方程知，12321)3(????baf? (4)分∴23,21???ba..........................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3sin(cos23sin21)(?????xxxxf (6)分∴函数)20(sin)(????xxxxg2sincos)(xxxxxg???............................. ..........................8分设)20(sincos)(?????xxxxxu则0sin)(????xxxu，故)(xu在]2,0(?上单调递减∴0)0()(??uxu∴)(xg在]2,0(?上单调递减.................................................11分∴函数)(xg在]2,0(?上的最小值为??2)2(?g..................................12分21.解：（Ⅰ）)(xf的定义域为R，aexf x???)( (1)分当0?a时，0)(??xf，故)(xf在R上单调递增 (2)分当0?a时，令0)(??xf，得axln?当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递减当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递增 (5)分综上所述，当0?a时，)(xf在R上单调递增；当0?a时，)(xf在)ln,(a??上单调递减，在),(ln??a上单调递增 (6)分（Ⅱ）存在正数axln2?，使得0)(?xf (8)分8即01ln2)ln2(2????aaaaf，其中1?a. 证明如下：设)1(1ln2)(2????xxxxxg，则2ln22)(????xxxg设)1(1ln)(????xxxxu，则011)(????xxu，故)(xu在),1(??上单调递增∴0)1()(??uxu，故0)(22ln22)(??????xuxxxg∴)(xg在),1(??上单调递增，故0)1()(??gxg∴当1?a时，01ln22???aaa∴01ln2)ln2(2????aaaaf (12)分22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为323??yx，极坐标方程为32sin3cos??????曲线C的普通方程为??3322???yx，极坐标方程为??cos32?..............5分（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为),2(?∴32sin32cos2????∵)2,0(???∴6???∴射线OM的极坐标方程为6???联立???????????cos326，解得3??∴1???MN MN??.....................................................10分23.解：（Ⅰ）∵??????????????????31,34231,122,34)(xxxxxxxf∴)(xf在),31[??上单调递增，在)31,(??上单调递减9∴)(xf的最小值为35)31(?f.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，35222??ba∵222baab??∴??5)2(3)(24442222222222???????????bababaabbaba，当ba?时取等∴52??ba.............................................................10分。
2024届四川省内江市高三上学期一模文数试题及答案
内江市高中2024届第一次模拟考试题数 学（文科）1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分；考试时间120分钟．2．答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考员将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1．复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-2．设全集{260U x Z x x =∈-<，集合M 满足{1,2}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉3．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：则下列正确的是（）A ．(3)1f -=B ．(1)3f =C ．若()16f x =，则2x =D ．若()16f x =，则2x =或4．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥5．函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线如图所示，则(1)(1)f f '+=（）A ．0B ．12C ．32D ．12-6．设x R ∈，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b b += （ ）A B C D 7．在ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若2cos22A b c c+=，则ABC △的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 9．随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具．某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A 点出发沿曲线段B →曲线段C →曲线段D ，最后到达E 点．某观察者站在点M 处观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，设观察者从点A 开始随车子运动变化的视角为θ，即(0)AMP θθ=∠>，练车时间为ι，则函数()f θι=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．在关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=中，若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则上述方程有实根的概率为（）A ．13B ．23C ．14D ．3411．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 12．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的最小整数值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若11024k a +=，则k =__________．14．设函数()f x =M ，最小值为m ，则M m +=__________．15．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．16．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述三个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点；③ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中所有正确结论的编号是__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，5330S a +=．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额i x 和年盈利额(1,2,,10)i y i = 数据进行分析，建立了两个函数模型：2y x αβ=+；x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数，令2i i u x =，ln (1,2,,10)i i v y i == ，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．（系数精确到0.01）附：相关系数nx x y y r --=回归直线ˆˆˆy bx a =+中：()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x ax x =-．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式()f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sinsin 2B C b a B +=．（1）求角A 的大小；（2）M 为ABC △的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =，求ABC △的面积．21．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =⋅++，[0,]x π∈．（1）当0a =时，求()f x （2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OP OM ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．23．（本小题满分10分）已知3a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数．（1）求证：11132a b b c a c ++≥+++；（2）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式22222x mx a b c -++≤++对所有满足题设条件的正实数a ，b ，c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．。
四川省内江市高中2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题文
４
５
２０ ．
１３． ２ １４． １１５６ １５． ９ １６． ②③④
三、解答题（本大题共６ 个小题，共７０ 分． ）
解：（）由已知得 分 １７． １
ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ － ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎＢｓｉｎＣ ２
故由正弦定理得ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ ｂｃ．
s:y〓 -',贝
P(2,2)可 s引 ,其
A。 1
B。 2
C。 3
D。 0
第 Ⅱ 卷 H卜 选 择 题 ,共 90分 )
二、填空题(本大题共4小 题,每小题5分 ,满分⒛分。) 13.函 数 y〓 lo勘 (盯 工1)的 零点为
⒕ 设函数丑θ =忮2《 L万 J1测 只方芳 )的值为
1s。 已知各项均为正数的等 比数列 {@乃 }’ %@2@3=3,G90:G9 〓27,贝 刂@4%o6=∷____ˉˉ·
ｎ ∈ Ｎ
Ｓｎ
＜
ｍ －４ ３
∴
ｍ
－ ３
４
≥
２
ｍ ≥ １０．
故满足条件的 的范围为［ ， ） 分 ｍ
１０ ＋ ∞ １２
⒗。已知 函数 只 o〓
{「 遒j∶ ∵
凡
0’
若幻
<跖2(幻
( 气,且 只幻)〓 只饧)=灭 幻)
△③ 〓只%),则 下列结论:① 艿I+饧 〓-1,② 幻‰ =
0<钩 +另2+幻 +多4(÷ ,
④ 0<幻 另2跖3钅4(1,其 中正确的序号为
(把你认为正确 的结论都填上 ),
高三一模考试数学(文科)试卷第 2页 (共 4页 )
ｆ ′ － ２ ＝ ｆ ′ １ ＝ ０ ４
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∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
ｆ（ｘ）在［１ ｅ
，ｅ］上的极大值为ｆ（１）＝
－
１ ２
，无极小值．
１２
分
解：（）（） 槡 （ ） 分 １９．
１ｆｘ
＝
２３ｓｉｎ２ｘ ＋
１ ２
ｃｏｓ２ｘ
＋
１
＝ ｓｉｎ
２ｘ ＋
π ６
ｂｎ
＝ ３ｎ＋１
１ １ － ａｎ
１ － ａｎ＋１
＝
１
３ ｎ ＋１
１
－
１ ３ｎ
１
－
１ ３ ｎ ＋１
（ ）（ ） 分 ＝
３ｎ ３ｎ － １ ３ｎ＋１ － １
８
（ ） 分 ＝
１ ２
１ ３ｎ －
１
－
１ ３ｎ＋１ －
１
．
１０
所以 ［（ ） （ ） … （ ）］ Ｓｎ
４５
６５
３０
３５
分 ２
合 计
２５
７５
１００
根据列联表中的数据可得，ｋ ＝ １００ × （２０ × ３０ － ４５ × ）５ ２ ６５ × ３５ × ２５ × ７５
分 ＝
１００ × ３ １３ × ７
≈ ３． ２９７
＞ ２． ７０６
４
所以可以在犯错误的概率不超过０． １０ 的前提下认为网购迷与年龄不超过４０ 岁有关；
＝
１ ２
１ ３１ －
１
－
１ ３２ －
１
＋
３２
１ －
１
－
１ ３３ －
１
＋
＋
１ ３ｎ －
１
－
１ ３ｎ＋１ －
１
（ ） 分 ＝
１ ４
－ ２
１ ３ｎ＋１ － １Fra bibliotek １２
高三一模考试数学（文科）试题答案第 ２ 页（共４ 页）内江一模
解：（） （） ， 分 ２１． １ ｆ′ ｘ ＝ λｅｘ － ２ｘ １ 据题意得ｆ′（ｘ）＝ λｅｘ － ２ｘ ＝ ０ 有两个不同的实数根ｘ１、ｘ２ 当λ ≤ ０ 时，ｆ″（ｘ）＝ λｅｘ － ２ ＜ ０，因此ｆ′（ｘ）在Ｒ 上递减，不合题意，∴ λ ＞ ０ 分 ２
内江市高中 ２０２１ 届第一次模拟考试题
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． ）
１． Ｂ ２． Ａ ３． Ｂ ４． Ｃ ５． Ａ ６． Ｄ ７． Ｃ ８． Ｄ ９． Ｄ １０． Ａ １１． Ｂ １２． Ｃ
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
， 分 ∵ ０
＜
Ｂ
＜
２π ３
∴Ｂ
＝
π ４
１２
解：（）因为数列｛ ｝满足： … （ ）， ２０． １
ａｎ
ａ１ ＋ ３ａ２ ＋ ３２ ａ３ ＋
＋ ３ｎ－１ ａｎ
＝
ｎ ３
ｎ ∈ Ｎ
所以，当 时， 分 ｎ ＝ １
ａ１
＝
１ ３
令（） ，解得 ， 分 ｆ″ ｘ ＝ ０
ｘ ＝ ｌｎ ２ λ
３
∴
函数ｆ′（ｘ）＝
ｌｎｘ
－
１ ２
ｘ２，定义域为（０，＋
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
高三一模考试数学（文科）试题答案第 １ 页（共４ 页）内江一模
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
＝－
１ ２
ａ － ２ｂ ＝ ０
－ｂ
＝－
１ ２
４
解得{ 分 ａ ＝ １
ｂ
＝
１． ２
６
（２）由（１）得ｆ（ｘ）＝
过４０ 岁的基本事件是ＡＢ、Ａｃ、Ａｄ、Ｂｃ、Ｂｄ 共有种， ５ １０ 分
故所求的概率为 分 Ｐ ＝
５ ６
１２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
分 ６
（２）由频率分布直方图可知，超级网购迷共有４ 名，记其中年龄超过４０ 岁的２ 名市民为Ａ、
，其余名市民记为、， 分 Ｂ
２
ｃ ｄ ８
现从４ 人中任取２ 人，基本事件是ＡＢ、Ａｃ、Ａｄ、Ｂｃ、Ｂｄ、ｃｄ 共有６ 种，至少有１ 名市民年龄超
＋ １ ２
［， ］， 分 ∵ ｘ ∈
０
π ２
∴
π ６
≤ ２ｘ
＋
π ６
≤
７π ６
４
（ ） ∴
１ ２
≤ ｓｉｎ
２ｘ
＋
π ６
＋ １ ≤２
函数（）的值域为［ ，］ 分 ∴
ｆｘ
１ ２
２
．
６
（） （） （ ） ， （ ） ２ ∵ ｆ Ａ
＝
ｓｉｎ
２Ａ
＋
π ６
＋１ ＝
３ ２
∴ ｓｉｎ
２Ａ
＋
π ６
＝
１ ２
， ， ∵ ０
＜Ａ＜π
∴
π ６
＜ ２Ａ ＋ π ６
＜ １３π ６
，即 分 ∴ ２Ａ ＋
π ６
＝
５π ６
Ａ
＝
π ３
９
由正弦定理， 槡 槡， 槡 槡 ， 槡 ∵ ２ａ ＝ ３ｂ ∴ ２ｓｉｎＡ ＝ ３ｓｉｎＢ ∴ ｓｉｎＢ ＝ ２ ２
２
当 时， … ， ｎ ≥ ２
ａ１ ＋ ３ａ２ ＋
＋ ３ｎ－２ ａｎ－１
＝
ｎ －１ ３
相减可得 ，所以 分 ３ｎ－１ａｎ
＝
１ ３
ａｎ
＝
１ ３ｎ
４
综上可得， （ ） 分 ａｎ
＝
１ ３ｎ
ｎ ∈ Ｎ
６
（）因为 （ ）（ ） （ ）（ ） ２
槡 或 １３． ３ １４． ２０ １５． ４ ５ １６． ③ ④
三、解答题（共７０ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７ ～２１ 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第２２、２３ 题为选考题，考生根据要求作答． ）
１７． 解：（１）由题意可得列联表如下：
网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过４０ 岁 ２０ 年龄超过４０ 岁 ５