2020年四川成都高三一模数学试卷(文科)

的前 项和为 ，且
，若
，则
（ ）．
7. 已知 ， 是空间中两个不同的平面， ， 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（
）．
A. 若
， ，且 ，则
B. 若
， ，且 ，则
C. 若 ， ，且 ，则
D. 若 ， ，且 ，则
8. 将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象向
左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）．
，
∴
的面积
．
23.（ 1 ）
或
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）原不等式化为
，即
，
当
时，不等式化为
，解得
，故
；
当
时，不等式化为
，解得
，故
；
当
时，不等式化为
，解得
，故
，
∴原不等式的解集为
或
．
（ 2 ）∵
，
∴
，
当且仅当
且
时取等号．
又∵
，
∴
，
当且仅当 ∴
时取等号， 成立．
15
，即
，
．
17.（ 1 ） ．
（2） 解析: （ 1 ）∵
． ，
∴
，
∴
，
在
中，
．
（ 2 ）∵
的面积为 ，即
，
∴
，
又∵
，由正弦定理得
，
∴
，，
则
，
∴
，
∴
的周长为
．
18.（ 1 ）联表补充见解析，没有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
（2）
．
解析:
（ 1 ）由题， 列联表如下：
属于“追光族”
内单调递增；在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，
，函数 在
内单调递增；
当
时，
，函数 在 内单调递增，在
内单调递减，在
内单
调递增．
（ 2 ）当
时，
，
，
，
∴
．
令
，
则
．
令
，
∵函数 在 内单调递增，
，
，
∴存在唯一的
，使得
．
13
∵当 ∴函数 又∵ ∴
时，
；当
时，
，
在
内单调递减，在
内单调递增．
，
，
，即
对任意的
都成立．
A.
B.
C.
D.
9. 已知抛物线
的焦点为 ， ， 是抛物线上两个不同的点．若
的中点到 轴的距离为（ ）．
A.
B.
C.
D.
，则线段
10. 已知
，
，
A.
，则（ ）．
2
B. C. D.
11. 已知直线
与双曲线 ：
线 的左焦点，且满足
，
A.
B.
C.
D.
（
，
）相交于不同的两点 ， ， 为双曲
（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）．
．
19.（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析．
解析: （ 1 ）如图，连接 ，
∵底面
为菱形，且
，
∴三角形 为正三角形，
∵ 为 的中点，
∴
，
又∵
平面
，
平面 ，
∴
，
∵
，，
平面 ，
∴
平面
．
（ 2 ）连接 交 于点 ，连接 ，
12
∵ 为 的中点，
∴在底面
百度文库
中，
∴
，
∴
，
∴在三角形
中，
又∵
平面
，
∴
平面 ．
（ 1 ） 求 的值．
（2） 若
的面积为 ，且
，求
的周长．
18. 某公司有 名员工，其中男性员工 名，采用分层抽样的方法随机抽取 名员工进行 手机 购买意向的调查，将计划在今年购买 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买 手机的员工称为“观望者”．调查结果发现抽取的这 名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员 工各有 人． （ 1 ） 完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有 关；
2020年四川成都高三一模数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数 与 A.
（ 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则
B.
C.
D.
（ ）．
2. 已知集合 A. 或
， B. 或
，若
C. 或
，则实数 的值为（ ）． D. 或
3. 若
，则
（ ）．
A.
B.
C.
，则向量 与 的夹角的大小
16. 如图，在边长为 的正方形
中，边 ， 的中点分别为 ， ，现将
，
，
分别沿 ， ， 折起使点 ， ， 重合，重合后记为点 ，得到三棱锥
．则三棱锥
的外接球体积为
．
3
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 在
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
，令
，得
，由（ ）可知
，
，所以
，
，故
，所以直线 与 轴平行．
22.（ 1 ）
，
．
（2）
．
解析:
（ 1 ）由题，知点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
14
∴曲线 的方程为
，
∵
，
，
，
∴曲线 的极坐标方程为
，
曲线 的极坐标方程为
．
（ 2 ）在极坐标系中，设点 ， 的极径分别为 ， ，
∴
，
又∵点
到射线
的距离为
因为直线方程为
，
故根据对称性有
，
，
由双曲线定义知
，
又
且
，
所以
，
，
，
故由余弦定理得：
，
即
，
解得
．
故
．
故选 ．
12. A
解析:
已知 满足
，故 图象关于
当
时，
，则
，
故当
时，
，故 单调递减，
当
时，
，故 单调递增，
要使
有三个不相等的实数根，
即 的图象与
的图象有三个交点，
如图所示：
对称，
8
当直线 设切点 直线 则有
，
．
平面
，
20.（ 1 ）当
时，函数 在
内单调递减，在
内单调递增；
当
时，函数 在
内单调递增；在
内单调递减，在
内单调递
增；
当
时，函数 在
内单调递增；
当
时，函数 在 内单调递增，在
内单调递减，在
内单调递增．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（1）
．
∵
，
，
∴当
时，
，函数 在 内单调递减，在
内单调递增；
当
时，
，函数 在
属于“观望族”
合计
女性员工
男性员工
合计
∵
，
∴没有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
（ 2 ）设人事部的这 名中的 名“追光族”分别为“ ， ， ”， 名“观望者”分别为“ ， ，
”．则从人事部的这 名中随机抽取 名的所有可能情况有“ ， ， ； ， ， ； ， ， ；
11
，， ； ，， ； ，， ； ，， ；，， ；，， ；，， ； ， ， ；
（ 1 ） 求四边形
（ 为坐标原点）面积的取值范围．
（ 2 ） 证明直线 与 轴平行．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在平面直角坐标系 中，已知 是曲线
上的动点，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ，设点 的轨迹为曲线 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1 ） 求曲线 ， 的极坐标方程．
3. C 解析: 由
可知， ，
∴
．
故选 ．
4. D
解析:
已知命题 ：
，
则：
，
故选 ．
， ．
5. A
解析:
由频率分布直方图可知：
得分在
的频率为 ，在
的频率为 ，
在
的频率为 ，在
的频率为 ，
6
在
的频率为
故中位数为
故选 ．
， ．
6. D
解析:
在等差数列 中，
，
，
∴
．
故选 ．
7. C
8. A
解析:
将
图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍可得到，
象向左平移 个单位长度后得到：
．
故选： ．
9. B
解析:
已知 、 为抛物线
上的不同两点，且
，
故由抛物线定义可得
，
所以线段 的中点到 轴的距离为
．
故选 ．
10. C
解析:
，
，
，
故
，
，
又
，
，
即
，故
，
7
的图像，再将该图
所以
．
故选 ．
11. B
解析:
设双曲线 的右焦点为 ，直线 交双曲线左支于 ，交右支于 ，
12. 已知定义在 上的函数 满足
，当
时，
有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
，若关于 的方程
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知实数 ， 满足约束条件
，则
的最大值为
．
14. 设正项等比数列 满足
，
，则
．
15. 已知平面向量 , 满足
，
为
．
，且
，．
解得
或
（舍去），
∴
．
故答案为： ．
15.
解析:
设 与 的夹角为 ．
由
可知，
．
解得
．
又∵
，则
．
故答案为： ．
16.
解析:
已知
是边长为 的正方形，
所以
，
，
，
又因为 、 分别为 ， 的中点，
故
，
，
，
所以三棱锥
的外接球即为长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的外接球，
故外接球的直径即为体对角线，
10
所以 故
D.
4. 已知命题 ：
，
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
，则 为（ ）．
5. 某校随机抽取 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 名同学的得分都在
内，按得分分成 组：
，
，
，
，
，得到如图所示的频率
分布直方图．则这 名同学的得分的中位数为（ ）．
频率 组距
得分 A. B. C.
1
D.
6. 设等差数列 A. B. C. D.
与 相切时，即为临界值，
，其中
，
过定点 ，
，
解得
，故
．
根据对称性，有当
时切点为
，
故此时斜率为
或
，
故 的取值范围为
．
故选 ．
13.
解析:
约束条件对应的可行域如图，
y
4
2
–2 O
x
2
4
设
，
则
，
当直线经过如图的 时，使得 最大，
9
由 所以
得到 的最大值为
， ．
14. 解析: 记等比数列 ∴
首项为 ，公比为 ，则 ，
平面
．
（ 2 ） 点 在棱 上，且
．证明：
平面 ．
20. 已知函数
（ 1 ） 讨论函数 的单调性．
（2） 当
时，证明
，
， 为函数 的导函数．
对任意的
都成立．
21. 已知椭圆
的右焦点为 ，过点 的直线（不与 轴重合）与椭圆 相交于 ， 两
点，直线
与 轴相交于点 ， 为线段 的中点，直线 与直线 的交点为 ．
（ 2 ） 在极坐标系中，点
，射线
与曲线 ， 分别相交于异于极点 的 ，
两点，求
面积．
23. 已知函数
．
（ 1 ） 解不等式
．
（2） 若
，求证：
．
【答案】
5
1. B
解析:
在复平面对应的点坐标为
，
由题可知， 在复平面对应的点坐标为
，
即
．
故选 ．
2. D
解析:
∵
，
，且
，
∴
，且
，
，
∴ 可为 或 ．
故选 ．
21.（ 1 ）
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由题可知
，设直线
，
，
联立
，消去 可得
，
，
，
因为 所以由韦达定理得
， ，
故
所以四边形
的面积
令
，所以 ，故
， ， ，
，
因为
，当且仅当 即
时取等号，
所以 （ 2 ）因为
，即四边形
，
，为
面积的取值范围是
．
的中点，所以
，
故直线 的斜率
，所以直线 的方程为
， ， ； ， ， ；， ， ；， ， ；， ， ；， ， ；， ， ；， ，
； ， ， ”共 种．
其中，抽取到的 名中恰有 名属于“追光族”的所有可能情况有“ ， ， ； ， ， ； ，
， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ； ， ， ”共 种．
∴抽取到的 名中恰有 名属于“追光族”的概率
属于“追光族”
属于“观望族”
合计
女性员工
男性员工
合计
（ 2 ） 已知被抽取的这 名员工中有 名是人事部的员工，这 名中有 名属于“追光族”．现从这
名中随机抽取 名，求抽取到的 名中恰有 名属于“追光族”的概率．
附：
，其中
．
19. 如图，在四棱锥 分别为 ， 的中点．
中，
平面
，底面
为菱形，且
，，
4
（ 1 ） 证明：