年广州市高三一模文科数学试卷及答案

2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试(一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数21i+的虚部是( ）A ．2- Ｂ.1- Ｃ.1 D.2 2．已知集合}{}{2001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0 Ｃ.1 Ｄ.2 3．已知tan 2θ=,且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ) A.45 Ｂ．35 Ｃ．35- D ．45-４.阅读如图的程序框图. 若输入5n =,则输出k 的值为( )A ．2B ．3 Ｃ．4 Ｄ.5 ﻩ5.已知函数()122,0,1log ,0,+⎧≤=⎨->⎩x x f x x x 则()()3=f f ( )A.43 Ｂ．23C ．43- D ．3-6．已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上， 且12=PF , 则2PF 等于（ )A ．4 Ｂ.6 C ．8 D.107.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( ）A.14 B ．716 Ｃ．12 D.916８.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形） 和侧视图，且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是( ）9．设函数()32f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点P 的坐标为( )A ．()0,0B ．()1,1- Ｃ．()1,1- D ．()1,1-或()1,1-1０.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==,4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面 积为（ ）A ．8π Ｂ.12π C.20π Ｄ.24π1１.已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数,直线2y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ )A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 Ｂ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 １２．已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为( ) A.2016 B ．1008 C.504 Ｄ．0第Ⅱ卷二、填空题:本小题共４题，每小题5分13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -,则a b ⋅=１4.若一个圆的圆心是抛物线24=x y 的焦点,且该圆与直线3+=x y 相切,则该圆的标准方_____ 15.满足不等式组⎩⎨⎧≤≤≥-++-ax y x y x 00)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_＿_＿＿ 1６.在ABC ∆中，160,1,2ACB BC AC AB ︒∠=>=+,当ABC ∆的周长最短时，BC 的长是三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1７. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-(*N n ∈) (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T １８.(本小题满分１2分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内,则为合格品，否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图１是乙流水线样本的频率分布直方图(Ⅰ）根据图１,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;(Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品,则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(Ⅲ)根据已知条件完成下面22⨯列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中=+++n a b c d 为样本容量)()2P K k ≥ ０．１50.10 ０.05 0.025 0.01０ 0.0０5 0．001 k2.０７2 2．70６3.8４１ 5．02４ 6.63５７.87910.8２819．（本小题满分１２分）如图１，在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC ,点E 是BC 边的中点,将ABD ∆沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 (Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； ABD (Ⅱ）若1=AD ,AC 与其在平面6,求内的正投影所成角的正切值为点B 到平面ADE 的距离２0．(本小题满分１2分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点)1,2(A(Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是，求出该值;若不是,说明理由2１．（本小题满分１2分)已知函数)0(ln )(>+=a xax x f (Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)证明:当e a 2≥时，xex f ->)(请考生在第２2～２3题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分 2２．（本小题满分1０分）选修４－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:22cos .4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθC（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .(Ⅰ)若()13<f ，求实数a 的取值范围;（Ⅱ)若1,≥∈a x R ,求证:()2≥f x .甲生产线乙生产线合计 合格品 不合格品 合计E DC B A２017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一)答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分． 一、选择题（１)B （2)A （3）C （4)B （5）A (６)Ｃ（7)B (8)D (９)D （１0)C (11）D （12)B 二、填空题（13)52- （１4）()2212x y +-=（15）3 （16)12+ 三、解答题 (17） 解:（Ⅰ）当1n =时,1122S a =-，即1122a a =-, ………………………………………1分 解得12a =． ………………………………………………………2分当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ………………3分 即12n n a a -=， ………………………………………………………4分 所以数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列．……………………………………５分 所以1222n n n a -=⨯=(n ∈N *). ………………………………………………６分（Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-, ………………………………………………8分所以12n n T S S S =++⋅⋅⋅+ ………………………………………………9分2312222n n +=++⋅⋅⋅+- ………………………………………………１0分 ()412212n n ⨯-=-- (1)2242n n +=--． ………………………………………………12分(18） 解:(Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，………………………………………１分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++⨯+⨯-= ……………………………3分 解得390019x =． ………………………………………4分（Ⅱ）由甲,乙两条流水线各抽取的５0件产品可得，甲流水线生产的不合格品有１5件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153,5010P ==甲 ………………………５分乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙, ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为：315000=1500,5000=1000105⨯⨯. …………………………8分 （Ⅲ)列联表：1０分则()221003506004 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯， ……………………………………………11分因为1.3 2.072,<所以没有８5%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：(Ⅰ） 因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD 平面BCD BD =，又BD ⊥DC ,所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ,DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC ． …………………………………4分 （Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ,即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分依题意6tan ==∠ADCDCAD ， 因为1AD ,= 所以6=CD . …………………………6分设()0AB x x =>，则12+=x BD ,因为△ABD ～△BDC ，所以BDDCAD AB =， ………………………………7分 即1612+=x x ,解得x =3,3,2===BC BD AB . ………………………………8分由于AB ⊥平面ADC ,AB ⊥AC , E 为BC 的中点，由平面几何知识得AE 322BC ==,同理DE 322==BC ,所以22=∆ADE S . …………………………９分因为DC ⊥平面ABD ,所以3331=⋅=-ABD BCD A S CD V . ………………………１0分 设点B 到平面ADE 的距离为d ,则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ， …………………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分(2０) 解:(Ⅰ） 因为椭圆C, 且过点()2,1A , 所以22411a b+=,c a = ………………………………………………2分因为222a b c =+,解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=． ……………………………………………４分(Ⅱ)法1:因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--． 设点(),P P P x y ， (),Q Q Q x y ，由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=． ①因为点()2,1A 在椭圆C 上， 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………６分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分同理2288214Q k k x k+-=+. ……………………………………………8分 所以21614P Q kx x k-=-+. ……………………………………………9分 又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………１0分 所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Q y y k x x -==-． …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值,该值为12． ……………………………………………1２分法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ,则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.所以PA QA k k =-， 即1112y x --22102y x -+=-, ① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=,② 2222182x y +=. ③ 由②得()()22114410x y -+-=， 得()111112241y x x y -+=--+， ④ ………………………6分 同理由③得()222212241y x x y -+=--+, ⑤ ………………………………………………7分由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++,化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………８分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分 ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分②-③得22221212082x x y y --+=，得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. …………………1１分 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值. …………………………………12分法3:设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+,直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.所以PA QA k k =-， 即1112y x --2212y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=. (＊） …………………………………7分由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418480k x kbx b +++-=， (*＊)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分代入(＊)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-． ...................................................10分 若12b k =-, 可得方程(**）的一个根为2,不合题意． (1)若12k =时， 合题意.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分 (2１） 解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x-'=-=． ……………………………………1分 因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时,()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦． …………………………………………………3分当ln 10a +≤, 即0a <≤1e时, 又()1ln10=+=>f a a ， 则函数()f x 有零点. …4分所以实数a 的取值范围为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2:函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞． 由()ln 0af x x x=+=， 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-,则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点， 则10a e <≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………５分（Ⅱ) 要证明当2a e≥时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x ax e x-+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………６分令()ln h x x x a =+， 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =时, ()min1h x a e=-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分 于是,当2a e≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分令()x x xe ϕ-=， 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,()0f x '<．所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分 于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤② ……………………………………………………10分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e≥时, ()->x f x e . ……………………………………………………12分 (２2）解：(Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………２分由4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ， ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………５分 (Ⅱ) 法１:设曲线C上的点为()1,1ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d 分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时， max =d ………………………………………９分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为１0分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………６分 当直线l '与圆C相切时,= ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去)，所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分 所以直线l 与直线l'的距离为d == …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. ………………………………10分 (23)解:(Ⅰ） 因为()13<f ,所以123+-<a a . ………………………………………１分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ,所以203-<≤a ; ……………２分 ② 当102<<a 时,得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………３分③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<； ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥.……………………………………………………………………10分。