2020年深圳市高三年级线下一模文科数学试题
2019-2020学年广东省深圳市高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析
2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．135．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：26．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=09．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞810．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．211．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= ．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．2019-2020学年广东省深圳市高考模拟考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B=（）A．{﹣2，1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=|x|﹣3中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=﹣2，﹣1，0，1，2，3，分别代入y=|x|﹣3得：y=﹣3，﹣2，﹣1，0，即B={﹣3，﹣2，﹣1，0}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：C．2．若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2=﹣2﹣i．∴==，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．已知函数f（x）=，则f（﹣2016）=（）A．e2B．e C．1 D．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知条件利用分段函数的性质先由函数的周期性求出f，再由指数的性质能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴当x＞2时，函数是周期函数，周期为5，f（﹣2016）=f=f（1）=e，故选：B．4．某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】茎叶图．【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可．【解答】解：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88×7，∴m=3又乙组学生成绩的中位数是89，∴n=9，∴m+n=12．故选：C．5．已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A．2：3 B．4：3 C．3：1 D．3：2【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由3bcosC=c（1﹣3cosB）．利用正弦定理可得3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简整理即可得出．【解答】解：由正弦定理，设，∵3bcosC=c（1﹣3cosB）．∴3sinBcosC=sinC（1﹣3cosB），化简可得 sinC=3sin（B+C）又A+B+C=π，∴sinC=3sinA，∴因此sinC：sinA=3：1．故选：C．6．已知=（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），若（﹣2）⊥，则||=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】求出向量﹣2，利用向量的垂直，数量积为0，列出方程求解向量，然后求解向量的模即可．【解答】解： =（﹣2，1），=（k，﹣3），=（1，2），﹣2=（﹣2﹣2k，7），（﹣2）⊥，可得：﹣2﹣2k+14=0．解得k=6，=（6，﹣3），所以||==3．故选：A．7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠ACB为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．8．自圆C：（x﹣3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（）A．8x﹣6y﹣21=0 B．8x+6y﹣21=0 C．6x+8y﹣21=0 D．6x﹣8y﹣21=0【考点】轨迹方程．【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程【解答】解：由题意得，圆心C（3，﹣4），半径r=2，如图：因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x﹣3）2+（y+4）2，即6x﹣8y﹣21=0，所以点P在直线6x﹣8y﹣21=0上，故选D．9．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：K1098s11120可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．11．设F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得交点坐标，利用点到直线的距离公式可知： =，即可求得4a2=3c2，利用双曲线的离心率即可求得双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为（，），由（，），到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d===，解得：c=2b=2，即4a2=3c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．12．若直线l：y=kx﹣1与曲线C：f（x）=x﹣1+没有公共点，则实数k的最大值为（）A．﹣1 B．C．1 D．【考点】函数的图象．【分析】直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，可化为k=1+，设g（x）=1+，求导，研究此函数的单调性即可解决【解答】解：若直线l：y=kx﹣1与曲线f（x）=x﹣1+没有公共点，则x﹣1+=kx﹣1无解，∵x=0时，上述方程不成立，∴x≠0则x﹣1+=kx﹣1可化为k=1+，设g（x）=1+，∴g′（x）=∴g′（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上g′（x）＞0，在（﹣1，0）上g′（x）＜0，在（0，+∞）上g′（x）＜0，∴g（x）满足：在（﹣∞，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递减，g（﹣1）=1﹣e，而当x→+∞时，g（x）→1，∴g（x）的图象：∴g（x）∈（﹣∞，1﹣e]∪（1，+∞）无解时，k∈（1﹣e，1]，=1，∴kmax故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数（x∈R）为奇函数，则ab= 2016 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用f（0）=0，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x∈R）为奇函数，∴f（0）==0，∴ab=2016，故答案为2016．14．已知实数x，y满足，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a= ﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组，表示一个三角形区域（包含边界），三角形的三个顶点的坐标分别为（0，2），（1，0），（，2）目标函数z=3x+y的几何意义是直线的纵截距由线性规划知识可得，在点A（，2）处取得最大值4．3×+2+a=4，解得a=﹣3故答案为：﹣3．15．已知函数f（x）=asinxcosx﹣sin2x+的一条对称轴方程为x=，则函数f（x）的最大值为 1 ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】本题运用离对称轴远近相同的点函数值相等求出a值，再求三角函数的最值．【解答】解：f（x）=，∵是对称轴，f（0）=f（），∴，∴，最大值为1．故答案为1．16．当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a 的取值范围是[2﹣e，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而， =（）=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）max（e x﹣x﹣1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=e x﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，∴e x﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x），max=（）（e x﹣x﹣1），令t（x）=e x﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=e x﹣1＞0对x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，=h（1）=，∴h（x）max∴实数a的取值范围是[2﹣e，+∞）．故答案为：[2﹣e，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=﹣bsin（A+）．（1）求A；（2）若△ABC的面积S=c2，求sinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得tanA=﹣，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A 的值．（2）由（1）可求sinA=，利用三角形面积公式可求b=，利用余弦定理可求a=，由正弦定理即可计算求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinB=﹣bsin（A+）．∴由正弦定理可得：sinAsinB=﹣sinBsin（A+）．即：sinA=﹣sin（A+）．可得：sinA=﹣sinA﹣cosA，化简可得：tanA=﹣，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）∵A=，∴sinA=，∵由S=c2=bcsinA=bc，可得：b=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2，可得：a=，由正弦定理可得：sinC=…12分18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi （单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得， =20， =184， =720．1）求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程；2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： =， =．【考点】线性回归方程．【分析】1）利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程： =bx+a；2）通过x=7，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】（本小题满分12分）解：1）由题意知n=10，，又，，由此得， =2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求线性回归方程为=0.3x﹣0.4．2）将x=7代入回归方程，可以预测该家庭的月储蓄约为=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，点D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求三棱锥C1﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由题设证明BC⊥平面ACC1A1，可得DC1⊥BC，再由已知可得∠ADC=∠A1DC1=45°，得∠CDC1=90°，即C1D⊥DC，结合线面垂直的判定得DC1⊥平面BDC，从而得到平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）由等积法可得三棱锥C1﹣BDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．∵∠ADC=∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°，即C1D⊥DC．∵DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．（Ⅱ）解：由，得AA1=4，所以AD=2，所以．所以Rt△CDC1的面积，所以．20．已知F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|F1F2|=2，点在该椭圆上，求出a=2，，由此能出椭圆C的方程．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），推导出．连接OM，OP，由相切条件推导出，由此能求出|F2P|+|F2Q|+|PQ|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆C：的两个焦点，且|F1F2|=2，点在该椭圆上．由题意，得c=1，即a2﹣b2=1，①又点在该椭圆上，∴，②由①②联立解得a=2，，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，∴．连接OM，OP，由相切条件知：，∴，∴．同理可求得，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值．21．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p ＞0）．（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数p的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程．由x=﹣2+t，可得y=x﹣2=﹣4+t，即可得出直线l的参数方程．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），即可化为直角坐标方程．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|=．利用|PQ|2=|MP|•|MQ|，即可得出．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，化为直角坐标方程：x﹣y﹣2=0．∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ2sin2θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐标方程：y2=2px．把直线l的参数方程代入可得：t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．|PQ|=|t1﹣t2|===．∵|PQ|2=|MP|•|MQ|，∴8p2+32p=8p+32，化为：p2+3p﹣4=0，解得p=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+恒成立，再利用基本不等式求得2y+的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，∴m=．（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+恒成立，故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，∴4≤2y+恒成立，∵2y+≥2，∴2≥4，∴a≥4，故实数a的最小值为4．。
2020年深圳市普通高中高三测试文科数学试题
2020年深圳市普通高中高三测试文科数学本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}12A x x =-<<，(){}lg 1B x y x ==-，则()A B =R I ðA ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．(1,1]-D ．[)1 -+∞， 2．棣莫弗公式(cos isin )cos isin nx x nx nx +=+(i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cos isin )55ππ+在复平面内所对应的点位于A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线023=+-a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是A ．7a <或24>aB ．7=a 或24=aC ． 724<<-aD ． 247<<-a4． 已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是 A. (0,1) B ．1(0,)2C.11[,)62D ．1[,1)65．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下表：则样本数据落在1040，上的频率为 A. 0.13B. 0.52C. 0.39D. 0.646. 在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u ur ，则AC AD ⋅u u u r u u u rA ．B ．2 C ．3D 7．=︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sinA ． 12-B ．12C．2- D．28．已知抛物线x y 82=，过点(2,0)A )作倾斜角为π3的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为 A ．163B ．83D. 9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论: ①AC BD ⊥ ②AC ∥截面PQMN ③AC BD = ④异面直线PM 与BD 所成的角为45o 其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是 A ．函数()f x 的图象关于直线2π3x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点11π(,0)12对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 11．已知函数)(x f y =是R 上的奇函数，函数)(x g y =是R 上的偶函数，且)2()(+=x g x f ，当20≤≤x 时，2)(-=x x g ，则)5.10(g 的值为A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.512．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 的左右支于另一点M 、N ，若122PF PF =，且2120MF N ∠=o ，则双曲线的离心率为ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ．DAQ B C PN M14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a =-，则54S S -=_____________. 15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 ____________ . 16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项123a =，112n n n n a a a a +++=*(0,)n a n ≠∈N ． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点. （1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12分）150140 130 120 110 100 ADBCMS已知函数()(1)e x a f x x=+（e 为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1212,)x x x x <（，证明：2121ln ()ln ()212f x f x x x a ->+-+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩，（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：π=6θρ∈R ()与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记△AOB 的面积为1S ，△2COC 的面积为2S ，求1221S S S S +的值.23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()++1f x x m a <-有实数解，求实数m 的取值范围.。
【附加15套高考模拟试卷】广东省深圳市2020年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题含答案
广东省深圳市2020年高三年级第一次调研考试数学（文科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x ，y 满足约束条件200,40x y x y z x y y 则+≥⎧⎪-≤=+⎨⎪-≤⎩的最大值是( )A ．4-B ．0C ．8D ．122．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2B ． 4C ．6D ．83．如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(2,6)B ．(6,8)C ．(8,12)D ．(10,14)4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位5．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角边不相等的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 6．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43 C ．34- D ．43-7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）A ．710 B ．58C ．38D ．3108．已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．22πC ．40πD ．44π9．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．23π10．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且4AB BC CD ===，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ） A ．23 B ．34 C ．3 D ．2411．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行 B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直 C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行 D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直 12．函数的零点所在的区间是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东深圳高三一模数学试卷(文科)
2020年广东深圳高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.设，则的共轭复数（ ）．A.B.C.D.2.设集合，，，则（ ）．A.B.C.D.3.下列函数中为奇函数的是（ ）．A. B. C. D.4.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》．年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图．我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，算盘每档各珠均如最左档一样位置；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“”，一个下珠表示“”．例如，当百位档一个上珠，十位档一个下珠和个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是．现选定“个位档”、“十位档”和“百位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其所有可能表示的三位数中随机取一个数，这个数能被整除的概率为（ ）．梁顶珠上珠下珠底珠挡框千位百位十位个位5.已知是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）．A.B.6.已知直线经过和两点，若将直线绕点按逆时针方向旋转后到达直线的位置，则的方程为（ ）．A.B.C.D.7.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）．A.B.C.D.8.已知数列满足，，则（ ）．A.B.C.D.9.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的内切球表面积为（ ）．A.D.10.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为（ ）．A.B.C.D.11.已知正方体，棱长为，的中点为，过、、三点的平面截正方体为两部分，则截面图形的面积为（ ）．A.B.C.D.12.已知函数，若存在互不相等的正实数、、，满足，其中，则的最大值为（ ）．A.B.C.D.，，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量、，若，，，则．14.的内角、、的对边分别为、、，若，，．则的面积为 ．15.某地为了解居民的每日总用电量（万度）与气温（）之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如下：气温（）每日总用电量（万度）经分析，可用线性回归方程拟合与的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量（万度）为 ．16.设为双曲线的左焦点，过作圆的切线，切点为，切线与渐近线相交于点，若，则的离心率为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.记等差数列的前项和为，已知公差不为零，，且、、成等比数列．求的通项公式．设，试问数列是否存在最大项？若存在，求出最大项序号的值；反之，请说明理由．18.为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质，某市开展“青少年科技创新大赛”活动．已知参加该活动的学生有人，其中男生人，女生人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如下：（1）（2）男生参赛成绩百分制频率组距女生参赛成绩百分制频率组距该活动规定：成绩不低于分的参赛学生可获奖，低于分的参赛学生不能获奖．请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并判断能否有以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？获奖不获奖合计男生 女生合计估计这名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．附：．（1）（2）19.已知三棱柱，侧面为正方形，底面为正三角形，，．求证：平面.若，求点到平面的距离．（1）（2）20.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．求椭圆的方程．【答案】解析:∵，已知直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，在椭圆上是否存在一点，满足，若存在，求的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数．当时，求曲线在点处的切线方程．当时，求证：对任意的，．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧，和线段，四部分组成，在极坐标系中，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程．点，位于曲线上，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知，．若，求实数的取值范围．求的最小值．D1.，∴复数的共轭得复数，故正确．故选．解析:∵集合，集合，，，或，集合，∴，．故选：．解析:个位档可为：或；十位档可为：或；百位档可为：或；以下情况从个位到百位即种、、、、、、、．B 2.C 3.B 4.被三整除为：、，．故选项．解析:函数在是增函数，且，所以，又，即，则．故选．解析:∵直线经过点，两点，∴直线的方程为，将直线绕点逆时针方向旋转，则此时直线的斜率，此时直线过点，所以得到直线方程为，即．故选：．解析:如图三视图可知该几何体由一个半球和一个半圆柱构成，∵网络纸上小正方形的边长为，则半球的半径为，体积为，半圆柱的底面为半径为的圆，高为，则半圆柱体积为，∴该几何体体积为．故正确．A 5.B 6.D 7.解析:∵ ，，∴ ，，∴ 数列是首项为，公差为的等差数列，∴，，．故选项正确．解析:圆锥和球体的截面图如图所示，且，，，∵（圆锥母线长），∴的延长线过点，即为圆锥的高，∵，，，∴，设球半径为，又∵在中，，∴，∴在中，，解得，∴内切球表面积为，B 8.D 9.故选项．解析:由图象可得，，，即，，∴，且，∵，∴，∴把的图象向右平移个单位后得到的图象．故选．解析:如图，作中点，连接过作于，∵、分别为、中点，∴，∴为等腰梯形，则，，∴．故选．解析:C 10.A 11.B 12.法一：作出函数图象如下图所示：x123456789y12O 可得，所以，且，令，则，，故，故当时，．法二：利用均值不等式：．解析:∵平面向量，，，设，由，则，即，由，则，∴，解得，所以，．解析:∵中，，，13.14.，由正弦定理，∴，解得，由余弦定理，，所以的面积为．15.解析:由表中数据可知，，，将代入回归方程得，解得，则，当时，，即预测气温为时，该地当日总用电量（万度）为．16.解析:方法一：设，因为，，所以，，所以，，，，又点在直线上，所以整理得到，又，所以．方法二：（1）（2）（1）设，则，在中，有，所以，由此可求得，从而可求得．解析:由可得①，又∵，∴，整理得，所以②，联立①②可得，，所以．，，若，则，若，则，因此，所以最大，即最大项序号．解析:由题意可得，（1）．（2）存在，．17.（1）及格不及格合计男生女生合计没有以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．（2）．18.（2）（1） 及格不及格合计男生女生合计∴，∵，∴没有以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．由题意可知，男生数学的平均成绩为，女生数学成绩的平均成绩为，∵样本中男女生人数之比为，这名学生的平均成绩为．解析:连接，∵侧面为正方形，∴，∵，，∴，又∵为的中点，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）∵，∴平面．∵，∴，∵侧面为正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴平面，设为点到平面的距离，由，可得，∵，，，∴．解析:由题设可知，，，又，解得，所以椭圆的方程为．设存在椭圆上的一点，满足，设，，则，联立与，消去并整理，得，令，则，则，，（1）．（2）存在．．20.（1）（2）则，所以将点代入，解之，，所以，而原点到距离，所以，所以．求距离也可用求点到直线的距离．点到直线的距离：，所以．解析:当时，则，故，∴，又，因此切线方程为，整理得，即．方法一：因为，，所以，令，当时，，所以为增函数，，所以，为增函数，所以，所以，（1）．（2）证明见解析．21.当时，，又因为，所以，∵，所以存在，使得，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，，，由单调性及零点存在性定理得，存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上为减函数，在上为增函数，又，，所以，证毕．方法二：∵，当时，，∴当，时，，令，则，令，则，由于在上是增函数，且，∴当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴，又，，故在上存在唯一零点，∴当时，，时，，∴在上是减函数，在上是增函数，又∵，，∴当时，，即当时，对任意，恒成立．（1）（2）方法三：先证明当时，，令函数，因为，令函数，又，所以函数在区间为单调递增函数，所以，即，所以函数在区间为单调递增函数，所以，即在区间函数，所以，所以要证不等式成立，即证成立，令，①当时，不等式显然成立；②当时，函数是开口向下的二次函数，所以函数在区间上单调递减，所以，当，时等号成立，③当时，抛物线开口向上，在上为增函数，所以，不等式成立，综上所述：当时，对任意的，成立．解析:由题意，的极坐标方程是，记圆弧所在圆的圆心为，易得极点在圆弧所在圆上，设为上任意一点，则在中，可得，∴，的极坐标方程分别为，．不妨设，，则，，∴，（1），的极坐标方程分别为，．（2）．22.（1）（2）又∵，∴，∴的面积的取值范围是．解析:∵，取等条件为，解得，即实数的取值范围为．易知，∵，∴，∴，即，由（）知，当，且时，，∴的最小值为．（1）．（2）．23.。
2020年广东省深圳市高考文科数学模拟试卷及答案解析
2020年广东省深圳市高考文科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设集合A＝{0，3}，B＝{m+2，m2+2}，若A∩B＝{3}，则集合A∪B的子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8
2．在复平面内，复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（）
A．x2+y2＝25B．x2+y2＝5
C．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25D．（x+3）2+（y+4）2＝25
4．函数f（x）＝ln的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．0B．1C．2D．4
5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）
A．若a3＞0，则a2016＞0B．若a4＞0，则a2017＞0
C．若a3＞0，则S2017＞0D．若a4＞0，则S2016＞0
6．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）
A．A ＝B．A＝2+C．A ＝D．A＝1+
7．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四
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广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题Word版含答案
广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =I （ ） A ． {}2,4 B ．{}4,6 C ．{}6,8 D ．{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． -3 B ． -2 C ．2 D ．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ） A ．14 B ． 13 C ． 12 D ． 234.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C. b c a >> D ．c b a >> 5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos ,1,24C a c ===，则ABC ∆的面积为（ ）A B 14 D ．186. ）A C. 2 D 7.将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）A ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 函数()21cos 21x xf x x +=-g 的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．()24h π-10. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ） A ． 335 B ．336 C. 337 D ．33811. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ） A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12. 若()32sin cos f x x a x =+在()0,π上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()0,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p q += ． 14. 已知α是锐角，且cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 15.直线30ax y -+=与圆()()2224x y a -+-=相交于M N 、两点，若23MN ≥a 的取值范围是．16.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*21,1n n n n S a n n N b a =-+∈=+． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2,3,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若060EAG ∠=，求三棱锥F BDE -的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3．5过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是AB 中点，且Q 点的坐标为2,05⎛⎫⎪⎝⎭，当QM AB ⊥时，求直线l 的方程． 21.已知函数()()()1ln 3,,f x ax x ax a R g x =+-+∈是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数． （1）讨论()g x 的单调性；（2）当a e >时，证明：()0a g e ->；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-． （1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．广东省深圳市2020届高三下学期第一次调研考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==；当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦， 整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列， ∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈； （2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=g ， 则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，①∴12321222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，② 由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯L12221212n n n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+. 18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=， 在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =，∴BD EG ⊥， ∵AC EG G =I ， ∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知0060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =，∵122BDE S ∆==g ∴三棱锥F BDE -的体积为133=g . 解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-， 当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩，∴0.0015,0.0020a b ==； （3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==， 当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =， ②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+， 将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=， 可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k --==+=+++g ，由QM AB ⊥可知00125y k x =--g ，化简得23520k k ++=， 解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=. 21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数； ②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0aa a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点.∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->， 当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.。
深圳市2020年普通高中高三年级统一测试文科数学试卷含答案
点共线，则 k
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以
生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那 么兔子对数依次为：1，1， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ，13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ，144 ……，这就 是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 an an1 an2 (n 3, n Ν ) ，其中 a1 1 ， a2 1 .若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为
（1）求数列 {an } 的通项公式；
1 （2）若 bn = an an+1 ，求数列{bn}前 n 项和为Tn ．
解：（1）由 (n +1)an+1 − nan = 4(n +1) (n N) 可得，
2a2 − a1 = 8 ，
………………………………1 分
3a3 − 2a2 = 12 ，
4a4 − 3a3 = 16 ，
归直线方程分别为： yˆ 4x 105 ， yˆ 4x 53和 yˆ 3x 104 ，其中有且仅有一位实习
员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确 的，并说明理由；
（ 2 ） 若 用 y ax2 bx c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 ， 可 得 回 归 方 程 为
深圳市 2020 年普通高中高三年级统一测试数学（文科）试题 第 2 页（共 6 页）
其中，正确的结论个数是
A．1
B． 2
C． 3
10．函数 f (x) cos x ln( x2 1 x) 的图象大致为
深圳市2020届高三年级第一次调研考试文科数学试题(含答案)
=
2 2
3=
3 ，………11 分
h=2 6 ．
3
…………………………………………………12 分
解法二：通过证明或计算可得四棱锥 A1 − ABC 为正四面体，其高的公式 h =
6 a（ a 为 3
棱长）．
解法三：可利用 B1C
⊥ 平面 A1BC1 计算VC−A1B1C1
= 2VB1 − A1C1O
=
(2)设存在椭圆上的一点 P(x0 , y0 ) ，满足 OA + OB + OP = 0 ，
设
A(
x1,
y1 ),
B(
x2
,
y2
)
，则
x0
y0
= =
−( x1 −( y1
+ +
x2 ), y2 ),
-------------5
分
联立 x2 + y2 = 1与 y = x + m(m 0) ，消去 y 并整理，得 2
BC1 B1C = O ， A1B1 = A1C ． （1）求证： B1C ⊥ 平面 A1BC1 ； （2）若 BC = 2 ，求点 C 到平面 A1B1C1 的距离．
解：（1）证明：连接 A1O ，………1 分 侧面 BCC1B1 为正方形，
BC1 ⊥ B1C ， ……………………2 分
AB = A1B1 ， A1B1 = A1C ，
频率 组距
频率 组距
0.0150
0.0150
0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025
0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025
O 20 40 60 80 100 男生参赛成绩（百分制）