高三数学理科一模试卷及答案
河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
2024-山东省潍坊市2024届高三一模数学-试题含解析
山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）1. 已知R是实数集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，⋯，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则( )A. 189B. 252C. 324D. 4055. 已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则( )A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知，则( )A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 18B. 36C. 54D. 1088. 某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是( )A. 2020年第四季度的销售额为380万元B. 2020年上半年的总销售额为500万元C. 2020年2月份的销售额为60万元D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元9. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 1810. 在四边形ABCD中如图1所示，，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体如图2所示，使得，则四面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的离心率为B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为412. 已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1， (1)2，4，…，，，…，2，1，…的前n项和为，若，则n的最小值为( )A. 81B. 90C. 100D. 202113. 已知是奇函数，且当时，若，则__________.14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.15. 函数的图象在点处的切线的斜率为____________。
高三年级第一次模拟考试数学(理)参考答案及评分标准(联合体)
高三年级第一次模拟考试 数学(理)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)13.4 14. 24 15. 3 16. 三、解答题(本大题共70分) 17.(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵ ∠BAC = x , 8AC AB = ,∴cos 8bc x =， …………………………………………1分 ∴1sin 4tan 2bc x x =, ……………………………………2分又 ∵ 4≤S ≤ 1≤tanx ……………………4分 ∴ x 的取值范围是4π≤x ≤3π. …………………………6分(Ⅱ)f(x) =＋cos 2x=2sin( 2x ＋6π), …………………………………………8分 ∵4π≤x ≤3π,∴23π≤2x ＋6π≤56π，12≤sin(2x ＋6π) ………………10分 ∴ f(x)min =f(3π) =1,f(x)max =f(4π) =3. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)解(Ⅰ) ①处填20， ②处填0.35；…………………2分 补全频率分布直方向图如图所示.……………………4分500名志愿者中年龄在［30，35)的人数为0.35×500=175人. ……6分(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人.……………………7分故X的可能取值为0，1，2；P(X=0)=2152202138CC=, P(X=1)=111552201538C CC=,P(X=2)=25220238CC=, ………………10分所以X的分布列为：X 0 1 2P 21381538238∴EX=0×2138＋1×1538＋2×238=12 .………………………12分19.(本小题满分12分)解(Ⅰ)取AD的中点M，连接MH，MG.∵G，H,F分别是AE，BC，EB的中点，∴MH∥AB，GF∥AB，∴M∈平面FGH，……………………3分又MG∥DE，且DE平面FGH，MG⊂平面FGH，∴DE∥平面FGH.……………………6分(Ⅱ)如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AQ，则AQ⊥平面ABCD.以A为原点，AQ、AB、AD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系. ……………7分则A(0，0，0)，B(0，4，0)，D(0，0，2)，G(3，－1，0)，F(3，1，0)，P(3，λ,0).∴BD=(0,－4,2), BP=(3, λ－4,0). ………………………………8分设平面PBD的一个法向量为n1=(x,y,1),则110,0,n BP n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 3(4)0,420.x y y λ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ ∴ 1,23(4).6y x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 1n =(3(4)6λ-,12,1)…………………………………………10分又平面ABP 的一个法向量为n 2=(0,0,2),………………………………11分 ∴ cos 〈n 1,n 2〉=1212n n n n =222112(4)()1122λ-++=22, 解得λ=1或7(舍去).∴ 点P 与点F 重合.……………………………………………………12分 20(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵ 椭圆E 右焦点为(1，0)， ∴ c=1, ………………………………1分又点P(1，32)在椭圆E 上， ∴ 2a=｜PF 1｜＋｜PF 2｜=223(11)()2++＋223(11)()2-+=4, ………………2分∴ a=2, b=22a c -=3, 所以椭圆方程为22143x y +=……………………………4分(Ⅱ)①当直线MN 与x 轴垂直时， 直线AM 方程为y=x ＋2,联立 222,3412,y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640x x ++=， 解得27x =-或2x =-（舍）。
陕西省西安市2022-2023学年高三一模理科数学试题及参考答案
陕西省西安市2022-2023学年高三一模理科数学试题及参考答案一、选择题1.定义集合{}B y A x x B A ∈∈=+且.已知集合{}6,4,2=A ，{}1,1-=B ，则B A +中元素的个数为（）A .6B .5C .4D .72.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，则=-OC AB （）A .OAB .ODC .OCD .OB3.抛物线x y 682-=的准线方程为（）A .17-=x B .34=x C .17=x D .34-=x 4.()=-++-+-n23277771 （）A .()87112+--n B .87112--n C .()87112---n D .87122++n 5.函数()()20log log 42+-=x x x f 的零点为（）A .4B .4或5C .5D .4-或56.一个正四棱柱的每个顶点都在球O 的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为10，则球O 的体积为（）A .π16B .332πC .π10D .328π7.现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数（）A .3877A AB .3877C A C .3377A A D .3777A A 8.若354tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则=+-++θθθθ22cos 32sin 21cos 32sin 21（）A .2B .34C .4D .39.若从区间[]5,2-内，任意选取一个实数a ，则曲线23ax x y +=在点()11+a ，处的切线的倾斜角大于45°的概率为（）A .75B .1413C .76D .141110.将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=36sin 2πx y 的图象向左平移⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕϕ个单位长度后得到()x f 的图象.若()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛1819ππ，上单调，则ϕ的值不可能为（）A .365πB .3πC .4πD .3617π11.已知21F F ，分别是双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，直线l 经过1F 且与C 左支交于Q P ，两点，P 在以21F F 为直径的圆上，4:32=PF PQ ：，则C 的离心率是（）A .317B .3172C .3152D .31512.已知69.02ln ≈，设8lg 1027=a ，1.3321.3=b ，33109=c ，则（）A .bc a >>B .ac b >>C .cb a >>D .ca b >>二、填空题13.复数()()32131ii ++的实部为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤43y x ，则y x z 2-=的取值范围为.15.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条棱中任取2条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为.16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：数列{}n a 由被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排列而成，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则nS n 96+的最小值为.三、解答题（一）必考题17.c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边.已知()a C a C A c =-+2cos 1sin sin .（1）求C ；（2）若c 是b a ,的等比中项，且ABC ∆的周长为6，求ABC ∆外接圆的半径.18.某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)12,10，[)1412，，[)16,14，[)18,16，[)20,18分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该产品这一质量指数的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)18,16和[)20,18内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[)20,18内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望.19.如图，在四棱锥ABCD P -中，P A ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，点F 在棱PD 上，且P 与E 位于平面ABCD 的两侧.（1）证明：CE ∥平面P AB（2）若5==AD P A ，2=AB ，3=DE ，且AF 在AD 上的投影为3，求平面ACF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 的左、右顶点分别为B A ,，左焦点为F ，32-=AF ，32+=BF .（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于不同于B 的N M ,两点，且BN BM ⊥，求BN BM ⋅的最大值.21.已知函数()121ln 2---=x x x x x f .（1）求()x f 的单调区间；（2）若函数()()()1ln 12212--+-+=x a x a x x g 恰有两个零点，求正数a 的取值范围.（二）选考题22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是02sin 2cos =+-θρθρ（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点B A ,两点，点()10，P ，求PBP A 11+的值.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()a x x x f -++=1.（1）当2=a 时，求不等式()x x f 2>的解集；（2）若不等式()2≤x f 的解集包含⎦⎤⎢⎣⎡+-9212a ，，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1.C 2.D 解析:AC OC =∴OB AO AB OC AB =-=-.3.C 解析：由题意682=p ，∴34=p ，∴准线方程为172==px .4.A解析：()n23277771-++-+- 表示以1为首项，7-为公比的前12+n 项和，∴()()()()8717171777711n 21n 2232++--=----=-++-+-n.5.C解析：有题意可得：⎩⎨⎧>+>0200x x ，解得0>x ，故()x f 的定义域为()∞+，0，令()()020log log 42=+-=x x x f ，得()()020log log 424>+=x x x ，则202+=x x 解得5=x 或4-=x ，又∵0>x ，∴5=x .6.B解析：设该正四棱柱的地面边长为a ，高为h ，则32=a ，10=h ，解得3=a ，∴该正四棱柱的体对角线为球O 的直径，设球O 的半径为R ，∴42222=++=h a a R ，即2=R ，∴球O 的体积为3322343ππ=⨯.7.A 8.D解析：35tan 11tan 4tantan 14tantan 4tan -=-+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθπθπθπθ，解得，4tan =θ.原式=32tan 2tan cos 2sin cos 2sin cos 4cos sin 4sin cos 4cos sin 4sin 2222=-+=-+=+-++θθθθθθθθθθθθθθ9.B解析：∵ax x y 232+='，∴当1=x 时，32+='a y .由题意可得132>+a 或032<+a ，解得1->a 或23-<a .10.B解析：由题知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ϕπ636sin 2x x f ，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1819ππ，x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛++++∈++ϕππϕππϕπ6326636636，x .∵20πϕ<<，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+310363ππϕπ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈+31132632ππϕπ，，又()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛1819ππ，上单调，∴23632632πϕπϕππ≤+<+≤或256326323πϕπϕππ≤+<+≤或276326325πϕπϕππ≤+<+≤∴ϕ的取值范围是⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎦⎤⎢⎣⎡36173613361136736536ππππππ，，，.11.B解析：如图，由题知，︒=∠902QPF ，∵4:32=PF PQ ：，不妨令3=PQ ，42=PF ，∴52=QF 由双曲线的定义得a PF PF 212=-，a QF QF 212=-，∴+-12PF PF 12QF QF -2PF =a PQ QF 463542=--+=-+，∴23=a ，∴11=PF .∴在21F PF ∆中，1741222221221=+=+=PF PF F F ，即()1722=c ，∴217=c .∴双曲线的离心率为317==a c e .12.D 二、填空题13.7解析：()()()()i i i ii +=-+=++7213121313，故实部为7.14.[]11,11-解析：画出不等式组表示的平面区域如图所示，要求y x z 2-=的取值范围，即求z x y -=21在y 轴上的截距z -的取值范围，数形结合可知当直线z x y -=21过点()43，-A 时在y 轴上的截距最大，即z 最小，过点()43-，B 时在y 轴上的截距最小，即z 最大，∴11423min -=⨯--=z ，()11423max =-⨯-=z ，∴y x z 2-=的取值范围为[]11,11-.15.7316.52解析：由题知数列{}n a 是首项为10，公差为1243=⨯的等差数列，∴()21211210-=-+=n n a n ，()n n n n S n 462212102+=-+=，∴5249662496696=+⋅≥++=+nn n n n S n 当且仅当n n 966=，即4=n 时，等号成立，∴nS n 96+的最小值为52.三、解答题17.解：（1）由题意，根据正弦定理可得()A C A C A sin cos 1sin sin sin 22=-+，∵()π，0∈A ，∴0sin ≠A ，于是可得()1cos 1sin 22=-+C C ，即1cos cos 21sin 22=+-+C C C ，整理得1cos 2=C ，即21cos =C ，∵()π，0∈C ，∴3π=C .（2）∵c 是b a ,的等比中项，∴abc =2∵ABC ∆的周长为6，∴6=++c b a ，即c b a -=+6，由余弦定理可知：3cos2222πab b a c -+=∴()ab ab b a c --+=222，即()ab b a c 322-+=，∴()22236c c c --=解得2=c 或6-=c （舍去），∴ABC ∆外接圆的半径为33223221sin 21=⨯=⨯C c .18.解：（1）∵()5.03.02125.0025.0<=⨯+，5.07.02200.03.0>=⨯+，∴该产品这一质量指数的中位数在[)16,14，内.设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()5.03.02.014=+⨯-m ，解得15=m .（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)18,16内的有8件，这一质量指数在[]20,18内的有4件.由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.()9914041248===C C X P ，()49522414121448===C C C X P ，()1655624122428===C C C X P ，()4953234123418===C C C X P ，()49514141214==C C X P ，X 的分布列为()3449514495323165562495224199140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .19.（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，∴P A ∥DE .∵底面ABCD 为矩形，∴CD AB ∥∵D DE CD =⋂，∴平面CDE ∥平面P AB .又⊂CE 平面CDE ，∴CE ∥平面P AB .（2）以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系，则()000，，A ，()052，，C ，()350-，，E .∵AF 在AD 上的投影为3，∴F 的坐标为()2,3,0.设平面ACF 的法向量为()z y x n ,,=，()052，，=AC ，()230，，=AF ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AF n AC n ，即⎩⎨⎧=+=+023052z y y x 令2=y ，则()32,5--=，n .设平面ACE 的法向量为()z y x m '''=,,，X 01234P991449522416556495324951()052，，=AC ，()350-=，，AE ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF m AC m ，即⎩⎨⎧='-'='+'035052z y y x 令6='y ，则()106,15，-=m.3838338361301275=⨯-+=，20.解：（1）设C 的半焦距为c ，由32-=AF ，32+=BF ，可得32-=-c a ，32+=+c a ，解得2=a ，3=c ，∵1222=-=c a b ，∴C 的方程为1422=+y x .（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，在不妨设直线l 的方程为()2≠+=t t my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+t my x y x 1422，消去x 得：()0424222=-+++t mty y m ，()()044442222>-+-=∆t m t m ，化简得224t m >+，设()11,y x M ，()22,y x N ，则44422221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，，∵BN BM ⊥，∴0=⋅BN BM ，∵()0,2B ，∴()11,2y x BM -=，()22,2y x BN -=，∴()21-x ()22-x 021=+y y ，将t my x +=11，t my x +=22代入上式，得()()()()0221221212=-++-++t y y t m y y m ，∴()()()0242244122222=-++--++-⋅+t m mt t m m t m ，解得56=t 或2=t （舍去）.∴直线l 的方程为56+=my x ，则直线l 恒过点⎪⎭⎫⎝⎛0,56Q ，∴()()()22221221214364252584542121+-+=-+⨯⨯=-=∆m m y y y y y y BQ S BMN .设412+=m p ，则410≤<p ，p p S BMN 25362582+-=∆，已知p p y 25362582+-=在⎥⎦⎤⎝⎛410，上单调递增，∴当41=p 时，BMN S ∆取得最大值2516.又BN BM S BMN ⋅=∆21，∴()()25322max max ==⋅∆BMN S BN BM .21.解：（1）由题意可得()x x x f -='ln ，设()x x x h -=ln ，则()xxx x h -=-='111.由()0>'x h 得10<<x ，由()0<'x h 得1>x ，则()x h 在()1,0上单调递增，在()∞+，1上单调递减，即()x f '在()1,0上单调递增，在()∞+，1上单调递减，从而()()011<-='≤'f x f ，故()x f 的单调递减区间时()∞+，0，无递增区间.（2）有题意可得()()()()xx a x x a x a x x a a x x g 1112122--+=-+-+=-+-+='.①当01<-a ，即1>a 时，由()0>'x g 得1>x ，由()0<'x g 得10<<x ，则()x g 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.∵当0→x 时，()+∞→x g ，当+∞→x 时，()+∞→x g ，∴()x g 要有两个零点，则()012211<--+=a g ，解得25<a ，故251<<a .②当01=-a ，即1=a 时，()1212--=x x x g ，令()0=x g 解得31±=x ，∵0>x ，∴31+=x ∴()x g 有且仅有1个零点，故1=a 不符合题意.③当110<-<a ，即10<<a 时，由()0>'x g 得a x -<<10或1>x ，由()0<'x g 得11<<-x a ，则()x g 在()a -1,0和()∞+，1上单调递增，在()1,1a -上单调递减.∵当0→x 时，()0<x g ，当+∞→x 时，()+∞→x g ，∴()x g 要有两个零点，则()01=g 或()01=-a g .若()012211=--+=a g ，则25=a ，不符合题意若()()()()()()011ln 11212112=---+--+-=-a a a a a a g 设()1,01∈-=a t ，则()01ln 211ln 12122=-+--=-+--+t t t t t t t t t 由（1）可知121ln 2---=t t t t y 在()1,0上单调递减，则0121ln 2<---t t t t ，即()01=-a g 无解，故10<<a 不符合题意.综上，正数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛251，.22.解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11（t 为参数）得422=-y x ，故曲线C 的普通方程为14422=-y x .由02sin 2cos =+-θρθρ得022=+-y x ，故直线l 的直角坐标方程022=+-y x .（2）由题意可知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 551552（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并整理得0255232=--t t ，设B A ,对应的参数分别是21,t t ，则3253522121-==+t t t t ，从而()358310092042122121=+=-+=-t t t t t t ，故25581121212121=-=+=+t t t t t t t t PB P A .23.解：（1）当2=a 时，()21-++=x x x f ，当1-<x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>--+-，解得41<x ，∴1-<x ；当21≤≤-x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>--+，解得23<x ，∴231<≤-x ；当2>x 时，()x x f 2>可化为()()x x x 221>-++，得01>-，不成立，此时无解.综上：不等式()x x f 2>的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<23x x .(2)∵()x x f 2>的解集包含⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-9212a ，，∴当9212+≤≤-a x 时，()x x f 2≤恒成立.当9212+≤≤-a x 时，()x x f 2≤可化为21≤-++a x x ，即x a x -≤-1，即x a x x -≤-≤-11，则112≤≤-a x ，由9212+≤≤-a x 得9521232-≤-≤-a x ，∴9522-≥a a ，解得6531≤≤-a .综上，a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6531，.。
高三数学下学期一模考试试题理含解析试题
2021-2021学年度第二学期高三年级一模考试数学〔理科〕试卷第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，那么RA B =〔 〕A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D.}1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求RAB 得解.【详解】由题得B={x|x ≥2或者x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}RA B =.应选：B【点睛】此题主要考察集合的交集和补集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.假设复数z 满足(1i)|1|z +=+，那么在复平面内z 的一共轭复数对应的点位于〔 〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和z,再求出在复平面内z的一共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iz ii i-===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的一共轭复数对应的点为〔1,1〕，在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模和复数的除法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3. 某单位一共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A. 25B.35C.2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组一共有人,这六人中抽取两人的根本领件一共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，根本领件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，应选B ．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2021年第一季度五GDP 情况图，那么以下陈述中不正确的选项是〔 〕A. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是.B. 与去年同期相比，2021年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，根据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有均第一；均第四，一共2个.故D 错误. 应选D.点睛：此题考察条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 那么||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 25+C. 45+D.122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+d ≥〔d 为点2F 到渐近线0x =的间隔1=〕，即1PF PQ +的最小值为122+；应选D.点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔 问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔 合理转化到另一个焦点间的间隔 .6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐〕二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB 〔 〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，那么(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成〔锐)二面角为6π， 22||cos6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．应选：B ．【点睛】此题考察角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．7.函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如下图，那么aω可取〔 〕A. 2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，应选B ．点睛：此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围．8.?九章算术?中描绘的“羡除〞是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，那么该羡除的体积为〔 〕A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的间隔 为4d =，,AD BC 间的间隔 为3.如以下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，那么棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.应选A.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规那么几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,那么c b b c +的最大值是〔 〕A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高〞容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )， ∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时获得最大值4，应选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵敏转化边和角之间的关系，利用根本不等式或者函数方法求最值. 在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设12>0x x ，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔 〕A.6π B.3π C. 2πD.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 应选：D【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，那么ABC ∆的边长是〔 〕 A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||2MC AB =，1||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||1cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ， 所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)2y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 应选：C ．【点睛】此题考察抛物线的方程与性质，考察抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是12.设函数()(1x g x e x a =+--〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．假设存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，那么实数a 的取值范围为〔 〕A. ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D.⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥ 所以a的取值范围为2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，应选D. 【点睛】此题主要考察函数与方程的综合问题，难度较大.第二卷〔一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】【分析】先画出可行域，利用目的函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A 〔12,1 2〕，由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】此题考察了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义．110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，那么2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22222sin 2cos 22cos 2sin cos 22cos 222αααααα=++=+-2222sin cos 22cos 2sin cos 2ααααα+=-+22tan 2220tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间间隔 ，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率〞，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，那么 “曲率〞(,)3A B ϕ>；③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率〞(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，假设·(,)1t A B ϕ<恒成立，那么实数t 的取值范围是(,1)-∞。
2022年山西省高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省高考数学一模试卷（理科）1.已知集合，，则( )A.B. C.D.2.设复数z 满足，则( )A. B.C. 0或D. 0或3.设，，则的最大值是( )A. 1B. C.D. 24.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是( )A.B.C.D.5.已知命题p ：，；命题q ：，在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是( )A. B.C.D.6.展开式中的常数项是( )A. B. C.D.7.设，，，则a 、b 、c 的大小关系是( )A.B.C.D.8.“三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，合称“五音”．已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是( )A. 徵、商、羽、角 B. 徵、羽、商、角C. 商、角、徵、羽D. 角、羽、商、徵9.已知数列的前n 项和，将该数列排成一个数阵如右图，其中第n 行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是( )A. 263B. 1052C. 528D. 105110.过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是( )A. B. C. D.11.如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE 折起到的位置，使，如图②．若F是的中点，则四面体FCDE的外接球体积是( )A. B. C. D.12.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.13.曲线在处的切线方程是______.14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，则关于x的方程有实根的概率是______.15.已知数列中，，，，数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______.16.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是______.17.如图，圆内接四边形ABCD中，，，求AC；求面积的最大值．18.在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，证明：平面MBC；设，求二面角的余弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A、B分别是C的左、右顶点．求C的方程；已知过点的直线交C于M，N两点异于点试证直线MA与直线NB交点在定直线上．20.已知函数当时，证明：在定义域上是增函数；记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．参考数据：，21.甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．求甲夺得冠军的概率；比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．22.在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．求圆C的极坐标方程；若，求23.已知函数当时，求不等式的解集；若恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：设，，，即，即，解得或，故或故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，所以，，当时，取得最大值为，所以的最大值是故选：根据平面向量的坐标运算和三角函数求值运算，即可求出答案．本题考查了平面向量的坐标运算和三角函数求值运算问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：所以，，，；故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个面的面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的各个面的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以命题p为真命题；因为，所以在定义域上是增函数．所以命题q为真命题．所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．故选：构造函数，运用函数单调性可证明成立；根据对数函数单调性可判断命题本题考查命题真假判断及导数应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故选：求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，因为，所以，，可得，所以因为，所以，即，所以故选：利用函数在上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．8.【答案】A【解析】解：由题设，若宫的弦长为a，则其它四音对应弦长依次为，，，，因为音高与弦长是成反比，所以四音的音高关系为，又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角．故选：设宫的弦长为a，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得到答案．本题考查简单的合情推理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：数列的前n项和为，，时，，时，上式成立，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，如图，由该数阵前7行有：…项，该数阵第9行从左向右第8个数字为故选：求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，由该数阵前7行有：…项，得到该数阵第9行从左向右第8个数字为，由此能求出结果．本题考查数阵第9行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意可知，渐近线方程，，直线BF的方程为，令得，点，联立方程，解得，，，，，，故选：根据题意求出直线BF的方程，进而求出点A，B的坐标，根据可求出的值，从而用表示出离心率．本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设球的坐标为，由，，可得：，解得：，从而球的半径，球的体积故选：由题意首先求得球的半径，然后利用体积公式计算其体积即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：函数在上恰有3个零点，由，且，可得，所以，且，或，且，解得，或，故选：由x的范围求得的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得，且，或，且，解不等式可得所求取值范围．本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，得，又，曲线在处的切线方程为，即故答案为：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.【答案】【解析】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，基本事件总数，关于x的方程有实根，，时，不成立，时，成立，时，b可以取1，2，3，时，b可以取1，2，3，4，时，b可以取1，2，3，4，5，6，时，b可以取1，2，3，4，5，6，满足条件的基本事件个数，关于x的方程有实根的概率是故答案为：根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及列举法，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，考查列举法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由得，则有，化简得，即，所以，所以，所以不等式恒成立，则有故答案为：先根据累积法求得，再用裂项相消法求得，最后根据不等式恒成立可求解．本题考查了累积法求通项和裂项相消求和，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图所示，延长交于点N，连接因为的外角平分线是PQ，且，所以，因为，所以，因为，，，所以点Q的轨迹为以点O为圆心2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为由题得抛物线的焦点坐标为，准线方程为所以，所以，因为所以所以的最小值是故答案为：延长交于点N，连接OQ，求出点Q的轨迹方程为，证明，即得解．本题考查了椭圆、抛物线的定义及性质，也考查了转化思想和数形结合思想，难点在于确定Q点的轨迹，属于中档题．17.【答案】解：在中，由正弦定理得，即，所以因为四边形ABCD内接于圆，故，设，，在中，由余弦定理得：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最大值是【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由题意在中由正弦定理即可求解AC的值．设，，在中，由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．18.【答案】证明：取CD中点E，连接AE，NE，则，，四边形ABCE为平行四边形，所以又平面MBC，平面MBC，所以平面由，，则四边形ABED为平行四边形，所以，又，，所以，所以四边形MBEN为平行四边形．所以又平面MBC，平面MBC，所以平面因为，平面ANE，平面所以平面平面因为平面ANE，所以平面MBC因为平面平面ABCD，，所以平面因为，，，所以以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系则，，，所以，平面BCD的一个法向量为，设平面MBC的法向量为则，令，得，所以二面角的余弦值为【解析】取CD中点E，连接AE，NE，推出得到平面推出，，然后证明推出平面得到平面平面证明平面以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系求出平面MBC的法向量，平面BCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．19.【答案】解：且，；证明：设过点G的直线为：，，，联立，消元整理得，，，，，因为，，所以直线AM的斜率为，故直线AM的方程为，①同理可得直线NB的方程为，②整理得，，即，由，即，所以，即，解得，所以直线MA与直线NB交点在定直线上．【解析】根据条件列出关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，从而求得椭圆的方程；设过点G的直线为：，，，联立直线与椭圆可得韦达定理，分别表示出直线AM，NB的方程，由两个方程可得，结合M，N在直线上以及韦达定理可得两直线交点所在直线．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于中档题．20.【答案】解：证明：由题设，且定义域为，因为，则，当且仅当时等号成立，而，所以时有，故在上是增函数．由题设，，则且定义域为，因为在内没有极值点，即或，所以或在上恒成立，令，则，当时；当时，令，则，，所以在上递增，而，所以在上，故在上递增，而，综上，在上，即，所以，在上，即单调递增，则，故或，即a的取值范围为【解析】对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论．对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．21.【答案】解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”．显然，，记事件“甲夺得冠军”，则设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或则，故记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”．由题意知、比赛前盒内有6颗新球，比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，，若发生，则比赛2局后，盒内有4 颗新球，2颗旧球，此时若，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球．即于是，故X的分布列为：X 3 4 5P故X的数学期望【解析】记事件：“甲在第i局比赛中获胜”，，事件：“甲在第i局比赛中末胜”．，记事件A：“甲夺得冠军“，分析事件A包含的情况，直接求概率；的可能取值：3，4，分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点，的直角坐标为，的直角坐标为，圆的半径为，圆的直角方程为，将，代入，得：，圆C的极坐标方程为将代入中，得，设，分别为A，B对应的极径，则，，，则，即，结合，解得，【解析】写出点C，M的直角坐标，求出圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可求出答案．将代入圆的极坐标方程，利用根与系数的关系求出，，再结合，求出，的值，由此能求出结果．本题考查圆的极坐标方程、正弦函数值、余弦函数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：当时，，所以不等式等价于或，解得：或所以不等式的解集为或因为，由恒成立，得所以或，解得或所以a的取值范围为【解析】当时，去绝对值符号，化为分段函数，再分段解不等式可得其解集；依题意，得恒成立，解之即可．本题考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
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河南省开封市 —高三第一次模拟考试
数 学 试 题（理）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答 题卡上，在本试卷上答题无效。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差
锥体体积公式
])()()[(1
22221x x x x x x n
S n -++-+-=
Sh V 3
1=
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
Sh V =
323
4
,4R V R S ππ==
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
） 1．若2
2
2
{|},{2},P P y y x Q x y ===+=则Q= （ ）
A ．[0
B ．{1111}（,）,(-,)
C ．
D ．[
2．已知i 为虚数单位，复数121i
z i
+=-，则复数z 在复平面上的对应点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a =
（ ）
A ．38()2
n
B ．28()3
n
C ．138()2n -
D ．128()3
n -
4．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都平行于γ；
②存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l ，m ，使得l//α，l //β，m//α，m//β； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知命题：1
:1,1,p x q p x
≤<→命题q:则是成立
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．给出30个数2，3，5，8，12，17，…，要计算这30个数 的和，该问题的程序框图如图：则框图中判断框①和执行框 ②应是 （ ） A ．30;1i p p i ≤=+- B ．31;1i p p i ≤=++ C ．30;i p p i ≤=+
D ．31;i p p i ≤=+
7．函数2
()sin cos 3cos 3f x x x x =+-的图象的一个对称中心
是 （ ）
A ．23(,)32π-
B ．3(
,)62
π5- C ．2
3(,
)3
2
π-
D ．(
,3)3
π
-
8．连续掷两次骰子分别得到的点数为m ，n ，则点P （m ，n ）在直线5x y +=左下方的概率为
（ ）
A ．
16
B ．
14 C ．112 D ．19
9．已知a 是函数12
()2log x f x x =-的零点，若000,x a <<则f(x )的值满足
（ ）
A ．0()0f x =
B ．0()0f x >
C ．0()0f x <
D ．0()f x 的符号不能确定
10．某校为了解高三学生在寒假期间的学习情况，抽查了
100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率
分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为（）A．50 B．45 C．40 D．30
11．过双曲线
2 2
2
:1(0)
y
M x b
b
-=>的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的渐近线分别交于B、C两点，且AB BC
=，则双曲线的离心率是（）A．10B．5C．
15
2
D．
10
3
12．如图，动点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，
过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面交
于M、N，设BP=x，MN=y，则函数()
y f x
=的图象大致
是（）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，将答案填写在答题卷指定位置）
13．函数3
y x y x
==
和的图象所围成的图形的面积为。
14．已知一几何体的三视图如下，则该几何体外接球的表面积为。
15．已知不等式组
y x
y x
x a
≤
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≤
⎩
，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则2
z x y
=+的最大值为。
16．已知函数1
1,()221()21,(1),21,(1)x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪
⎪
=-<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
若数列{}n a 满足
*112006*********
,(),,3
n n a a f a n N a a a +==∈++则= 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）
如图：山顶上有一塔，为了测量塔高，测量人员在山脚下A 点处测得塔底C 的仰角为60︒，
移动am 后到达B 点，又测得塔底C 点的仰角为30︒，测得塔尖D 点的仰角为45︒，求塔高CD 。
18．（本题满分12分）
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，
可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋为一等奖，奖金2元，落入B 袋
为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1.2
（I ）求摇奖两次均获得一等奖的概率；
（II ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望； （III ）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好
消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。
19．（本题满分12分）
如图所示的空间几何体，平面ACD ⊥平面ABC ，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60︒.且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上。
（I ）求证：DE//平面ABC ；
（II ）求二面角E —BC —A 的余弦； （III ）求多面体ABCDE 的体积。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上项点为B 1，右、右焦点为F 1、F 2，112B F F ∆是面
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）已知00(,)P x y 是以线段F 1F 2为直径的圆上一点，且000,0x y >>，求过P 点与该圆相切
的直线l 的方程；
（III ）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，设1212,AF F BF F ∆∆的重心分别为G 、H ，请问原点O 在
以线段GH 为直径的圆内吗？若在请说明理由。
21．（本题满分12分） 已知函数2
1()ln (0)2
f x x ax bx a =-
+>且f'(1)=0, （I ）试用含a 的式子表示b ，并求函数()f x 的单调区间；
（II ）已知112212(,),(,)(0)A x y B x y x x <<为函数()f x 图象上不同两点，00(,)G x y 为AB 的中
点，记A 、B 两点连线的斜率为k ，证明：0'().f x k ≠
请理科考生在22、23题任选一道作答。
22．（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图：AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，CA 是BAF ∠的角平分线，过点C
作CD ⊥AF ，交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为M ，求证： （I ）DC 是⊙O 的切线； （II ）MB=DF 。
23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|7||3|.f x x x =--- （I ）作出函数()f x 的图象；
（II ）当5x <时，不等式|8|||2x x a --->恒成立，求a 的取值范围。
参考答案。