最新浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)
浙江省绍兴市高考数学一模试卷
高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集U={-1，0，1，2}，P={x|x2-2x=0}，则∁U P=（）A. {-1，1}B. {0，2}C. {-1，2}D. {-1，0，2}2.已知i为虚数单位，则=（）A. -1B. 1C. -1+iD. 1+i3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x5.函数y=（x3-x）ln|x|的图象是（）A. B.C. D.6.已知数列{a n}是等比数列，则“a5a6＜a42”是“0＜q＜1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（5≥n＞m≥1，p≥4），从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则（）A. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）B. E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）C. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）D. E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）8.如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则的取值范围是（）A.B.C. [-5，0]D. [-5，-1]9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB=AC=AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，当|B1M|最小时，∠AMB=（）A. B. C. D.10.已知数列{a n}满足：a1=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S100＜100，则f（x）不可能是（）A. f（x）=x2B. f（x）=x+-2C. f（x）=e x-x-1D. f（x）=ln x+x+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.我国古代数学家贾宪使用了抽象分析法，在解决勾股问题时，他提出了“勾股生变十三图”．十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、股弦较（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、弦和和（c+（a+b））等等．如图，勾（a）、股（b）、弦（c）中，已知a+b=7，a+c=8，则c-b=______，c+（a+b）=______．12.若x，y满足约束条件则y的最大值为______．此约束条件所表示的平面区域的面积为______．13.已知多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0=______，a1=______．14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，b=c，且△ABC的面积是，则b=______，sin C=______．15.有甲乙丙三项任务，甲乙各需一人承担，丙需2人承担且至少一个是男生，现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是______．（用数字作答）16.函数f（x）=若a＞0＞b，且f（a）=f（b），则f（a+b）的取值范围是______．17.如图，M（1，0），P，Q是椭圆=1的点（Q在第一象限），且直线PM，QM的斜率互为相反数，设=2，则直线QM的斜率为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点，且与x轴两个相邻交点的距离为π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求sinθ的值．19.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且PA=AB=2，AD=3，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥平面ADF；（Ⅱ）若直线DE与平面ADF所成角为30°，求CE的长．20.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列．数列{b n}满足：b1+b2+…+b n=2n+1-2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令数列{c n}的前n项和为T n，且c n=，若对n∈N*，T2n≥T2k 恒成立，求正整数k的值；21.直线l：x-ty+1=0和抛物线C：y2=4x相交于不同两点A，B．（Ⅰ）求实数t的取值范围；（Ⅱ）设AB的中点为M，抛物线C的焦点为F．以MF为直径的圆与直线l相交另一点为N，且满足，求直线l的方程．22.已知函数f（x）=2ln（ax+b），其中a，b∈R．（Ⅰ）若直线y=x是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值．（Ⅱ）设b=1，若方程f（x）=a2x2+（a2+2a）x+a+1有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（ln≈0.223）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U={-1，0，1，2}，P={x|x2-2x=0}={0，2}，则∁U P={-1，1}．故选：A．化简集合P，根据补集的定义写出∁U P．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示；且底面圆的半径为2，高为2；所以该锥体的体积为：V=•π•22•2=．故选：C．根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求得该锥体的体积．本题考查了根据三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解∵取一个焦点坐标为（0，），渐近线方程为：y=±x，∵焦点到渐近线的距离为1，∴=b=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选：D．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号进行排除是解决本题的关键．【解答】解：f（-x）=-（x3-x）ln|x|=-f（x），函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，函数的定义域为{x|x≠0}，由f（x）=0，得（x3-x）ln|x|=0，即（x2-1）ln|x|=0，即x=±1，即函数f（x）有两个零点，排除D，f（2）=6ln2＞0，排除A，故选C．6.【答案】B【解析】解：已知数列{a n}是等比数列，由a5a6＜a42，可得：a42q3＜a42，即q3＜1，所以q＜1且q≠0，又”q＜1且q≠0“是“0＜q＜1”的必要不充分条件，所以“a5a6＜a42”是“0＜q＜1”的必要不充分条件，故选：B．由等比数列的通项公式得：a5a6＜a42，由不等式的解法得：a42q3＜a42，即q3＜1，所以q＜1且q≠0，由充分必要条件得：”q＜1且q≠0“是“0＜q＜1”的必要不充分条件，得解．本题考查了等比数列的通项公式及不等式的解法，充分必要条件，属中档题7.【答案】D【解析】解：设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P（ξ1=0）=0.9，P（ξ1=1）=0.1，∴E（ξ1）=0×0.9+1×0.1=0.1，D（ξ1）=（0-0.1）2×0.9+（1-0.1）2×0.1=0.09，ξ2的可能取值为0或1，P（ξ2=0）=0.5，P（ξ2=1）=0.5，∴E（ξ2）=0×0.5+1×0.5=0.5，D（ξ1）=（0-0.5）2×0.5+（1-0.5）2×0.5=0.25，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：D．设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球（每个球取到的机会均等），设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，P（ξ1=0）=0.9，P（ξ1=1）=0.1，由此求出E（ξ1）=0.1，D（ξ1）=0.09；ξ2的可能取值为0或1，P（ξ2=0）=0.5，P（ξ2=1）=0.5，E（ξ2）=0.5，D（ξ1）=0.25，由此能求出E（ξ1）＜E （ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．本题考查两个离散型随机变量的数学期望、方差的大小的比较，考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：以O为坐标原点建立如图坐标系则P，Q在以O为圆心的单位圆上，设P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），又A（-1，-1），C（1，1）∴=（cosα+1，sinα+1），=（cosβ-1，sinβ-1）∴=（cosα+1）•（cosβ-1）+（sinα+1）•（sinβ-1）=cosαcosβ+cosβ-cosα-1+sinαsinβ+sinβ-sinα-1=（cosαcosβ+sinαsinβ）+（sinβ+cosβ）-（sinα+cosα）-2=cos（α-β）+sin（β+）--2当cos（α-β）=-1且sin（β+）=-1且sin（α+）=1时，则有最小值，此时α-β=（2k+1）π且β=π+2kπ且α=+2kπ，（k∈Z）∴能取到最小值-3-2，夹角范围是[90°，180]，故有最大值0，故选：A．通过图形可以看出夹角范围是[90°，180]，故有最大值0，最小值可以转化为三角函数利用三角函数的有界性处理．本题主要考查了向量的夹角与向量数量积的关系，向量的坐标运算，三角恒等变换等知识，用到了转化思想，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量角的大小的求法，考查二面角，以及知二面角求未知边长的值.考查运算求解能力，是中档题．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出∠AMB的大小．【解答】解：如图所示：以A为原点，AB为x轴正方向，AC为y轴正方向，AA1为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设CN=b，BM=a，AB=AC=AA1=1，则N（0，1，b），M（1，0，a），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）,=（1，0，a），=（0，1，b），设平面AMN的法向量=（x，y，z），，取z=1，得=（-a，-b，1），因为,∴，故平面ABC的法向量可为=（0，0，1），∵平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为，∴cos===，化简得3a2+3b2=1，∴当最小时，BM(a)最大，此时b=0，BM=a=，∴tan∠AMB===，∴∠AMB=．故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】A．f（x）=x2，∴，可得：ln a n+1=2ln a n，可得数列{ln a n}是等比数列，首项为-ln2，公比为2．S100＜0＜100．B．f（x）=x+-2，可得a n+1=a n+-2，可得a2==，以此类推可得：a n=，可得：S100=50．C．f（x）=e x-x-1，f′（x）=e x-1，x＜0时，单调递减．a1=，n∈N*，可得a2=--1∈（0.1，0.2），……，可得S100＜100．D．f（x）=ln x+x+1，在（0，+∞）上单调递增，a1=，n∈N*，通过计算可得a2∈（0.8，0.9），a3＞1.55，以此类推可得S100＞100．本题考查了数列递推关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】解：A．f（x）=x2，∴，可得：ln a n+1=2ln a n，∴数列{ln a n}是等比数列，首项为-ln2，公比为2．S100==-（2100-1）ln2＜0＜100．B．f（x）=x+-2，∴a n+1=a n+-2，可得a2==，以此类推可得：a n=，可得：S100==50＜100．C．f（x）=e x-x-1，f′（x）=e x-1，x＜0时，单调递减．a1=，n∈N*，则a2=--1∈（0.1，0.2），a3=-a2-1∈（0.1，0.2），……，可得S100＜100．D．f（x）=ln x+x+1，在（0，+∞）上单调递增，a1=，n∈N*，则a2=-ln2++1∈（0.8，0.9），a3=ln a2+a2+1≥a2+2-＞1.55，以此类推可得S100＞100．因此不满足S100＜100．故选C．11.【答案】1 12【解析】解：∵a+b=7，a+c=8，又a2+b2=c2∴∴a=8解可得，a=3，b=4，c=5∴c-b=1，c+（a+b）=12故答案为：1，12由a+b=7，a+c=8，结合a2+b2=c2，联立方程可求a，b，进而可求．本题主要考查了三角形中的基本运算，属于基础试题．12.【答案】【解析】解：根据题意，若x，y满足约束条件其表示的可行域为如图四边形ABCO及其内部，其中B（-，），A（-2，0），C（0，1），则y的最大值为，S四边形OABC=S△ABC+S△AOC=，故答案为：，．根据题意，作出不等式组表示的可行域，求出交点的坐标，据此分析可得答案．本题考查线性规划的应用，注意x、y满足的可行域，属于基础题．13.【答案】31 75【解析】解：对于多项式（x+2）5=（x+1）5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=0，可得32=1+a0，则a0=31．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，中x的系数，为•16-=75，故答案为：31；75．在所给的等式中，令x=0，可得a0的值．a1即展开式（x+2）5-（x+1）5=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，x的系数，为•16-，计算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．14.【答案】【解析】解：∵cos A=，∴sin A==，∵b=c，且△ABC的面积是，∴S△ABC=，∴，∴c=，b=，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A=2=，∴a==c，∴sin C=sin A=，故答案为：，．由已知结合同角平方关系可求sin A，然后结合S△ABC=可求b，c，然后余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A可求a，c，进而可求．本题主要考查了同角平方关系，三角形的面积公式，正弦定理等知识的简单应用，属于基础试题．15.【答案】144【解析】【分析】本题考查分类分步计数原理，以及排列组合的综合应用，关键是分类，属于基础题．由题意，分两类，若丙选择一名男生一名女生，若丙选择两名男生，根据分类计数原理即可求出．【解答】解：若丙选择一名男生一名女生，甲乙任意选，故有C31C31A42=108种，若丙选择两名男生，甲乙任意选，故有C32A42=36种，根据分步计数原理可得共有108+36=144种，故答案为：144．16.【答案】[-1，+∞）【解析】解：设f（a）=f（b）=t，作出f（x）的图象，由图象知，t≥0，由f（a）=a2=t，得a=，由f（b）=-2b-3=t，得b=，则a+b=+=-t+-=-（t-2）-=-（-1）2-1，∵t≥0，∴≥0，则m=-（-1）2-1≤-1，即m=a+b≤-1，此时f（a+b）=f（m）=-2m-3≥2-3=-1，即f（a+b）的取值范围是[-1，+∞），故答案为：[-1，+∞）设f（a）=f（b）=t，用t表示a，b，然后计算a+b的范围，再次代入分段函数进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，根据函数值相等，设出相同变量t，并表示出a，b，求出a+b的范围是解决本题的关键．17.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.延长QM交椭圆于N点，则根据对称性，,所以,即.设出直线方程，把椭圆方程和直线方程联立，求出N,Q点的纵坐标，建立方程并解方程，即可得到答案.【解答】解：如图：延长QM交椭圆于N点，则根据对称性，,所以,即. 设直线MQ的方程为x=my+1,与椭圆方程联立，消去x得，解得,则由，代入整理得：,解得(舍去负值)，所以k==.故答案为.18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），与x轴两个相邻交点的距离为=•=π，解得ω=1；∵其图象经过点，∴cos（+φ）=-，解得φ=，∴函数f（x）=cos（x+）=-sin x．（Ⅱ）若=-sin（θ+），∴sin（θ+）=，当2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，即-+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z时，cos（θ+）=，sinθ=sin[（θ+）-]=sin（θ+）cos-cos（θ+）sin=×-×=；当+2kπ＜θ+＜π+2kπ，k∈Z，即+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z时，cos（θ+）=-，sinθ=sin[（θ+）-]=sin（θ+）cos-cos（θ+）sin=×+×=；综上，sinθ=或．【解析】（Ⅰ）根据题意求得函数的周期T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（Ⅱ）根据函数解析式求得sin（θ+）的值，再利用sinθ=sin[（θ+）-]求出三角函数值．本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，∵PA=AB，∴AM⊥PB，∵AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，且AD∩AM=A，∴PB⊥平面ADF．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PB⊥平面AMND，在平面PBC内作EH∥PB，交MN于H，则EH⊥平面AMND，连结DH，则∠EDH是直线DE与平面ADF所成角，∵直线DE与平面ADF所成角为30°，∴∠EDH=30°，∵PA=AB=2，∴PB=2，∴EH=BM=，∵sin30°=，∴ED=2，∴EC2=ED2-CD2=4，∴EC=2．∴CE的长为2．【解析】（Ⅰ）取PB，PC的中点分别为M，N，连结AM，MN，ND，推导出AM⊥PB，AD⊥PB，由此能证明PB⊥平面ADF．（Ⅱ）推导出PB⊥平面AMND，在平面PBC内作EH∥PB，交MN于H，则EH⊥平面AMND，连结DH，则∠EDH是直线DE与平面ADF所成角，从而∠EDH=30°，由此能求出CE的长．本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列，可得a1（a23+1）=（a5+1）2，即a1（a1+44+1）=（a1+9）2，解得a1=3，即a n=3+2（n-1）=2n+1；数列{b n}满足：b1+b2+…+b n=2n+1-2，可得b1=2，b n=2n+1-2-2n+2=2n，（n≥2），对n=1也成立，则b n=2n，n∈N*；（Ⅱ）T2n=[++…+]-（++…+）=（-+-+…+-）-=-+（-），T2n+2-T2n=（--+）=（-）=（1-），设d n=，d n+1-d n=-=＜0，可得d n为递减数列，且d1，d2，d3＞1，d4＜1，…，可得T4-T2＜0，T6-T4＜0，T8-T6＜0，T10-T8＞0，…，则{T2n}中T8取得最小值，T2n≥T2k恒成立，可得k=4．【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的裂项相消求和，考查数列的单调性和不等式恒成立问题解法，属于较难题．（Ⅰ）由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项，可得a n=2n+1；再由数列递推式可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）运用裂项相消求和和等比数列的求和公式，可得T2n，判断单调性，结合不等式恒成立问题解法，可得k的值．21.【答案】解：（Ⅰ）由，消去x得y2-4ty+4=0，△=（-4t）2-16＞0，解得t＜1或t＞1，故t的范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），（Ⅱ）等价于|MN|=2|NF|，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则y1+y2=4t，x1+x2=4t2-2，∴x0==2t2-1，y0==2t，即M（2t2-1，2t），又直线FN：y=-tx+t，与x-ty+1=0联立，解得N（，），∴|MN|2=（（-2t2+1）2+（-2t）2=[]2+（）2，==，又|NF|2=，则由|MN|=2|NF|，得=，解得t=±．∴直线l的方程为x±y+1=0．【解析】（Ⅰ）根据判别式即可求出t的范围，（Ⅱ）等价于|MN|=2|NF|，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理，点与点的距离，即可求出．本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，距离的计算，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）设直线y=x和y=f（x）相切于点P（x0，2ln（ax0+b）），∵f′（x）=，则f′（x0）==1，故ax0+b=2a（a＞0），又P在切线y=x上，故2ln（ax0+b）=x0，故x0=2ln（ax0+b）=2ln2a，b=2a-ax0=2a-2a ln2a，故ab=2a2-2a2ln2a（a＞0），设g（a）=2a2-2a2ln2a（a＞0），则由g′（a）=2a（1-2ln2a）＞0，解得：0＜a＜，故g（a）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故g（a）max=g（）=，故ab的最大值是；（Ⅱ）原方程即为2ln（ax+1）=（ax+1）2+a（ax+1），设ax+1=t，则上述方程等价于2ln t=t2+at（t＞0），设p（t）=2ln t-t2-at（t＞0），则函数p（t）要有2个不同的零点，∵p′（t）=-2t-a在（0，+∞）递减，且p′（t）=0在（0，+∞）上存在唯一实根t0，即p′（t0）=0，即at0=2-2，故当t∈（0，t0）时，p′（t）＞0，当t∈（t0，+∞）时，p′（t）＜0，故p（t）在（0，t0）递增，在（t0，+∞）递减，若a＞0，则t0∈（0，1），p（t）≤p（t0）=2ln t0--（2-2）=2ln t0+-2＜0，不合题意，舍，若a＜0，则t0∈（1，+∞），当t∈（0，1）时，则p（t）=2ln t-t2-at＜2ln t+|a|，取t1=，则p（t1）＜0，当t∈（1，+∞）时，则p（t）=2ln t-t2-at＜2（t-1）-t2-at＜-t2+（2-a）t，取t2=2+|a|，则p（t2）＜0，由此t1＜t0＜t2，且p（t1）＜0，p（t2）＜0，要使函数p（t）=2ln t-t2-at（t＞0）有2个不同的零点，则只需p（t0）=2ln t0--at0＞0，故只需p（（t0）=2ln t0--（2-2）=+2ln t0-2＞0，∵p（（t0）=+2ln t0-2是关于t0的增函数，且p（1）=-1＜0，p（）=2ln-＞0，故存在m∈（1，）使得p（m）=0，故当t0＞m时，p（t0）＞0，∵a=-2t0是关于t0的减函数，故a=-2t0＜-2m，又-2m∈（-，0），故a的最大整数值是-1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合切线方程得到ab=2a2-2a2ln2a（a＞0），设g（a）=2a2-2a2ln2a（a＞0），根据函数的单调性求出函数的最大值即可；（Ⅱ）问题等价于2ln t=t2+at（t＞0），设p（t）=2ln t-t2-at（t＞0），根据函数的单调性求出a的最大整数值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
浙江省绍兴市重点中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
浙江省绍兴市重点中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．104D 5 2．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设复数z ＝213i i -+，则|z |＝（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．224．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===30.866≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．23π 5．直线20(0)ax by ab ab +=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切6．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．3⎛ ⎝⎭C ．5⎛ ⎝⎭D ．6⎛ ⎝⎭8．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A 2 B ．12C ．3log 2-D ．3log 2 9．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）A 2B ．98C ．1D ．7810．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥11．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >- B ．{}22x x -<< C ．{}22x x -≤< D ．{}2x x <12．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x xxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ）A ．85[,)52B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题含解析
浙江省绍兴市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 3．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③ B ．③④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用. 4．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B 【解析】 【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为07．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2k k Z πϕπ=+∈，解得,42k k Z ππϕ=+∈， 因为02πϕ≤≤，当0k =时，4πϕ=，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V 为定值，A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 3212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-， 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C 【解析】 【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+，联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A ．12B．3CD．2【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A B ．7C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =，sin 0A >Q ，3sin B B ∴=，得tan B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得b ===由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绍兴市高三数学一模试卷
绍兴市高三数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(2)的值是（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值是（）A. 13B. 15C. 17D. 193. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，求A∩B的值是（）A. {1, 2}B. {3}C. {4, 5}D. ∅4. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标是（）A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 4)5. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a·向量b的值是（）A. -25B. -7C. 25D. 76. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的值是（）A. 3x^2 - 6x + 2B. 3x^2 - 6x + 1C. 3x^2 - 9x + 2D. 3x^2 - 9x + 17. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)的值是（）A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)8. 已知等比数列{b_n}的首项b_1 = 2，公比q = 3，求b_4的值是（）A. 54B. 81C. 162D. 4869. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模|z|的值是（）A. 5B. √41C. √49D. √5310. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标是（）A. (-3/2, 0)B. (-1.5, 0)C. (0, 3)D. (3, 0)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值是______。
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷及答案解析(23页)
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷数学试题一、选择题.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．23．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1二、填空题（共7小题）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为，值域为．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝，|z|＝．13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有种不同分配方案．（用具体数字作答）16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，则（∁R A）∩B＝（）A．∅B．{1}C．R D．（1，+∞）【分析】进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x≥1}，∴∁R A＝{x|x≤1}，（∁R A）∩B＝{1}．故选：B．2．双曲线﹣y2＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．1B．C．D．2【分析】根据双曲线的方程求出啊、焦点坐标和渐近线，利用点到直线的距离公式进行求解即可．解：双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，a2＝3，b2＝1，c2＝a2+b2＝3+1＝4，即C＝2，设一个焦点F（2，0），渐近线方程为x+y＝0，则焦点F到其渐近线的距离d＝＝，故选：A．3．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．4B．8C．D．【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S＝22＝4，高为h＝＝；所以该四棱锥的体积是V＝Sh＝×4×＝．故选：C．4．若实数x，y满足不等式组，则x﹣3y（）A．有最大值﹣2，最小值﹣B．有最大值，最小值2C．有最大值2，无最小值D．有最小值﹣2，无最大值【分析】画出不等式组表示的平面区域，设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设z＝x﹣3y，则直线x﹣3y﹣z＝0是一组平行线；当直线过点A时，z有最大值，由，得A（2，0）；所以z的最大值为x﹣3y＝2﹣0＝2，且z无最小值．故选：C．5．在△ABC中，已知A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】A＝，则“sin A＞sin B”，利用正弦定理可得：a＞b，A＞B，B＜，C为钝角．反之不成立．可能B是钝角．解：A＝，则“sin A＞sin B”，由正弦定理可得：a＞b⇔B＜，C为钝角，⇒“△ABC是钝角三角形”，反之不成立．可能B是钝角．∴A＝，则“sin A＞sin B”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．6．已知a＞0，且a≠1，若log a2＞1，则y＝x﹣的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据对数不等式求出a的范围，然后利用特殊值验证找出图象．解：∵log a2＞1，∴a＞1．结合图象f（1）＝1﹣a＜0，故排除B，C．又∵f（﹣1）＝﹣1﹣a＜0，故排除A．D选项满足．故选：D．7．已知x1，x2，x3∈R，x1＜x2＜x3，设y1＝，y2＝，y3＝，z1＝，z2＝，z3＝，若随机变量X，Y，Z满足：P（X＝x i）＝P（Y＝y i）＝P（Z ＝z i）＝（i＝1，2，3），则（）A．D（X）＜D（Y）＜D（Z）B．D（X）＞D（Y）＞D（Z）C．D（X）＜D（Z）＜D（Y）D．D（X）＞D（Z）＞D（Y）【分析】计算可得E（X）＝E（Y），进而得到D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），解：E（X）＝，E（Y）＝（++）＝＝E（X），，，距E（Y），x1，x2，x3较近，所以D（X）＞D（Y），同理D（Y）＞D（Z），故D（X）＞D（Y）＞D（Z），故选：B．8．如图，三棱锥V﹣ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，则α+β不可能是（）A．B．C．D．【分析】由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB 与直线AC所成角为α，二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈（，π），则α+β不可能是，答案可求．解：如图，由题意，三棱锥V﹣ABC为正三棱锥，过P作PE∥AC，则∠BPE为直线PB与直线AC所成角为α，当P无限靠近A时，∠PBE无限接近，但小于，则∠BPE＝∠BEP＝α＞．当棱锥的侧棱无限长，P无限靠近V时，α无限趋于但小于；二面角P﹣AC﹣B的平面角为β，即V﹣AC﹣B的平面角为β，由三棱锥存在，得β＞0，随着棱长无限增大，β无限趋于．∴α+β∈（，π）．则α+β不可能是．故选：D．9．如图，一系列椭圆∁n：+＝1（n∈N*），射线y＝x（x≥0）与椭圆∁n交于点P n，设a n＝|P n P n+1|，则数列{a n}是（）A．递增数列B．递减数列C．先递减后递增数列D．先递增后递减数列【分析】取射线y＝x的参数方程，利用参数t的几何意义表示出a n，然后作差法判断其单调性．解：设y＝x的参数方程，代入+＝1（n∈N*）整理得，∴，∴a n＝t n+1﹣t n＝要判断上式增大还是减小，只需研究的值增大或减小即可．将上式通分得＝＝，显然随着n的增大，a n的逐渐减小．故该数列是递减数列．故选：B．10．设a∈R，若x∈[1，e]时恒有（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a（其中e＝2.71828……为自然对数的底数），则恒有零点的是（）A．y＝x2+ax+1B．y＝ax2+3x+1C．y＝e x+a﹣1D．y＝e x﹣a+1【分析】原式变形可得，构造，可得（e﹣1）lnt ≤t﹣1，再构造，利用导数可知，满足g（t）≤0的t∈（0，1]∪[e，+∞），结合x∈[1，e]，可知，由此再逐项判断即可得出结论．解：（e﹣1）x•ln（x+）≤x2﹣x+a等价于，令，则（e﹣1）lnt≤t﹣1，令，则，令g′（t）＝0，解得t＝e，∴函数g（t）在（0，e﹣1）单调递增，在（e﹣1，+∞）单调递减，注意到g（1）＝g （e）＝0，作函数g（t）的图象如下，由图可知，g（t）≤0的解集为t∈（0，1]∪[e，+∞），当t∈（0，1]时，，则，此时无解；当t∈[e，+∞）时，，则，对A，取时，y＞0恒成立，不合题意；对B、C，取a→+∞时，y＞0恒成立，不合题意；对D，事实上，，必有a﹣1＞0，因此y＝e x﹣a+1必有零点．故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．函数f（x）＝﹣3sin（πx+2）的最小正周期为2，值域为[﹣3，3]．【分析】利用周期计算公式和y＝sin x的值域直接计算即可．解：由题意最小正周期．因为sin（πx+2）∈[﹣1，1]，所以﹣3sin（πx+2）∈[﹣3，3]，故值域为[﹣3，3]．故答案为：2，[﹣3，3]．12．已知i为虚数单位，复数z满足＝1﹣2i，则z＝3﹣2i，|z|＝．【分析】利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．解：∵＝1﹣2i，∴z+i＝（1﹣2i）（1+i）＝3﹣i．∴z＝3﹣2i．．故答案为：3﹣2i，13．已知（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，则a6＝0，|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝665．【分析】根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x＝1即可求解．解：因为（1+x）6﹣（2+x）6＝a0+a1x+a2x2+……+a5x5+a6x6，令x＝1可得：a0+a1+a2+……+a5+a6＝26﹣36＝﹣665．所以：a6＝﹣＝0；∵a0＝﹣26＝﹣63；a1＝﹣25＝﹣186；a2x2+＝﹣24＝﹣225；……a5＝﹣2＝﹣6；a6＝﹣20•＝0；故|a0|+|a1|+|a2|+……+|a5|+|a6|＝﹣a0﹣a1﹣a2﹣……﹣a5﹣a6＝665．故答案为：0，665．14．已知函数f（x）＝，若f（﹣1）＝f（1），则实数a＝1﹣；若y＝f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为[﹣1，0）．【分析】（1）根据题意列出关于a的方程即可；（2）在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．解：（1）∵f（﹣1）＝f（1），∴2﹣1＝log2（1﹣a），∴，∴．（2）易知x＜0时，f（x）＝2x∈（0，1）；又x≥0时，f（x）＝log2（x﹣a）递增，故f（x）≥f（0）＝log2（﹣a），要使函数f（x）存在最小值，只需，解得：﹣1≤a＜0．故答案为：1﹣，[﹣1，0）．15．某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有324种不同分配方案．（用具体数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，将9人分成3组，有A33×种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C42C42种，则有A33×﹣C42C42＝90﹣36＝54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A33＝6种情况，则有54×6＝324种不同的分配方案；故答案为：324．16．已知平面向量，，，，满足||＝||＝||＝1，•＝0，|﹣|＝|•|，则•的取值范围为．【分析】根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．【解答】解；由题，设．∵|﹣|＝|•|，∴（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝sin2θ．①．．根据①中圆的几何意义，•的取值范围即：，∴•的取值范围为[]．故答案为：．17．已知a，b∈R，设函数f（x）＝2|sin x+a|+|cos2x+sin x+b|的最大值为G（a，b），则G （a，b）的最小值为．【分析】换元t＝sin x∈[﹣1，1]，可知G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b ﹣1|}，分G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|及G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G（a，b）的最小值．解：设t＝sin x∈[﹣1，1]，则f（x）＝2|sin x+a|+|1﹣2sin2x+sin x+b|＝|2t+2a|+|﹣2t2+t+b+1|＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，∴G（a，b）＝max{|﹣2t2+3t+2a+b+1|，|2t2+t+2a﹣b﹣1|}，当G（a，b）＝|﹣2t2+3t+2a+b+1|时，令g（t）＝﹣2t2+3t+2a+b+1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；当G（a，b）＝|2t2+t+2a﹣b﹣1|时，令h（t）＝2t2+t+2a﹣b﹣1，t∈[﹣1，1]，则此时，故＝，由a，b∈R可知，等号能成立；综上，G（a，b）的最小值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝1，＝．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理求得A的正切值，即可求得结论；（Ⅱ）由余弦定理求得边c，进而求得其面积．解：（Ⅰ）∵＝⇒a sin B＝cos A，∵＝⇒a sin B＝b sin A；∵b＝1；所以：cos A＝sin A⇒tan A＝⇒A＝．（三角形内角）（Ⅱ）因为a2＝b2+c﹣22bc cos A⇒c2﹣c﹣3＝0⇒c＝；（负值舍）；∴S△ABC＝bc sin A＝．19．如图，四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE是正方形，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝1，AE＝．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）求直线AD与平面BCDE所成角的正弦值．【分析】（I）由BC⊥AB，BC⊥BE，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．（II）过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．可得•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．z＞0，解得E．由＝＝（﹣，0，）．得D坐标．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：，利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵BC⊥AB，BC⊥BE，AB∩BE＝B，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE．（II）解：过点B作平面ABC的垂线Bz，则BA，BC，Bz两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A（，0，0），C（0，1，0），设E（x，y，z）．则•＝0，|BE|＝1，|EA|＝．可得：y＝0，x2+z2＝1，+z2＝7．z＞0，解得E（﹣，0，）．由＝＝（﹣，0，）．得D（﹣，1，）．∴＝（﹣，1，）．设平面BCDE的法向量为：＝（a，b，c），则•＝•＝0，可得：﹣x+z＝0＝y，可得：＝（1，0，）．∴cos＜，＞＝＝﹣．∴直线AD与平面BCDE所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+ ++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．【分析】（Ⅰ）由递推公式可以求出通项公式a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）采用缩放的方法证明当n＝1和n≥2时成立，采用缩放的方法证明．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝2q，a3＝2q2，a4＝2q3，由a2，a3+2，a4成等差数列，得2（a3+2）＝a2+a4，即2（2q2+2）＝2q+2q3，即（q﹣1）（q2+1）＝0，解得q＝2，所以a n＝2n．当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，b1+++…+＝，b1+++…+＝，作差得＝n，所以，b n＝n（n≥2），当n＝1时，b1＝1×＝1也成立，所以b n＝n，综上，a n＝2n，b n＝n．（Ⅱ）因为当n≥2时，＝＜＝，所以，+++…+＜++…+，设T n＝++…+，则T n＝++…+，两式相减得，T n＝+（+…+）﹣＝+﹣＝+（1﹣）﹣＝﹣，所以T n＝﹣，所以T n＜．所以+++……+＜．21．如图，已知点O（0，0），E（2，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为线段OE中点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E的直线交抛物线C于A，B两点，＝4，过点A作抛物线C的切线l，N为切线l上的点，且MN⊥y轴，求△ABN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知得焦点F（1，0），所以p＝2，从而求出抛物线C的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），与抛物线方程联立，利用△＝0求得，所以直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，求得点M的坐标，进而求出点N的坐标，所以S△ABN＝设直线AB的方程为：x＝my+2，与抛物线方程联立，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），利用韦达定理代入S△ABN，利用基本不等式即可求出△ABN面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知得焦点F的坐标为（1，0），∴p＝2，∴抛物线C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为：x＝my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，∴△＝16m2+32＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，设直线l方程为：y﹣y1＝k（x﹣x1），联立方程，消去x得：，由相切得：，∴，又，∴，∴，∴，∴直线l的方程为：2x﹣y1y+2x1＝0，由＝4，得，，将代入直线l方程，解得＝，所以S△ABN＝＝＝＝＝，又，所以，当且仅当时，取到等号，所以△ABN面积的最小值为4．22．已知函数f（x）＝（x+1）e x﹣ax2（x＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：+﹣＞1．（其中t0为f（x）的极小值点）【分析】（Ⅰ）先求其导函数，转化为f′（x）≥0，即求g（x）＝•e x﹣2a的最小值即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合第一问的结论得f（x）不单调，故a＞；设f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，可得原函数的单调性，把问题转化为f（t0）＜0，即可求解结论．（ⅱ）转化为先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．再把原结论成立转化为证x1+x2＜2t0；构造函数r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x）一步步推其成立即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝（x+1）e x﹣ax2，得f′（x）＝x（e x﹣2a），设g（x）＝•e x，（x＞0）；则g′（x）＝；由g′（x）≥0，解得x﹣1，所以g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f′（x）≥0，所以2a≤g（）＝（2+）•e；所以，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．（Ⅱ）（i）因为函数f（x）有两个不同的零点，f（x）不单调，所以a＞．因此f′（x）＝0有两个根，设为t1，t0，且0＜t1t0，所以f（x）在（0，t1）上单调递增，在（t1，t0）上单调递减，在（t0，+∞）上单调递增；又f（t1）＞f（0）＝1，f（x）＝（x+1）e x﹣ax2＝a（e x﹣x2）+（x+1﹣a）•e x，当x 充分大时，f（x）取值为正，因此要使得f（x）有两个不同的零点，则必须有f（t0）＜0，即（t0+1）e﹣a•t02＜0；又因为f′（t0）＝（t0+2）e﹣2at0＝0；所以：（t0+2）e﹣•（t0+2）e＜0，解得t0，所以a＞g（）＝•e；因此当函数f（x）有两个不同的零点时，实数a的取值范围是（•e，+∞）．（ⅱ）先证明不等式，若x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，则＜＜．证明：不妨设x2＞x1＞0，即证＜ln＜，设t＝＞1．g（t）＝lnt﹣，h（t）＝lnt﹣，只需证g（t）＜0且h（t）＞0；因为g′（t）＝﹣＜0，h′（t）＝＞0，所以g（t）在（1，+∞）上单调递减，h（t）在（1，+∞）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝0，h（t）＞h（1）＝0，从而不等式得证．再证原命题+﹣＞1．由得；所以＝，两边取对数得：2（lnx2﹣lnx1）﹣[ln（x2+1）﹣ln （x1+1）]＝x2﹣x1；即﹣＝1．因为﹣＜﹣，所以1+＜＜+，因此，要证+﹣＞1．只需证x1+x2＜2t0；因为f（x）在（t0，+∞）上单调递增，0＜x1＜t0＜x2，所以只需证f（x2）＜f（2t0﹣x2），只需证f（x1）＜f（2t0﹣x1），即证f（t0+x）＜f（t0﹣x），其中x∈（﹣t0，0）；设r（x）＝f（t0+x）﹣f（t0﹣x），﹣t0＜x＜0，只需证r（x）＜0；计算得r′（x）＝（x+t0+2）e+（﹣x+t0+2）e﹣4at0；r″（x）＝e[（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）]．由y＝（x+t0+3）e2x+（x﹣t0﹣3）在（﹣t0，0）上单调递增，得y＜（t0+3）e0+（0﹣t0﹣3）＝0，所以r″（x）＜0；即r′（x）在（﹣t0，0）上单调递减，所以：r′（x）＞r′（0）＝2f′（t0）＝0；即r（x）在（﹣t0，0）上单调递增，所以r（x）＜r（0）＝0成立，即原命题得证．。
2024年4月浙江省绍兴一模数学
2024年4月浙江省绍兴一模 数学一、单选题1．在4-，1-，0，1这四个数中，比2-小的数是（ ） A ．4-B ．−1C ．0D ．12．如图是生活中常用的“空心卷纸”，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ） A ．22423a a a += B ．623a a a ÷= C ．()222a b a b -=-D ．()333ab a b =4．平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ，则AO 不可能．．．是ABD △的（ ） A ．中线B ．高线C ．中位线D ．角平分线5．为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．566．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了x 个，苦果买了y 个，根据题意，可列方程组是（ ） A ．100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ B ．100097999114x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ C ．9991141000x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．999971000x y x y +=⎧⎨+=⎩7．学习了“三角形中位线定理”后，在“ABC V 中，D ，E 分别是边,AB AC 上的点”这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：①若D 是AB 的中点，DE BC ∥，则E 是AC 的中点． ②若D 是AB 的中点，12DE BC =，则E 是AC 的中点． ③若DE BC ∥，12DE BC =，则D ，E 分别是,AB AC 的中点． 其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．如图，正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒．将四边形EBCF 沿EF 折叠得到四边形EB C F ''，且点B '恰好在AD 边上，连结EC '，则EC '的长是（ ）A ．4BC ．D9．开口向下的抛物线21y ax bx =++经过点()2,0，则下列关系式可能成立的是（ ） A ．40a b +=B ．30a b +=C ．20a b +=D ．0a b +=10．如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC >．分别以ABC V 三边为底边向外作等腰直角三角形ABD BCF CAE ，，，连结DF EF ，．若D EF V 与ABC V 面积比为52：，则tan ABC ∠的值是（ ）A B C D ．35二、填空题11．因式分解：x 2y ﹣y =．12．在平面直角坐标系中，将点()3,2P --水平向右平移a 个单位后落在第四象限内，则a 的值可以是．（写出一个即可） 13．不等式1212x x ->-的解集是． 14．如图，AB 是⊙O 的切线，点B 为切点，作AC AB ⊥交AB 于点A ，AC 交⊙O 于C ，D 两点，若3AB =，9AC =，则⊙O 的半径长是．15．如图，在平面直角坐标系中，点(1,1)A ，(1,5)B ，动点C 在线段AB 上（不与端点重合），点B 绕点C 顺时针旋转90︒得到点D ，若点D 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则k 的取值范围是．16．某班40名同学按学号1，2，3，…，40顺次顺时针方向围坐成一圈做游戏：从某个同学开始，沿顺时针方向，按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下39人，第一轮结束；接着从退出游戏的后一个同学开始继续沿顺时针方向按1，2，3，…依次报数，报到数字40的同学退出游戏，剩下38人，第二轮结束；……，按这种方式，在第五轮中，恰好学号18的同学退出游戏，则第一轮第一位报数同学的学号是．三、解答题17．（1）计算：()212024π2tan 452-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭．（2）解方程：33215x x +=-． 18．为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．(1)求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．(2)该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？ 19．图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆AB ，BC ，CD ，DA 的长度均为20cm ，螺杆AC 与水平地面平行．(1)当30DAC ∠=︒时，求千斤顶顶部到水平地面的距离BD 的长．(2)当DAC ∠由30︒变为40︒时，千斤顶顶部到水平地面的距离BD 的长将增加多少？（结果精确到0.1cm ．参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈ 1.73≈） 20．图1，图2，图3均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺．．．．．．，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．(1)在图1中找一个格点P ，连结BP ，使45ABP ∠=︒． (2)在图2中找两个格点P ，Q ，连结PQ ，使直线PQ AB ⊥．(3)在图3中找两个格点P ，Q ，连结PQ 交线段AB 于点C ，使3AC BC =．21．学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系，他想进一步探究“某个弹簧伸长的长度．．．．．y （cm ）与它所受到的拉力x （N ）（06x ≤≤）之间的关系”，于是采用了如图装置进行探究．实验中，他观察到当拉力为2N 时，弹簧长度为6cm ，同时还收集到了如下数据：(1)在受到的拉力为0N 时，弹簧的长度是多少？(2)求弹簧伸长的长度y 关于它所受到的拉力x 的函数表达式． (3)当弹簧的长度为10cm 时，求弹簧受到的拉力x 的值．22．【探究发现】如图1，ABC V 中，点D E ，分别在边AB AC ，上，DE BC ∥，M 为DE 中点，连结AM 并延长交BC 于点N ，求证：BN CN =．【拓展应用】如图2，四边形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD ，交于N 点，E F ，分别是边AB AD ，上的点，EF BD ∥交AC 于点M ，若23AD BC ==，，求EMMF的值． 【综合提升】如图3，平行四边形ABCD 中，460AB ABC =∠=︒，，动点E 在边AB 上，过E 作EF BD ∥交AC 于点F ，过F 作FG EF ⊥交BC 于点G ，连结EG ，求EG 的最小值．23．已知()11,A x y ，()22,B x y ，123,2x x C y +⎛⎫⎪⎝⎭，点A 与点B 不重合．(1)若点A ，B ，C 都在函数2y x =的图象上，计算1232y yy +-的值．(2)若点A ，B ，C 都在函数22y x =的图象上，求证：12302y y y +->． (3)若点A ，B ，C 都在函数k y x =（0x >，常数0k ≠）的图象上，判断122y y +与3y 的大小关系，并说明理由．24．如图，AC 是O e 的直径，弦BD 交AC 于点E ，»»2BCCD =，连结AB ，AD ．(1)如图1，若50D ∠=︒，求CAD ∠的度数．(2)如图2，点N 在弦AD 上，作MN AD ⊥，MN 分别交弦AB ，AC 于点M ，P ，=MN BE ，过B 作BF MN ∥交AC 于点F ． ①求证：BF MN =．②如图3，连接ME ，若4BM =，ME =AP ，PE 的长．。
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷(有答案解析)
2020年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x>1}，B={x|x≥1}，则(∁R A)∩B=()A. ⌀B. {1}C. RD. (1,+∞)2.双曲线x23−y2=1的焦点到渐近线距为()A. √32B. 1C. √3D. 23.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是()A. 4√3B. 8C. 4√33D. 834.若实数x，y满足不等式组{y≥0x−2y≤22x−y≥2，则x−3y()A. 有最大值−2，最小值−83B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值−2，无最大值5.在△ABC中，已知A=π4，则“sinA>sinB”是“△ABC是钝角三角形”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知a>0，且a≠1，若log a2>1，则y=x−a|x|的图象可能是()A. B.C. D.7.已知x1，x2，x3∈R，x1<x2<x3，设y1=x1+x22，y2=x2+x32，y3=x3+x12，z1=y1+y22，z2=y2+y32，z3=y3+y12，若随机变量X，Y，Z满足：P(X=x i)=P(Y=y i)=P(Z=z i)=13(i=1,2，3)，则()A. D(X)<D(Y)<D(Z)B. D(X)>D(Y)>D(Z)C. D(X)<D(Z)<D(Y)D. D(X)>D(Z)>D(Y)8.如图，三棱锥V−ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P−AC−B的平面角为β，则α+β不可能是()A. 3π4B. 2π3C. π2D. π39.如图，一系列椭圆C n：x2n+1+y2n=1(n∈N∗)，射线y=x(x≥0)与椭圆C n交于点P n，设a n=|P n P n+1|，则数列{a n}是()A. 递增数列B. 递减数列C. 先递减后递增数列D. 先递增后递减数列10.设a∈R，若x∈[1,e]时恒有(e−1)x⋅ln(x+ax)≤x2−x+a(其中e=2.71828……为自然对数的底数)，则恒有零点的是()A. y=x2+ax+1B. y=ax2+3x+1C. y=e x+a−1D. y=e x−a+1二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 函数f(x)=−3sin(πx +2)的最小正周期为______，值域为______． 12. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z+i1+i =1−2i ，则z =______，|z|=______．13. 已知(1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯…+a 5x 5+a 6x 6，则a 6=______，|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯…+|a 5|+|a 6|=______． 14. 已知函数f(x)={2x ,x <0log 2(x −a),x ≥0，若f(−1)=f (1)，则实数a =______；若y =f(x)存在最小值，则实数a 的取值范围为______． 15. 某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案．(用具体数字作答)16. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，d ⃗ ，满足|a |=|b ⃗ |=|c |=1，a ⋅b ⃗ =0，|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，则a ⋅d的取值范围为______．17. 已知a ，b ∈R ，设函数f(x)=2|sinx +a|+|cos2x +sinx +b|的最大值为G(a,b)，则G(a,b)的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b =1，acosA=√3sinB ． (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)若a =2，求△ABC 的面积．19. 如图，四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 是正方形，∠ABC =90°，AC =2，BC =1，AE =√7． (Ⅰ)求证：BC ⊥AE ；(Ⅱ)求直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值．20. 已知数列{a n }是等比数列，a 1=2，且a 2，a 3+2，a 4成等差数列．数列{b n }满足：b 1+b 2√2+b3√3+⋯…+b n √n=n 2+n 2(n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)求证：b 1−1a 1+2√2⋅a +3√3⋅a +⋯…+n √n⋅a <32．21. 如图，已知点O(0,0)，E(2,0)，抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 为线段OE 中点．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点E 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN ⊥y 轴，求△ABN 面积的最小值．22. 已知函数f(x)=(x +1)e x −ax 2(x >0)．(Ⅰ)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若函数f(x)有两个不同的零点x 1，x 2， (ⅰ)求实数a 的取值范围；(ⅰ)求证：1x 1+1x 2−1t0+1>1.(其中t 0为f(x)的极小值点)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A={x|x>1}，B={x|x≥1}，∴∁R A={x|x≤1}，(∁R A)∩B={1}．故选：B．进行交集和补集的运算即可．本题考查了交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：双曲线x23−y21的渐近线y=±√33x，则焦点到渐近线的距离=|√33×2|1+(√33)2=2√332√33=1，一个点F(2,0)，近线方程为√33x+=0，选：B根据双曲线的方程求出啊、坐和近，点到直线的距离公式进行解即可．本题考查双曲线的性质，根据双线的定义求出焦坐渐近线方程以点到直线的距离公式是解决题的关键．3.答案：C解析：解：根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为S=22=4，高为ℎ=√22−12=√3；所以该四棱锥的体积是V=13Sℎ=13×4×√3=4√33．故选：C．根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2；求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4.答案：C解析：解：画出不等式组{y ≥0x −2y ≤22x −y ≥2表示的平面区域，如图阴影所示；设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线； 当直线过点A 时，z 有最大值，由{y =0x −2y =2，得A(2,0)；所以z 的最大值为x −3y =2−0=2，且z 无最小值． 故选：C ．画出不等式组表示的平面区域，设z =x −3y ，则直线x −3y −z =0是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 5.答案：A解析：解：A =π4，则“sinA >sinB ”，由正弦定理可得：a >b ⇔B <π4，C 为钝角，⇒“△ABC 是钝角三角形”，反之不成立．可能B 是钝角．∴A =π4，则“sinA >sinB ”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A ．A =π4，则“sinA >sinB ”，利用正弦定理可得：a >b ，A >B ，B <π4，C 为钝角．反之不成立．可能B 是钝角．本题考查了解三角形、正弦定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于一般题． 6.答案：D解析：【分析】本题考查对数函数的性质、函数的图象的确定，属基础题．先根据对数不等式求出a 的范围，然后利用特殊值验证找出图象． 【解答】解：∵log a 2>1， ∴a >1．结合图象f(1)=1−a <0，故排除B ，C ． 又∵f(−1)=−1−a <0，故排除A ．D 选项满足． 故选：D ． 7.答案：B解析：解：E(X)=13(x 1+x 2+x 3)， E(Y)=13(x 1+x 22+x 2+x 32+x 3+x 12)=13(x 1+x 2+x 3)=E(X)，x 1+x 22，x 2+x 32，x 3+x 12距E(Y)，x 1，x 2，x 3较近，所以D(X)>D(Y)， 同理D(Y)>D(Z)，故D ( X )>D(Y )>D(Z )， 故选：B ．计算可得E(X)=E(Y)，进而得到D(X)>D(Y)，同理D(Y)>D(Z)， 本题考查离散型随机变量的期望与方差的关系，属于中档题． 8.答案：D解析：解：如图，由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥， 过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，当P 无限靠近A 时，∠PBE 无限接近π3，但小于π3，则∠BPE =∠BEP =α>π3． 当棱锥的侧棱无限长，P 无限靠近V 时，α无限趋于π2但小于π2； 二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β， 由三棱锥存在，得β>0，随着棱长无限增大，β无限趋于π2． ∴α+β∈(π3,π)．则α+β不可能是π3．故选：D ．由题意，三棱锥V −ABC 为正三棱锥，过P 作PE//AC ，则∠BPE 为直线PB 与直线AC 所成角为α，二面角P −AC −B 的平面角为β，即V −AC −B 的平面角为β，然后利用运动思想分析两角的范围，可得α+β∈(π3,π)，则α+β不可能是π3，答案可求．本题考查空间中异面直线所成角与二面角，考查空间想象能力与思维能力，训练了“极限思想”的应用，是中档题． 9.答案：B解析：解：设y =x 的参数方程{x =√22t y =√22t (t >0)，代入x 2n+1+y 2n =1(n ∈N ∗)整理得 t =√2n(n+1)2n+1，∴t n+1=√2(n+1)(n+2)2n+3，∴a n =t n+1−t n =√2(n +1)(n +2)2n +3−√2n(n +1)2n +1要判断上式增大还是减小，只需研究2(n+1)(n+2)2n+3−2n(n+1)2n+1的值增大或减小即可．将上式通分得2(n+1)[(n+2)(2n+1)−n(2n+3)](2n+3)(2n+1)=4n 2+8n+44n 2+8n+3=1+14n 2+8n+3，显然随着n 的增大，a n 的逐渐减小． 故该数列是递减数列．故选：B ．取射线y =x 的参数方程{x =√22ty =√22t(t >0)，利用参数t 的几何意义表示出a n ，然后作差法判断其单调性．本题考查了数列与圆锥曲线的综合问题，同时考查了数列的函数特征，属于中档题． 10.答案：D解析：解：(e −1)x ⋅ln (x +ax )≤x 2−x +a 等价于(e −1)ln (x +ax )≤x +ax −1， 令t =x +ax >0，则(e −1)lnt ≤t −1，令g(t)=lnt −t−1e−1(t >0)，则g′(t)=1t −1e−1，令g′(t)=0，解得t =e ，∴函数g(t)在(0,e −1)单调递增，在(e −1,+∞)单调递减，注意到g(1)=g(e)=0， 作函数g(t)的图象如下，由图可知，g(t)≤0的解集为t ∈(0,1]∪[e,+∞)，当t ∈(0,1]时，0<x +ax ≤1，则{0<1+a ≤10<e +a e≤1，此时无解；当t ∈[e,+∞)时，x +ax ≥e ，则a ≥e24，对A ，取a ∈[e 24,2)时，y >0恒成立，不合题意；对B 、C ，取a →+∞时，y >0恒成立，不合题意；对D ，事实上，a ∈[e 24,+∞)，必有a −1>0，因此y =e x −a +1必有零点．故选：D．原式变形可得(e−1)ln(x+ax )≤x+ax−1，构造t=x+ax>0，可得(e−1)lnt≤t−1，再构造g(t)=lnt−t−1e−1(t>0)，利用导数可知，满足g(t)≤0的t∈(0,1]∪[e,+∞)，结合x∈[1,e]，可知a≥e24，由此再逐项判断即可得出结论．本题考查函数与导数的综合运用，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化简变形能力及运算能力，属于较难题目．11.答案：2 [−3,3]解析：解：由题意最小正周期T=2ππ=2．因为sin(πx+2)∈[−1,1]，所以−3sin(πx+2)∈[−3,3]，故值域为[−3,3]．故答案为：2，[−3,3]．利用周期计算公式和y=sinx的值域直接计算即可．本题考查了正弦型三角函数的周期、值域的求法，属于基础题．12.答案：3−2i√13解析：解：∵z+i1+i=1−2i，∴z+i=(1−2i)(1+i)=3−i．∴z=3−2i．|z|=√32+(−2)2=√13．故答案为：3−2i，√13利用复数的加减法、乘法公式、复数模的计算公式直接计算即可．本题主要考查了复数的加减法、乘法运算以及模的计算公式．属于基础题．13.答案：0 665解析：解：因为(1+x)6−(2+x)6=a0+a1x+a2x2+⋯…+a5x5+a6x6，令x=1可得：a0+a1+a2+⋯…+a5+a6=26−36=−665．所以：a6=∁66−∁66=0；∵a0=∁60−26⋅∁60=−63；a1=∁61−25∁61=−186；a2x2+=∁62−24∁62=−225；……a5=∁65−2⋅∁65=−6；a6=∁66−20⋅∁66=0；故|a0|+|a1|+|a2|+⋯…+|a5|+|a6|=−a0−a1−a2−⋯…−a5−a6=665．故答案为：0，665．根据其特点可知a6为x6的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令x=1即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.答案：1−√2 [−1,0)解析：解：(1)∵f(−1)=f (1)， ∴2−1=log 2(1−a)， ∴1−a =212，∴a =1−√2．(2)易知x <0时，f(x)=2x ∈(0,1)；又x ≥0时，f(x)=log 2(x −a)递增，故f(x)≥f(0)=log 2(−a)， 要使函数f(x)存在最小值，只需{−a >0log 2(−a)≤0，解得：−1≤a <0．故答案为：1−√2，[−1,0)．(1)根据题意列出关于a 的方程即可；(2)在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于基础题．15.答案：324解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性， 将9人分成3组，有A 33×C 62C 42C 22A 33种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有C 42C 42种，则有A 33×C 62C 42C 22A 33−C 42C 42=90−36=54种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有A 33=6种情况，则有54×6=324种不同的分配方案； 故答案为：324．根据题意，分2步进行分析：①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，②，将分好的三组全排列，对应三个值班地点，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意先分好组，再进行排列，属于基础题． 16.答案：[−√2,√2]解析：解；由题，设a =(1,0),b ⃗ =(0,1),c =(cosθ,sinθ),d=(x,y)． ∵|c −d |=|b ⃗ ⋅c |，∴(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=sin 2θ.①． 又∵a⋅d =x ． 根据①中圆的几何意义，a ⋅d 的取值范围即：cosθ+sinθ=√2sin (θ+π4)， ∴a ⋅d的取值范围为[−√2,√2]. 故答案为：[−√2,√2]．根据已知条件，假设各向量的坐标表示，通过转换成三角函数的范围来求解．本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算，考查了学生转化的思想以及分析问题，解决问题的能力，属于中档难度题目．17.答案：4916解析：【分析】本题考查绝对值函数最大值中的最小值求解，考查分类讨论思想及转化思想，充分理解绝对值的几何意义，并掌握|a|+|b|=max{|a +b|,|a −b|}是解题的关键，属于较难题目．换元t =sinx ∈[−1,1]，可知G(a,b =max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， 分G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|及G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|讨论，利用绝对值的几何意义两点控制可求得对应的最小值，进而求得G(a,b)的最小值．【解答】 解：设t =sinx ∈[−1,1]，则f(x)=2|sinx +a|+|1−2sin 2x +sinx +b|=|2t +2a|+|−2t 2+t +b +1|=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|,|2t 2+t +2a −b −1|}， ∴G(a,b)=max{|−2t 2+3t +2a +b +1|，|2t 2+t +2a −b −1|}，当G(a,b)=|−2t 2+3t +2a +b +1|时，令g(t)=−2t 2+3t +2a +b +1，t ∈[−1,1]，则此时g(t)max =g(−34),g(t)min =g(−1)， 故G(a,b)=|g(t)|≥|g(−1)|+|g(34)|2=|2a+b−4|+|2a+b+178|2≥|−4−178|2=4916，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；当G(a,b)=|2t 2+t +2a −b −1|时，令ℎ(t)=2t 2+t +2a −b −1，t ∈[−1,1]，则此时ℎ(t)min =ℎ(−14),ℎ(t)max =ℎ(1)， 故G(a,b)=|ℎ(t)|≥|ℎ(−14)|+|ℎ(1)|2=|2a−b−98|+|2a−b+2|2≥|−98−2|2=2516，由a ，b ∈R 可知，等号能成立；综上，G(a,b)的最小值为4916． 故答案为：4916．18.答案：解：(Ⅰ)∵a cosA =√3sinB ⇒asinB =√3cosA ，∵a sinA=b sinB⇒asinB =bsinA ；∵b =1；所以：√3cosA =sinA ⇒tanA =√3⇒A =π3.(三角形内角) (Ⅱ)因为a 2=b 2+c−22bccosA ⇒c 2−c −3=0⇒c =1+√132；(负值舍)；∴S △ABC =12bcsinA =√3+√398．解析：(Ⅰ)由已知结合正弦定理求得A 的正切值，即可求得结论； (Ⅱ)由余弦定理求得边c ，进而求得其面积．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，是对基本知识的综合考查．19.答案：(I)证明：∵BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，AB ∩BE =B ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ．(II)解：过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).则BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，|BE|=1，|EA|=√7.可得：y =0，x 2+z 2=1，(x −√3)2+z 2=7．z >0，解得E(−√32,0，12).由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D(−√32,1，12).∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√32，1，12). 设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：−√32x +12z =0=y ， 可得：n⃗ =(1,0，√3). ∴cos <AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√32×2√2=−√68． ∴直线AD 与平面BCDE 所成角的正弦值为√68．解析：(I)由BC ⊥AB ，BC ⊥BE ，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．(II)过点B 作平面ABC 的垂线Bz ，则BA ，BC ，Bz 两两相互垂直．建立空间直角坐标系．可得：A(√3,0，0)，C(0,1，0)，设E(x,y ，z).可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， |BE|=1，|EA|=√7.z >0，解得E.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,0，12).得D 坐标．设平面BCDE 的法向量为：n ⃗ =(a,b ，c)，则n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得：n ⃗ ，利用向量夹角公式即可得出． 本题考查了线面垂直的判定定理与性质定理、法向量的性质及其应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2=2q ，a 3=2q 2，a 4=2q 3， 由a 2，a 3+2，a 4成等差数列，得2(a 3+2)=a 2+a 4，即2(2q 2+2)=2q +2q 3，即(q −1)(q 2+1)=0，解得q =2，所以a n =2n ． 当n =1时，b 1=1，当n ≥2时，b 1+2√2+3√3+⋯+n √n=n 2+n 2，b 1+2√2+3√3+⋯+n√n−1=(n−1)2+(n−1)2，作差得n√ n =n ，所以，b n =n √n(n ≥2)，当n =1时，b 1=1×√1=1也成立，所以b n =n √n ，综上，a n =2n ，b n =n √n ． (Ⅱ)因为当n ≥2时，n √na =√n−1√n×2n<√n √n×2n =n 2n，所以，b 1−1a 1+b 2−1√2a +b 3−1√3a +⋯+b n −1√ na <222+323+⋯+n2 n ，设T n =222+323+⋯+n2 n ，则12T n =223+324+⋯+n2n+1，两式相减得，12T n=222+(123+⋯+12n )−n 2n+1=12+123(1−12n−1)1−12−n 2n+1=12+14(1−12n−2)−n 2n+1=34−n+22n+1，所以T n =32−n+22n+1，所以T n <32．所以b 1−1a 1+2√2⋅a 3√3⋅a +⋯…n √n⋅a <32．解析：(Ⅰ)由递推公式可以求出通项公式a n =2n ，b n =n √n ．(Ⅱ)采用缩放的方法证明当n =1和n ≥2时成立，采用缩放的方法证明． 本题考查根据递推公式求出数列前几项进而求出通项公式，还有根据缩放的方法证明不等式成立．属于较难题．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得焦点F 的坐标为(1,0)， ∴p =2，∴抛物线C 的方程为：y 2=4x ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，联立方程{x =my +2y 2=4x ，消去x 得：y 2−4my −8=0，∴△=16m 2+32>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，联立方程{y −y 1=k(x −x 1)y 2=4x ，消去x 得：y 2−4k y +4k y 1−4x 1=0，由相切得：△=16k 2−4(4k y 1−4x 1)=0，∴1k 2−1k y 1+x 1=0， 又x 1=y 124，∴1k 2−1k y 1+y 124=0，∴(1k −y 12)2=0，∴k =2y 1，∴直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0， 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=3x 1+x 24，y 0=3y 1+y 24， 将y 0=3y 1+y 24代入直线l 方程，解得x N =y 12+y 1y 28=y 12−88，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|=12|3x 1+x 24−y 12−88|×|y 1−y 2| =|y 12+y 22+1632|×|y 1−y 2|=|y 1−y 2|332=|y 1+8y 1|332，又|y 1+8y 1|≥4√2，所以S △ABN ≥4√2，当且仅当y 1=±2√2时，取到等号，所以△ABN 面积的最小值为4√2．解析：(Ⅰ)由已知得焦点F(1,0)，所以p =2，从而求出抛物线C 的方程；(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，与抛物线方程联立，利用△=0求得k =2y 1，所以直线l 的方程为：2x −y 1y +2x 1=0，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得点M 的坐标，进而求出点N 的坐标，所以S △ABN =12|x 0−x N |×|y 1−y 2|设直线AB 的方程为：x =my +2，与抛物线方程联立，设直线l 方程为：y −y 1=k(x −x 1)，利用韦达定理代入S △ABN ，利用基本不等式即可求出△ABN 面积的最小值．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=(x +1)e x −ax 2，得f′(x)=x(x+2xe x −2a)，设g(x)=x+2x⋅e x ，(x >0)；则g′(x)=x 2+2x−2x 2⋅e x ；由g′(x)≥0，解得x ≥√3−1，所以g(x)在(0,√3−1)上单调递减，在(√3−1,+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)≥0，所以2a ≤g(√3−1)=(2+√3)⋅e √3−1； 所以，实数a 的取值范围是：(−∞,(2+√3)⋅e√3−12].(Ⅱ)(i)因为函数f(x)有两个不同的零点，f(x)不单调，所以a >(2+√3)⋅e√3−12．因此f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，所以f(x)在(0,t 1)上单调递增，在(t 1,t 0)上单调递减，在(t 0,+∞)上单调递增；又f(t 1)>f(0)=1，f(x)=(x +1)e x −ax 2=a(e x −x 2)+(x +1−a)⋅e x ，当x 充分大时，f(x)取值为正，因此要使得f(x)有两个不同的零点，则必须有f(t 0)<0，即(t 0+1)e t 0−a ⋅t 02<0； 又因为f′(t 0)=(t 0+2)e t 0−2at 0=0； 所以：(t 0+2)e t 0−t 02⋅(t 0+2)e t 0<0，解得t 0>√2，所以a >12g(√2)=1+√22⋅e √2；因此当函数f(x)有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是(1+√22⋅e √2,+∞)．(ⅰ)先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22．证明：不妨设x 2>x 1>0，即证2(x 2x 1−1)x 2x 1+1<lnx 2x 1<x 2x 1−1√x 2x1，设t =x 2x 1>1.g(t)=lnt −√t，ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1，只需证g(t)<0且ℎ(t)>0； 因为g′(t)=√t−1)22t √t<0，ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以g(t)在(1,+∞)上单调递减，ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(t)<g(1)=0，ℎ(t)>ℎ(1)=0，从而不等式得证．再证原命题1x 1+1x 2−1t0+1>1．由{f(x 1)=0f(x 2)=0得{(x 1+1)e x 1−ax 12=0(x 2+1)e x 2−ax 22=0； 所以(x 1+1)e x 1x 12=(x 2+1)e x 2x 22，两边取对数得：2(lnx 2−lnx 1)−[ln (x 2+1)−ln (x 1+1)]=x 2−x 1；即2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x1+1)=1． 因为2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1−ln (x 2+1)−ln (x 1+1)(x 2+1)−(x 1+1)<√x x 2(x 1+1)+(x 2+1)，所以1+2x1+x 2+2<√x x <1x 1+1x 2，因此，要证1x 1+1x 2−1t0+1>1．只需证x 1+x 2<2t 0；因为f(x)在(t 0,+∞)上单调递增，0<x 1<t 0<x 2，所以只需证f(x 2)<f(2t 0−x 2)， 只需证f(x 1)<f(2t 0−x 1)，即证f(t 0+x)<f(t 0−x)，其中x ∈(−t 0,0)； 设r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)，−t 0<x <0，只需证r(x)<0； 计算得r′(x)=(x +t 0+2)e t 0+x +(−x +t 0+2)e t 0−x −4at 0； r″(x)=e t 0−x [(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)]．由y =(x +t 0+3)e 2x +(x −t 0−3)在(−t 0,0)上单调递增， 得y <(t 0+3)e 0+(0−t 0−3)=0，所以r″(x)<0；即r′(x)在(−t 0,0)上单调递减， 所以：r′(x)>r′(0)=2f′(t 0)=0；即r(x)在(−t 0,0)上单调递增，所以r(x)<r(0)=0成立，即原命题得证．解析：(Ⅰ)先求其导函数，转化为f′(x)≥0，即求g(x)=x+2x⋅e x −2a 的最小值即可；(Ⅱ)(ⅰ)结合第一问的结论得f(x)不单调，故a >(2+√3)⋅e√3−12；设f′(x)=0有两个根，设为t 1，t 0，且0<t 1<√3−1<t 0，可得原函数的单调性，把问题转化为f(t 0)<0，即可求解结论．(ⅰ)转化为先证明不等式，若x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，则√x 1x 2<x 2−x1lnx 2−lnx 1<x 1+x 22.再把原结论成立转化为证x 1+x 2<2t 0；构造函数r(x)=f(t 0+x)−f(t 0−x)一步步推其成立即可．本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
浙江省绍兴市(新版)2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷
浙江省绍兴市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数图像可能是（）A．B．C．D．第(2)题设集合，则（）A．B．C．D．第(3)题函数的定义域是（）A．B．C．D．第(4)题已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为，直线与在第一象限内的交点为.若，则的值为（）A．B．C．D．第(5)题在空间中，已知为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(6)题设函数，，，，、、、、.记，、、，则（）A．B．C．D．第(7)题已知双曲线，其虚轴长为2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．3D．第(8)题已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（）A．的图象关于点对称B．C．D ．若，则第(2)题已知为正项数列的前项和，，，则（ ）A．B．C．D．第(3)题已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在直角梯形中，（），，，为中点，若，则的值为______，的值为______．第(2)题在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，．则的面积为___________．第(3)题在平面直角坐标系中，曲线在点处的切线方程为（e 是自然对数的底数），则实数a 的值是_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知曲线C 的方程为，点D 的坐标为，点P 的坐标为．(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标；(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P ．证明：直线AB 的斜率为定值．第(2)题已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.第(3)题一缉私艇发现在北偏东方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以的速度沿东偏南方向逃窜缉私艇的速度为，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追击所需的时间和角的正弦值．第(4)题某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费元，未租出的车每辆每月需要维护费元.（1）当每辆车的月租金定为元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？第(5)题已知函数满足．（1）求函数的表达式；（2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数b的值，并写出这个公共点的坐标．。
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精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．16．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于 A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A．2 B． C． D．与 p 有关 8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），精品文档精品文档则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．169．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 ，离心率为 ． 12 ． 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为，体积精品文档精品文档为．13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n， b1=a1，b2=a3，则 an= ，Tn= ． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b= ，△ABC 的面积为，则 c= ，B= ．15．将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻， 则不同的排法种数为 ．（用具体的数字作答） 16．已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 ．17．已知 a，b∈R 且 0≤a+b≤1，函数 f（x）=x2+ax+b 在[﹣ ，0]上至少存在一个零点，则 a﹣2b 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．已知函数 f（x）=2sin2x+cos（2x﹣ ）． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在（0， ）上的单调递增区间． 19．如图，已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC， M 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥BC． （Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣B 的大小．精品文档精品文档20．已知函数 f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 a=2，b=0 时，求 f（x）在[0，3]上的值域． （Ⅱ）对任意的 b，函数 g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范 围． 21．已知点 A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 是线段 AB 上的点，直线 y= x+m（m≥0）交椭圆 C 于 M、N 两点，若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形，求直线 MN 的方程．22．已知数列{an}满足 an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．精品文档精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 【考点】交集及其运算． 【分析】由绝对值不等式的解法求出 A，由交集的运算求出 A∩B． 【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）， B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）， 则 A∩B=[﹣1，2）， 故选 B2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由【解答】解：∵z= =，∴z• =．故选：D．求解．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．精品文档精品文档【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可． 【解答】解：a=0 时，f（x）=x2+b 为偶函数，是充分条件， 由 f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得 f（x）是偶函数， 故 a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A．4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ） A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四 个不等式关系成立与否可得答案． 【解答】解：当 a∈（0，1）时，若 ab＞1，则 b＜0， 则 a＜b 不成立， 当 a∈（1，+∞）时，若 ab＞1，则 b＞0， 则 ab＜b 不成立，a＞b 不一定成立， 故选：A．5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．1 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得：，精品文档精品文档∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ． 故选：C．6．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几 何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令 z=y﹣2x，则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 结合图象可知，当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大，由可知 A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1． 故选：B．7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于精品文档精品文档A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ）A．2 B． C． D．与 p 有关 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量 条件，求出 A，B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2， ∵ =2 ，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2）， ∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2， 可得 y2=p，y1=﹣2p， ∴x2= p，x1=2p，∴==，故选 B．8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算． 【 分 析 】 向 量 ， 满 足 | |=4 ， • （ ﹣ ） =0 ， 即= ． |λ ﹣|==≥ 2 （ λ ∈ R ）， 化 为 ： 16λ2 ﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，即 = ．若|λ ﹣ |==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，精品文档精品文档∴△=﹣64（ ﹣4）≤0，化为∴ • =8． 故选：C．≤0，9．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用． 【分析】求出 f（x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧 函数的单调性和值域，从而得出答案． 【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当 x≤1 时，x2﹣x3≥0，当 x＞1 时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若 t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3， 若 0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3， 当 t=1 时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2， ∴当 t＞0 时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t） ﹣f（﹣t）， 故 A 错误，B 错误；精品文档精品文档当 t＞0 时，令 g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2， 则 g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令 g′（t）=0 得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点 t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在 t0＞t2，使得 g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0）， 故 C 正确； 令 h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t， 则 h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0， ∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0， ∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t）， 故 D 错误． 故选 C．10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）【考点】直线与平面所成的角． 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1，采用极限分析法． 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离 越近，入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大，精品文档如图所示，此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n=n2+n﹣=3n﹣1．﹣1n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，3] ．【考点】二次函数的性质．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；故答案为：[0，3]．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO 即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．2=na n2+a n（n∈N*）．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+1（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）+1（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（精品文档﹣ ）+（ ﹣ + ），再分别取 n=2，3，以及 n≥4 即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），由 an＞0，n∈N*，∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，∴an+1﹣1 与 an﹣1 同号，∵a1﹣1=1＞0， ∴an＞1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2， ∴an+1＜an，1＜an≤2， 又由题意可得 an=（n+1）an+12﹣nan2， ∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，an=（n+1）an+12﹣nan2， 相加可得 a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，∴an+12≤，即 an2≤，n≥2，∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，当 n=2 时， = ＜ ，当 n=3 时， + ≤＜ ＜，当 n ≥ 4 时 ， + +…+ ＜ 2 （ + + + ） + （ + + ﹣ ） =1+ + + + + ＜ ，精品文档精品文档从而，原命题得证精品文档精品文档2017 年 3 月 30 日精品文档。