最新浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)

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2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z? =（）
A．25 B．5 C． D．
3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（）
A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b
5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ
p
q
P
q
p
若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（）
A． B． C． D．1
6．已知实数 x，y 满足不等式组
，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数
a=（） A．﹣1 B．1 C． D． 7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于 A，B 两点，若 =2 ，则 =（） A．2 B． C． D．与 p 有关 8．向量，满足| |=4， ?（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），
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则 ? =（） A．0 B．4 C．8 D．16
9．记 min{x，y}=
设 f（x）=min{x2，x3}，则（）
A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（）
A．（，） B．（
，4） C．（，） D．（，）
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为，离心率为． 12 ．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
，体积
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为．
13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n， b1=a1，b2=a3，则 an= ，Tn= ． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b= ，
△ABC 的面积为
，则 c= ，B= ．
15．将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为．（用具体的数字作答） 16．已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为．
17．已知 a，b∈R 且 0≤a+b≤1，函数 f（x）=x2+ax+b 在[﹣ ，0]上至少存在
一个零点，则 a﹣2b 的取值范围为．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．已知函数 f（x）=2sin2x+cos（2x﹣ ）．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（x）在（0，）上的单调递增区间． 19．如图，已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC， M 为 PB 的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣B 的大小．
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20．已知函数 f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当 a=2，b=0 时，求 f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的 b，函数 g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范围． 21．已知点 A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）P 是线段 AB 上的点，直线 y= x+m（m≥0）交椭圆 C 于 M、N 两点，若 △MNP 是斜边长为的直角三角形，求直线 MN 的方程．
22．已知数列{an}满足 an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：an＞1；（Ⅱ）证明： + +…+ ＜（n≥2）．
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2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】由绝对值不等式的解法求出 A，由交集的运算求出 A∩B．【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）， B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞），则 A∩B=[﹣1，2），故选 B
2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z? =（）
A．25 B．5 C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由
【解答】解：∵z= =
，
∴z? =
．
故选：D．
求解．
3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可．【解答】解：a=0 时，f（x）=x2+b 为偶函数，是充分条件，由 f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得 f（x）是偶函数，故 a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件，故选：A．
4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（） A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四个不等式关系成立与否可得答案．【解答】解：当 a∈（0，1）时，若 ab＞1，则 b＜0，则 a＜b 不成立，当 a∈（1，+∞）时，若 ab＞1，则 b＞0，则 ab＜b 不成立，a＞b 不一定成立，故选：A．
5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ
p
q
P
q
p
若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（）
A． B． C． D．1 【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得：
，
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∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ．故选：C．
6．已知实数 x，y 满足不等式组
，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数
a=（） A．﹣1 B．1 C． D．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值．
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，如图所示：
令 z=y﹣2x，则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象可知，当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大，
由
可知 A（﹣4，﹣1），
A（﹣4，﹣1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1．故选：B．
7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于
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A，B 两点，若 =2 ，则 =（）
A．2 B． C． D．与 p 有关【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量条件，求出 A，B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2， ∵ =2 ，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2）， ∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2，可得 y2=p，y1=﹣2p， ∴x2= p，x1=2p，
∴=
=，
故选 B．
8．向量，满足| |=4， ?（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），
则 ? =（） A．0 B．4 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】向量，满足 | |=4 ， ? （ ﹣ ） =0 ，即
= ． |λ ﹣
|=
=
≥ 2 （ λ ∈ R ），化为： 16λ2 ﹣
2
+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，必须△≤0，解出即可得出．
【解答】解：向量，满足| |=4， ?（ ﹣ ）=0，即 = ．
若|λ ﹣ |=
=
≥2（λ∈R），
化为：16λ2﹣2
+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，
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∴△=
﹣64（ ﹣4）≤0，化为
∴ ? =8．故选：C．
≤0，
9．记 min{x，y}=
设 f（x）=min{x2，x3}，则（）
A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t）【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用．【分析】求出 f（x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧函数的单调性和值域，从而得出答案．【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当 x≤1 时，x2﹣x3≥0，当 x＞1 时，x2﹣x3＜0，
∴f（x）=
．
若 t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3，若 0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3，当 t=1 时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2， ∴当 t＞0 时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t） ﹣f（﹣t），故 A 错误，B 错误；
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当 t＞0 时，令 g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2，则 g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令 g′（t）=0 得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点 t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在 t0＞t2，使得 g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0），故 C 正确；令 h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t，则 h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0， ∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0， ∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t），故 D 错误．故选 C．
10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发，依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（）
A．（，） B．（
，4） C．（，） D．（，）
【考点】直线与平面所成的角．【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1，采用极限分析法．【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离越近，入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大，
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如图所示，此时 tan∠PHB= ，
结合选项，可得入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（故选：C．
，），
二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1， ∴c2=a2+b2=4+12=16， ∴c=4， ∴双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率 e= = =2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），2 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2+2 ，体积
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为
．
【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中 PA⊥底面 ABC，AC⊥BC， PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中 PA⊥底面 ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．
∴该几何体的表面积 S=
+
+
=2+2 ，
体积 V=
=．
故答案为：2+2 ，．
13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n，
b1=a1，b2=a3，则 an= 3n﹣1 ，Tn=
．
【考点】等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和．【分析】利用 a1=2=b1，n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得 an．b2=a3=8，公比 q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：a1=2=b1，
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