判别式与韦达定理的应用
韦达定理判别式
当 b 4ac 0 时，方程有两个相等实数根； ---------------------- 要注意：根的情况到底是作为已知条件出现
2
批注 1：利用根与系数之间的关系时特别需 的还是作为结论需要证明的。
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根；
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根。
七升八暑假班知识点整理
第四、五讲 一元二次方程判别式和韦达定理一、2一元二源自方程根的判别式”标号，记做
把 b 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) 的根的判别式，通常用符号“
b 2 4ac 。
利用判别式判断方程根的情况： 当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等实数根；
b c ； x1 x2 a a
b x1 x2 a x x c 1 2 a
2
二、
韦达定理的认识
编者的话：有的时候我们发现，对于一元二次方程，我并不需要知道确切的两根的值，但是对于两根的和 与及我们会有较大的兴趣，下面我们来推导一下两根的和与积。 （1） 法一：利用求根公式
b b2 4ac b b2 4ac ； x2 x1 2a 2a
易得： x1 x2
b c ； x1 x2 a a
（2） 法二：利用因式分解 假设方程两根为 x1 、 x2 ；所以可以构造方程 ( x x1 )( x x2 ) 0
2 还原方程 x ( x1 x2 ) x x1 x2 0 ，比较 ax bx c 0
2
易得： x1 x2 韦达公式：
关于判别式法与韦达定理的论述
关于判别式法与韦达定理论述weiqingsong摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
关键词：判别式法 韦达定理在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。
别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。
一、韦达定理的由来法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
二、对判别式法的介绍及概括一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
关于x 的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。
这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。
判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1) 当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。
一元二次方程-韦达定理的应用及答案
一元二次方程韦达定理的应用知识点：一元二次方程根的判别式 ：当△>0 时________方程_____________，当△=0 时_________方程有_______________ ，当△〈0 时_________方程___________ .韦达定理的应用：1。
已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2。
求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积， 求这两个数例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840x mx m m --+-=.求证： 当 m 〉2 时，原方程永远有两个实数根.例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kx x x k -++-=有两个不相等的实数根.(1）求 k 的取值范围；（2)是否存在实数 k ， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在, 说明理由。
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410x k x k k --+--=(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2）若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;例 4。
已知关于 x 的一元二次方程21(2)302x m x m +-+-= （1）求证： 无论m 取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,x x 满足1221x x m +=+， 求 m 的值。
例 5。
当 m 为何值时， 方程28(1)70x m x m --+-=的两根:(1) 均为正数； （2)均为负数； (3)一个正数， 一个负数； (4）一根为零； （5）互为倒数; （6)都大于2。
求证: 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04x m n x mn ---=有两个相等的正的实数根， 求m n 的值。
课堂练习：1。
下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ )A. 2210x x +-= B 。
判别式和韦达定理
第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。
（2）a b x x -=+21，a c x x =21。
反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。
应用举例：一、判别根的性质例1， 已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。
例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。
二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。
例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。
三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。
例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。
1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（ ）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（ ）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
韦达定理的应用题证明公式
韦达定理的应用题证明公式YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1．判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra= 0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明△=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△ =（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2（1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A 是数轴上的点，它的坐标是正数a.P 是数轴上另一点,坐标是x,x ＜a ，且OP 2=k·PA·OA.（1）k 为何值时，x 有两个解x1，x2（设x 1＜x 2）；此处无图（2）若k ＞1，把x 1，x 2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x 2=k·（a-x ）·a，即x 2+kax-ka 2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△ =k 2a 2+4ka 2=a 2k （k+4）＞0.∵a ＞0， ∴k （k+4）＞0，故k ＜-4或k ＞0.（2）x 1＜0＜x 2＜a.例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明不可能分解为两个一次因式之积.分析 若视原式为关于x 的二次三项式，则可利用判别式求解.证明将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△ =显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积.例3（1957年北京中学生数学竞赛题）已知x，y，z是实数，且x+y+z=a，①②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤分析将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤.例5设a1，a2，a3，b是满足不等式（a1+a2+a3）2≥2（）+4b的实数.求证：a1a2+a2a3+a3a1≥3b.证明由已知可得≤0.设则∵a3是实数，故△≥0，即有（a1+a2）2≥（）-2a1a2+4b+r≥2（）-（a1+a2）2+4b.于是（a1+a2）2≥（）+2b，∴a1a2≥b.同理有a2a3≥b，a3a1≥b.三式相加即得a1a2+a2a3+a3a1≥3b.例6 设a、b、c为实数，方程组与均无实数根.求证:对于一切实数x都有＞证明由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即4ac-b2＞1.∴＞2．韦达定理的应用例7 （1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题）假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时是方程的根. 证明由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根. 例8已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0，①a2x2+b2x+c2=0，②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程 a1a2x2+b1b2x+c1c2=0③③也有两个负根. 证明∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9（1983年上海初中数学竞赛题）对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn 和βn.求下式的值：+解由韦达定理得=而=（n≥3），∴原式=+=例10（1989年全国初中联赛试题）首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由或解得或∴例11 （仿1986年全国高中联赛题）设实数a，b，c满足①②求证:1≤a≤9.证明由①得bc=a2-8a+7.①-②得b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 （1933年福建初中数学竞赛题）求证：对任一矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A和矩形B的周长和面积比都等于常数k（k≥1）.分析设矩形A及B的长度分别是a，b及x，y，为证明满足条件的矩形B存在，只须证明方程组（k，a，b为已知数）有正整数解即可.再由韦达定理，其解x，y可以看作是二次方程z2-k（a+b）z+kab=0的两根.∵k≥1，故判别式△ =k2（a+b）2-4kab ≥k2（a+b）2-4k2ab =k2（a-b）2≥0，∴上述二次方程有两实根z1，z2.又z1+z2=k（a+b）＞0，z1z2=kab＞0，从而，z1＞0，z2＞0，即方程组恒有x＞0，y＞0的解，所以矩形B总是存在的.练习二十一1．填空题（1）设方程的两根为m，n（m＞n），则代数式的值是_______; （2）若r和s是方程x2-px+q=0的两非零根,则以r2+和为根的方程是__________; （3）已知方程x2-8x+15=0的两根可以写成a2+b2与a-b,其中a与b是方程x2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________.2.选择题(1)若p,q都是自然数,方程px2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p2+q的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程的较大根为r,的较小根为s,则r-s等于().(A) (B)1985 (C) (D)(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为（）.(A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根个数为(A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3．（1983年杭州竞赛）设a1≠0，方程a1x2+b2x+c1=0的两个根是1-a1和1+a1；a1x2+b1x+c2=0的两个根是和；a1x2+b1x+c1=0的两根相等，求a1，b1，c1，b2，c2的值.4.常数a是满足1≤a≤50的自然数.若关于x的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x2的两根都是自然数,试求a的值.5.设x2、x2为正系数方程ax2+bx+c=0的两根，x1+x2=m，x1·x2=n2，且m，n.求证:(1) 如果m＜n，那么方程有不等的实数根；(2) 如果m＞n，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足7．（1987年全国初中竞赛题）当a，b为何值时，方程x2+（1+a）x+（3a2+4ab+4b2+2）= 0有实根8．（1985年苏州初中数学竞赛题）试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax2+bx +c=0的判别式的值.9．（第20届全苏中学生数学竞赛题）方程x2+ax+1=b的根是自然数，证明a2+b2是合数. 10．（1972年加拿大试题）不用辅助工具解答：（1）证满足的根在（2）同（1）证练习二十一1.(1)(2)(3)3.2.C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5.略6.3x2-7x+2=0.7.因为方程有实根,所以判别式8.设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.10.由，可得x2-198x+1=0,其根。
三次函数的根的判别式和韦达定理
三次函数，即形如f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其中a, b, c, d 为实数，且a不为0。
这种函数在数学中有着重要的应用价值。
对于三次函数，其根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究函数的性质。
首先，我们来了解一下根的判别式。
对于一元二次方程，根的判别式是b^2 - 4ac，而对于三次函数，我们可以通过对其进行求导，然后观察导函数的零点来找到极值点。
三次函数的导函数为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，对其求导后，再求出导函数的零点，即令f'(x) = 0，解出x的值，这些x的值就是三次函数的极值点。
接下来，我们来看看韦达定理。
韦达定理是用于求解一元二次方程的根的一种方法，但对于三次方程，我们可以通过观察其根的分布情况来找到三次函数的极值点。
如果三次方程有三个不同的实根，那么这三个实根就是三次函数的三个极值点。
如果三次方程有两个相同的实根，那么这两个相同的实根就是三次函数的拐点。
在实际应用中，我们可以利用韦达定理来判断三次函数的单调性。
如果三次函数在某个区间内单调递增，那么这个区间内一定存在一个或多个极小值点；反之，如果三次函数在某个区间内单调递减，那么这个区间内一定存在一个或多个极大值点。
此外，我们还可以利用韦达定理来判断三次函数的图像的形状。
如果三次函数的图像是一个连续的曲线，那么这个曲线一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的；如果三次函数的图像是一个折线图，那么这个折线图一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的。
综上所述，根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究三次函数的性质。
利用这两个工具，我们可以更好地理解三次函数的图像和性质，从而更好地解决相关的数学问题。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理
【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系
2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值
【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系
【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值
【学习过程】
学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________
△＞0⇔__________△=0 ⇔_____________△＜0 ⇔__________
（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2
x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________
解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：
（1）若a 、c 异号 ⇒ ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；
（2）有一个根为1 ⇔ a+b+c=0 ；
（3） 有一个根为—1 ⇔ a —b+c=0；
（4）有一个根为0 ⇔ c=0
（5）有两个正根 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ⇔⎩⎨⎧0021＜△＞x x （8）两根同号 ⇔⎩⎨⎧≥002
1＞△x x （9）两根互为相反数⇔⎩⎨⎧=⇒=+0
0021b x x △＞ （10）两根互为倒数⇔⎩⎨⎧=≥102
1x x △ （11）一根为正，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002
121c x x x x ＞△＞
（12）一根为负，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002
121c x x x x ＜△＞
（13）两根均为0⇔b=c=0
(14) 一根比a 大，一根比a 小⇔⎩⎨⎧--0
))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。
思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不
等式组即可求出k 的值。
解：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧⇒ ⇒
即时练习：
K 为何值时，方程4x 2—(k —1)x+k —7=0 的两个根具有下列关系：
（1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为0
挖掘教材：
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有实数根，即应首先满足△≥0这一条件。
例2、已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。
解：由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+≥302221
2121x x k
x x k x x △⇒=-+⇒32)(21221x x x x =⇒1k _______,=2k ______
当K1=_____时，△______;当K2=_____时，△______
故K 的值为______
归纳小结：二次项系数a ≠0和△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
因此，
在做题时，应优先考虑这两点。
即二次项系数与△优先的原则。
即时练习：
若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +2
1x =2，求m 的值。
例2、已知关于x 的方程x 2-(2k-3)+k 2+1=0的两个实数根x1、x2满足：321=+x x ,求k 的值。
解：∵原方程有两个实数根，则△≥0
即［-(2k-3)］2-4(k 2+1)≥0 解之得：k______ ①
又∵x 1x 2=k 2+1>0,∴x 1与x 2同号；由：321=+x x 可得：x1+x2=±3 即 2k-3=±3 ,解之得:k1=_____,k2=______ ②
由①②可得：K=________
即时练习：
已知方程x 2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8，求k 的值。
反思拓展：
1、 韦达定理：充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
2、应用韦达定理的前提条件是这个方程是一元二次方程且有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须首先满足二次项系数a ≠0和判别式△≥0这两个条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
3、应用韦达定理求根的代数式的值，一般是关于x 1,x 2的对称式，这类问题可通过变形X 1+x 2和x 1x 2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
（1）恰当组合 （2）根据根的定义降次 （3）构造对称式
【达标检测】
1、（广州）关于x 的一元二次方程x 2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a 可取的值为____ (只要填写一个可能的值即可)
2、（2005年.淮安）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0有两个实数根，且2x 1-x 2=7,则a=____
3、（2005年.荆州）若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为_____
4、在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3,b 和c 是关于x 的方程x 2+mx+2-2
1m=0的两个实数根，求△ABC 的周长。
5、（盐城） 已知关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0
(1) 求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根。
（2）如果方程的两实数根分别为x 1、x 2，满足x 1=3x 2，求实数m 的值。
6、（2005年.南通）已知关于x 的方程x 2-kx+k 2+n=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且 （2x 1+x 2）2-8 (2x 1+x 2)+15=0 求证：（1）n<0 (2)试用k 的代数式表示x 1
（3）当n= - 3 时，求k 的值。
7、（2005年.天津））已知关于x 的方程x 2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，求实数p 的取值范围。