判别式与韦达定理
韦达定理
p考点·方法·破译…．．…………………………………………．1．判别式定理：对于一元二次方程似2+如+c=0(口≠0)，设a=b2—4ac，则有：(1)若a>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当a=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当a<0时，方程没有实数根．上述三个结论的逆命题也成立．特别注意判别式定理只适用于一元二次方程，若涉及方程似2+如+c=o有没有实根f=-l题，应对。
加以讨论．2．韦达定理：设茗。
，龙：是一元二次方程础2+k+c=0(a#0)的两根，则有菇。
+％：=一÷，茗m=÷，逆命题也成立．活用一元二次方程以下两条性质，可简捷求解与根有关问题．(1)设k为一元二次方程似2+阮+c=0(口≠0)的一个根，则有ak2+眦+C=0，反之亦然；(2)设戈l，龙2(菇1≥髫2)是一元二次方程础2+如+c=0(口≠0，A=b2—4a ≥o)的两根，则有：戈。
=半，戈：=半，反之亦然．3．对于整系数一元二次方程麟2+如+c=o(口≠0)有：(1)方程两根为整数甘62—4ac为完全平方数，且口I b，ol c；(2)方程两根为整数甘62—4∞为完全平方数，且(一b±,／b2+4ac)12a．o经典·考题·赏析………………………………………………例1(江苏盐城)若关于x的一元二次方程‟2—2戈+1=0有实数根，则k的取值范围是( )(A)k<1 (B)k≤1 (C)k<1且k≠0(D)k≤1且k≠O．【分析】若一元二次方程有实数根，则a I>0，本题还要考虑k#0．【解】根据题目条件，得(一2)2-4k一>0，且k#0，即I|}≤1且k#0，故选【点评】本题比较容易，但容易疏忽，它注重考查了两点，一是判别式要大于或等于零(不要漏掉等于零)，二是二次项系数不等于零．例2(天津)若关于髫的一元二次方程2x2—2x+3m一1=0的两个实数根为石I、龙l且菇I龙2>茁I+并2—4，则实数m的取值范围是( )A．m>一了5 B．m≤丁1c．m<一手 D．一了5<m≤虿1(天津市)已知关于菇的方程菇2一(o+2)x+o一2b=0的判别式等于0，R x=丢是方程的根，则口+6的值为——．例3 (河南省)已知关于戈的方程并2+(4后+1)石+2k一1=0．(1)求证此方程一定有两个不相等的实数根；(2)如果戈．、戈：是方程的两个实数根，且r，一2、．f龙．一2)=2k一3．求l|}的值．【分析】 (1)要证此方程有两个不等实根，只需证“△”大于零；(2)根据题目条件，需用韦达定理求出矗值．【解】(1)‘．’A=(4k+I)2—4(2k一1)=16k2+5>o．·．此方程一定有两个不相等的实数根．(2)‘．菇1+菇2=一(4后+1)，并l戈2=2k一1，i丽i(x．一2)(菇2—2)=算I省2—2(xl+并2)+4=2k一3，．·．2k—I+2(4k+1)+4=2k一3，．‘．I|}=一1．【点评】根的判别式和根与系数的关系常常是“结伴而行”，此题既考杏了根的判别式的运用，又考查了根与系数关系的知识，真是一箭双雕·(扬州市)已知关于菇的一元二次方程七2街2+(1—24)x+1=0有两个不相等的实数根菇。
根的判别式与韦达定理
九年级数学讲义根的判别式与韦达定理知识要点：1． 根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4acΔ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根2． 根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝ac例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。
例2、求证：m 为任何实数时，方程21402x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。
例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。
则x x -2122+4x 1－2x 2= 。
例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。
例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求αββα+的值。
例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。
求证：a 、b 、c 中必有一个大于23。
练习：1、不解方程，判断下列方程的根的情况。
（）127302x x +-= （ ）（）221202()()y y y -++=（ ）（）3912402x x ++= （ ）（）423402x x --= （ ）（）551702()x x +-= （ ）（）62102x mx --= （ ）2、一元二次方程ax x 2210-+=有实数根，那么a 的取值范围是 。
3、方程380312x x m m -+==的两根之比为，则:。
4、已知： 方程x x p p 226250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。
5、设0342,2=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ223-+= 。
韦达定理判别式
当 b 4ac 0 时，方程有两个相等实数根； ---------------------- 要注意：根的情况到底是作为已知条件出现
2
批注 1：利用根与系数之间的关系时特别需 的还是作为结论需要证明的。
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根；
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根。
七升八暑假班知识点整理
第四、五讲 一元二次方程判别式和韦达定理一、2一元二源自方程根的判别式”标号，记做
把 b 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) 的根的判别式，通常用符号“
b 2 4ac 。
利用判别式判断方程根的情况： 当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等实数根；
b c ； x1 x2 a a
b x1 x2 a x x c 1 2 a
2
二、
韦达定理的认识
编者的话：有的时候我们发现，对于一元二次方程，我并不需要知道确切的两根的值，但是对于两根的和 与及我们会有较大的兴趣，下面我们来推导一下两根的和与积。 （1） 法一：利用求根公式
b b2 4ac b b2 4ac ； x2 x1 2a 2a
易得： x1 x2
b c ； x1 x2 a a
（2） 法二：利用因式分解 假设方程两根为 x1 、 x2 ；所以可以构造方程 ( x x1 )( x x2 ) 0
2 还原方程 x ( x1 x2 ) x x1 x2 0 ，比较 ax bx c 0
2
易得： x1 x2 韦达公式：
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理一、基本知识：1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、例题讲解：例1 已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ， （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设21、x x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 之值。
例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根，21、yy 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21y 、y 为根的一元二次方程。
例3 已知△ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，求证△ABC 为直角三角形。
例4 已知关于x 的一元二次方程01222=--+p px x 的两个实数根为1x 和2x 。
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p 之值；（2）若p=-1，求2223122x x x ++之值。
例5 若关于x 的方程012=++kx x 的一个根是32+，则方程的另一根是多少？k 值是多少？例6 已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +2111)2(x x + (3)21x x -)1)(1)(4(21--x x三、典型练习：（一）、选择题：1．方程022=+-m x x 的一个根是31+，则另一根和m 的值依次是（ ） A ． 13-和2B. 31-和2C. 31-和-2D. 13-和-22．设21、x x 是方程01322=--x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） A ． 3B. -3C. 23D. 23-3．以数52+和52-为两根的一元二次方程是（ ） A ． 0142=-+x x B. 0142=--x x C. 0142=++x xD. 0142=+-x x4．已知方程05107,05207,05107,052072222=-+=-+=++=++x x x x x x x x 中，两根均为负数的方程的个数为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45、设二次方程02=++q px x 的两个实数根恰为p 、q ，则pq 的值是（ ）A. 0B. -2C. 0或-2D. 非上述答案（二）、填空题：1．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= 。
判别式和韦达定理
第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。
（2）a b x x -=+21，a c x x =21。
反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。
应用举例：一、判别根的性质例1， 已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。
例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。
二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。
例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。
三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。
例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。
1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（ ）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（ ）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
知识导航：
练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
判别式和韦达定理
总复习第8课时§判别式和韦达定理概念：一元二次方程02=++c bx ax1、解的个数问题：0>∆ 有两个不等实根；0=∆ 有两个相等实根；0<∆ 没有实根。
2、韦达定理： ab x x -=+21； ac x x =21 1、已知关于x 的一元二次方程k 2x 2-(6k -1)x +9=0有两个实数根,求k 的取值范围.2、设a,b,c 为三角形ABC 的三条边，方程x 2+2b x+2c-a=0有两相等实数根，方程的根为零.(!)求证∆ABC 是等边三角形(2)若a,b 为方程x 2+mx-3m=0的两根，求m 的值.3、已知m 是正实数.关于x 的方程2x 2-mx -30=0的两根为x 1,x 2,且5x 1+3x 2=0.(1) 求m 的值; (2) 求证:在直角坐标系中,不论k 为任何实数,抛物线y =mx 2+(4+k )x +k 与x 轴必有一个交点或两个交点。
4、已知α,β,是方程kx 2+2x +1=0的两个根,且βα11-=1.求k 的值和方程的两个根.5、m 为何值时，关于x 的方程(m +1)x 2-4mx +2=0的两个根均为正数？6、已知方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根是α,β, 求以α+2β、2α+β为两根的一元二次方程。
7、若α,β是一元二次方程的两根,且α2+αβ+β2 =7, α2+αβ+β2 =-5求作这个方程.8、设12＜m ＜60(m 为整数)且方程x 2-2(m +1)x +m 2=0的两个根都是整数，求m 的值及方程的根。
直角三角形的斜边长为13，两条直角边分别是一元二次方程 9、x 2-(m -1)x+3(m +2)=0的两个根，求这个直角三角形内切圆的面积。
10、已知k 为非负实数,关于x 的方程x 2-(k +1)x +k =0, ①kx 2-(k +2)x +k =0 ②(1)试证:方程①有两个非负实根,并求出这两个实根;(2)k取什么值时,方程①与②都有实根?(3)k取什么值时,方程①与②有一个相同的实根?。
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第三讲判别式与韦达定理教学容：判别式与韦达定理教学目标：1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况；2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围；3、理解并掌握韦达定理的定义；4、熟练掌握一些常用代数式的变形；5、能利用韦达定理构造一元二次方程；6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。
教学重点：1、△与方程根的关系；2、韦达定理；3、常用代数式的变形；教学难点：1、运用△求方程中参数的值或取值围；2、常用代数式的变形；教学方法：探究法、讲授法；教学过程：8:20~8:30:考勤，收发作业8:30~8:50:进门考第一课时8:50~9:20一、讲评作业二、导入新课子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程：定义一元二次方程特点解 直接开方 解法 配方 公式 因式分解 2、举例复习四种方法： （1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0（3） 21230234x x +-=（4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式三、探索新知：1、回顾得出判别式的概念：24b ac ∆=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式2、算出下列一元二次方程的判别式2223720230410x x x x x x -+=-=++=3、判别式与方程的根的关系1,2120020x bx x a∆>⇔=-∆=⇔==∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根4、说出刚刚的几个方程根的情况5、判别式我们昨天讲了今天又再专门拿出来讲，它到底有什么用呢？ （1）运用判别式，判别方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值围； （3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题。
（以后会讲）(1)已知方程，判断根的情况：求△，判断根的个数2223402,3,43424932230x x a b c ++====∆=-⨯⨯=-=-<∴解：方程无实根（2）已知带参数的方程的根的情况，求参数：由根的情况得出△的情况，进而解出参数已知一元二次方程220x x m ++=（1）求m 为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m 为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m 为何值时，方程无实根； （4）求m 为何值时，方程有实根。
解：（1）44>0m<1m ∴∆>∆=-Q 方程有两个不相等的实根即：（2）4401m m ∴∆=∆=-==Q 方程有两个相等的实根即：（3）4401m m ∴∆<∆=-<>Q 方程无实根即：（4）4401m m ∴∆≥∆=-≥≤Q 方程有实根即：已知一元二次方程220x x m ++=（1）求m 为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m 为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m 为何值时，方程无实根； （4）求m 为何值时，方程有实根。
分析：当m=0时一元一次方程 当m ≠0时一元二次方程解：（1）0,044>010m m m m ∴≠∆>∆=-∴<≠Q 方程有两个不相等的实根且（2）0,04401m m m ∴≠∆=∆=-==Q 方程有两个相等的实根即：（3）0,04401m m m ∴≠∆<∆=-<>Q 方程无实根即：（4）10210,20044011m x x m m m m =+==-≠∴∆≥∆=-≥≤∴≤Q 当时，方程即：当时，方程为一元二次方程方程有实根即：6、接下来，我们一起来看一段视频，让视频中的老师带着我们一起加深对△的理解四、点点精讲例1、（1）分析： 两个相等的实根△=0 解：()2.141130.4441120.1241361441440.141290A B C D ∆=-⨯⨯=-<∆=-⨯⨯=-<∆=-⨯⨯=-=∆=-⨯⨯-=>(2)分析：根的情况：000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根解：()22414160a a ∆=-⨯⨯-=+>⇔方程有两个不相等的实数根 （3）解：()()()22=3434a a c a ac ∆+--=++无法确定【小结】000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根例2．分析：方程有实数根0∆≥证明：因为()()()22=2412280m m ∆+-⨯⨯-=++>所以方程总有实根例3 . 分析：方程有两个不相等的实数根 0>证明：()()22223469429180m m m m m m m m ∆=+-=++-=++=++> 所以方程总有两个不相等的实数根 例4、分析：k=-1时方程为一元一次方程 K ≠-1时方程为一元二次方程 解：k-1时，方程即-4x-4=0,解得x=1k ≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2≥0 故方程总有实数根例5、分析：直角三角形三边的关系：222a c b +=解：由勾股定理得;a 2+c 2=b 2将原方程化为一般式得：（a+b ）x 2-2cx+(b-a)=0 △=4c2-4(a+b)(b-a)=0 故方程有两个相等的实数根【小结】用△判别方程的根时要先将方程化为一般式 六、归纳总结1、000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根2、算△之前，要先化为一般式第二课时：9:30~10:30上节课我们说判别式的应用很多，可以利用判别式建立等式不等式，求方程中的参数值或取值围，这节课我们就来看看到底怎么用的。
例6、分析：000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根解：B 、D例7、分析：000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根解：()()()11140,412140,413140,4a a a a a a ∆=-><∆=-==∆=-<>例8、分析：有两个不同的实根 是一元二次方程 00 解：依题意得： ()()2214516101161016a a a a a a a a ≠∆=---=+>>-∴>-≠且例9、分析：有两个相等实根二次项系数不为0=0整数m 解：依题意得：()()()()()21202420252022,52m m m m m m m m m ≠∆=+--=--===∴=不合题意舍去例10、分析：有两个相等实根二次项系数不为0△=0解：()222222240444444424a b ac ab a a a a a a aa b ≠∆=-=⨯===-++--+-例11、分析：等腰三角形（1）a=b 方程有两个相等的实根,(2)a ≠b ，a,b 中必有一个等于2,2为方程的解，三角形边的关系 解：（1）当a=b 时，△=36-4（n-1）=0 n=10,a=b=3满足提题意（2）当a ≠b 时，4-12+n-1=0 N=9,方程为x 2-6x+8=0 x 1=2,x 2=42,2,4不能构成三角形舍去 所以n=10方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式2b x a-±=不仅表示方程的系数a 、b 、c 决定根的值，而且反映了根与系数的关系。
那么一元二次方程根与系数的关系还有其他表示方式吗？()()()()2222132025603275043840x x x x x x x x ++=-+=++=-+=（1）20x px q ++=1212x x p x x q+=-=（2）20ax bx c ++= 1212b x x ac x x a+=-=这是我们在特殊情况下的两根之和、两根之积与系数的关系，能不能证明呢？12121222b b x x a a bx x a cx x a-+-==+=+=-==刚刚同学们得到的两根之和与两根之积与系数的关系就是我们今天要学习的第二大块容，韦达定理。
因为它最早是被韦达发现的，所以用他的名字来命名，以示纪念，韦达是法国数学家，被尊称为“现代数学之父”，主要工作——《方程论》，最早系统引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达定理表示的是一元二次方程根与系数的关系，推导也不难，我们都能推出来，可惜我们生得晚，不然，说不定这个定理就以我们的名字命名了。
韦达因韦达定理而出名了，那么韦达定理到底有什么用呢？应用1、计算两根之和、两根之积：2223402950x x x x ++=+-=()()121212,3,4932022,9,5812009252a b c a b c x x x x ===∆=-<===-∆=+>∴+=-=-解：方程无实根解：韦达定理很简单就是1212b x x ac x x a+=-=，表示的就是根与系数之间的关系，那么他就有一根前提，那就是方程必须有什么？也就是△怎么样？应用2、已知方程的一个根，求另一根2122402,x mx x x +-==-已知方程的一个根求另一个根1222212x x x =--∴==-解：由韦达定理得：这就之前简单了很多，大大节省了我们的计算量，也为我们节省了很多时间。
有人说时间就是生命，时间就是金钱，所以说能为我们节省时间的韦达定理是很重要的，接下来我们一起来观看一段视频，看看别人是怎么理解韦达定理的 例12、例13、例14、韦达定理归纳小结：利用△建立等式、不等式求方程中的参数值或取值围韦达定理1212b x x ac x x a+=-=（△≥0）应用： (1)计算两根之和、两根之积：(2)已知方程的一个根，求另一根第三课时：10:40~11:30上一节课我们一起学习了韦达定理，它表示了方程两根之和、两根之积与系数的关系，但预习了的同学也许会告诉我，我遇到的大多不是求两根之和、两根之积，而是像1222x x +这样一些其他形式，二这就涉及到我们韦达定理的一些常用变形了，请同学们把以下式子化成用两根之和、两根之积表示的形式。
应用3、常用代数式的变形：()()()()()()()()()()()()()()()()()()2221212121212123331212121222212122112121212221212122121212122121222212112112332454672118x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m x m x x m x x m x x x x x x x x x +=+-++=+=+-++-++==-=+-++=+++-==+-+=22x例15、16、应用4、利用韦达定理构造一元二次方程：若a,b 满足a+b=p,ab=q,则a 、b 分别为关于一元二次方程x 2-px+q=0 例17、18、 归纳总结1、24b ac ∆=- 2、1,21202020b x a bx x a-∆>⇔=-∆=⇔==∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根3、（1）运用判别式，判别方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值围；4、1212b x x ac x x a+=-=（△≥0）5、 应用1、计算两根之和、两根之积： 应用2、已知方程的一个根，求另一根 应用3、常用代数式的变形：应用4、利用韦达定理构造一元二次方程：出门测试：11:40~12:00课后辅导：12:00~12:30教学反思：板书设计：11。