判别式韦达定理题型讲解
根的判别式与韦达定理专项
根的判别式与韦达定理专题一、导入：脑经急转弯（1）猪圈里的猪出来了，怎么办？{猜一个明星} （2）猪圈里的猪又出来了，怎么办？{猜一个明星} （3）猪圈里的猪出第3次来了，怎么办？{猜一个明星} 二、知识点回顾：1、一元二次方程及其根的含义2、一元二次方程的常用解法 三、知识点精讲1、判别式的意义及一元二次方程根的情况。
（1）定义：把 叫做一元二次方程）0(0c bx ax 2≠=++a 的根的判别式，通常用符号“ ”表示。
（2）一元二次方程。
当0>∆时， ； 当0=∆时， ； 当0<∆时， 。
2．∆的“来历”：任何一个一元二次方程)0a 0c bx ax 2≠=++（用配方法将其变形为04,044-2a b x 2222>∴≠=+a a aac b ）（ ，因此对于被开方数224a 4ac -b 来说，只需研究4ac -b 2 为如下几种情况的方程的根。
（1）当 4ac -b 2>0时，方程有两个不相等的实数根。
即（2）当 时，方程有两个相等的实数根，即 。
（3）当 时，方程没有实数根。
3.韦达定理：（1）=+21x x （2）=21x x 4.根的符号问题：（1）两根同为正： ； （2）两根同为负： ； （3）两根一正一负： 。
例1、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22x +3x-4=0； （2）216y +9=24y ； （3）25x +1-7x=0（）【变式训练1】：1.不解方程，判别下列方程的情况: （1） （5） ；例2、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则k= 。
【变式训练2】：1．若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是 。
2.已知k>0且一元二次方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根，则k= 。
3.当k 不小于-14时，一元二次方程()()0x 12x 22=+---k k k 根的情况是 。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项-精选.
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程22430xx --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10xk x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
判别式与韦达定理
判别式与韦达定理一、基本知识：1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 2、一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21(2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、例题讲解：例1 已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ， （1）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设21、x x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 之值。
例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根，21、yy 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21y 、y 为根的一元二次方程。
例3 已知△ABC 的两边长a=3，c=5，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程042=+-m x x 的两个正整数根之一，求证△ABC 为直角三角形。
例4 已知关于x 的一元二次方程01222=--+p px x 的两个实数根为1x 和2x 。
（1）若此方程的两根之和不大于两根之积，求p 之值；（2）若p=-1，求2223122x x x ++之值。
例5 若关于x 的方程012=++kx x 的一个根是32+，则方程的另一根是多少？k 值是多少？例6 已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1)2221x x +2111)2(x x + (3)21x x -)1)(1)(4(21--x x三、典型练习：（一）、选择题：1．方程022=+-m x x 的一个根是31+，则另一根和m 的值依次是（ ） A ． 13-和2B. 31-和2C. 31-和-2D. 13-和-22．设21、x x 是方程01322=--x x 的两根，则2111x x +的值是（ ） A ． 3B. -3C. 23D. 23-3．以数52+和52-为两根的一元二次方程是（ ） A ． 0142=-+x x B. 0142=--x x C. 0142=++x xD. 0142=+-x x4．已知方程05107,05207,05107,052072222=-+=-+=++=++x x x x x x x x 中，两根均为负数的方程的个数为（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45、设二次方程02=++q px x 的两个实数根恰为p 、q ，则pq 的值是（ ）A. 0B. -2C. 0或-2D. 非上述答案（二）、填空题：1．若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则k= 。
初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解
初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解
韦达定理是初中数学中的一条非常重要的定理，涉及的章节包括一元二次方程，二次函数。
在中考中也多有涉及。
一、已知一元二次方程的一个根，求另一根
例1：关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
分析本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．
二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求
例2 已知关于x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a为常数）的一
个根为√11－3，求a的值．
三、求两根和、积及其代数式的值．
例3．若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．
分析：通过韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值，将其整体代入到所求的代数式中求值。
四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根
例4 试检验4＋3√2与4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的两根。
分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．
五、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号
例5 m为何值时，关于x的一元二次方程(m＋3)x²－mx＋1＝0的两个根，
(1)均为正数； (2)一正一负； (3)均为负数，
分析本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
二元一次方程判别式与韦达定理专题
二元一次方程判别式与韦达定理专题知识小结：1、对于一个一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根． 反之亦然．2、韦达定理：如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 ,那么acx x a b x x =•-=+2121,（能用韦达定理的前提条件为△≥0 ）巩固练习： 一、填空题1．已知2-240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ． 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 。
3.已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 . 4．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ 。
5.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;6.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;7.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ; 三、解答题8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求：(1) (2) （3）x 12+ x 1x 2+2 x 110.关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。
(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由11.已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －1)x －2m 2＋m=0（m 为实数）有两个实数根1x 、2x ．（1）当m 为何值时，12x x ≠；（2）若22122x x += ，求m 的值.12.已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=(1)求12,x x 及a 的值；(2)求32111232x x x x -++的值．13．已知关于x 的方程222(1)230x m x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520x k m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
判别式与韦达定理(竞赛辅导)
判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明: △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△=（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3证明不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△=显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……①x2+y2+z2=12a……②求证：0≤x≤23a, 0≤y≤23a, 0≤z≤23a.分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤23a同理可证：0≤y≤23a ，0≤z≤23a .例5 设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b. 证明: 由已知可得≤0.设则∵a 3是实数， 故△≥0，即有 （a 1+a 2）2≥（）-2a 1a 2+4b+r≥2（）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b，a 3a 1≥b.三式相加即得 a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组2y xy ax bx c=⎧⎨=++⎩与2y xy ax bx c=-⎧⎨=++⎩均无实数根.求证:对于一切实数x都有21 4ax bx ca++>.证明:由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组y xy bx c=⎧⎨=+⎩,y xy bx c=-⎧⎨=+⎩至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b1)2-4ac＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴2222424b ac bax bx c a xa a⎡⎤-⎛⎫++=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＞21144aaa•=.2．韦达定理的应用例7 假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x13、x23是方程的根.证明：由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8 已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0…… ①a2x2+b2x+c2=0……②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有两个负根.证明：∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解：由韦达定理得=而 =（n≥3），∴原式=+=例10首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解：由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由a-1=1b-1=3⎧⎨⎩或a-1=3b-1=1⎧⎨⎩，解得a=2b=4⎧⎨⎩或a=4b=2⎧⎨⎩∴例11设实数a，b，c满足求证:1≤a≤9.证明：由（1）得bc=a2-8a+7.（1）-（2）得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k≥1）. 分析 设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组(x y k a b xy kab ⎧⎨⎩+=+= （k ，a ，b 为已知数）有正整数解即可. 再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程 z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根. ∵k≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0， ∴上述二次方程有两实根z 1，z 2. 又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的. 练习 1．填空题（1） 设方程x-1x =1987的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式311n m n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--的值是_______; （2）若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和s 2+21r 为根的方程是______________________;（3）已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________. 2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程(1984x)2-1983·1985x -1=0的较大根为r,x 2+1983x-1984=0的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)11985 (B)1985 (C)19841985 (D)-19831984(3)x 2+px+q 2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（ ）. (A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3． 设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是12a -1和1-11a ；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值. 5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证: (1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根； (2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足 7． 当a ，b 为何值时，方程x 2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？ 8． 试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值. 9． 方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数. 10． 不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习答案:1.(1)(2)(3)3.2. C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5. 略6. 3x2-7x+2=0.7. 因为方程有实根,所以判别式8. 设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
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根的判别式
【典例1】.关于x 的方程10422
=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是
_____；k ＝______。
【典例2】.1x 、2x 是方程05322
=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式
的值： （1）2
2
2
1x x +（2）
2
1x x -（3）22
22133x x x -+
【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与
有一个相同的根，求k 的值。
【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程
两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。
韦达定理
[典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________
[典例2]解方程组
[典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。
[典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。
[典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。
[典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根
（1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。
训练题
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，
③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值．
4、填空：（1）设α，β是方程3x-5x+1=0的两根，则αβ+αβ=_______ （2）若+1是方程x-kx+1=0的一个根，则k=________
（3）分解因式2x+3x-1=__________
（4）若方程3x-x+m-4=0有一正一负两个根，则m的取值范围是_____________
（5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的两个根，则（a+ma+1)(b+mb+1)的值为_______
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求+ 的值。
6、三角形ABC的三边长分别为a,b,c，满足b=8-c,a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0，并且st≠1,求的值。
家长签字：。