根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理
九年级数学讲义根的判别式与韦达定理知识要点：1． 根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4acΔ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根2． 根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝ac例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。
例2、求证：m 为任何实数时，方程21402x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。
例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。
则x x -2122+4x 1－2x 2= 。
例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。
例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求αββα+的值。
例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。
求证：a 、b 、c 中必有一个大于23。
练习：1、不解方程，判断下列方程的根的情况。
（）127302x x +-= （ ）（）221202()()y y y -++=（ ）（）3912402x x ++= （ ）（）423402x x --= （ ）（）551702()x x +-= （ ）（）62102x mx --= （ ）2、一元二次方程ax x 2210-+=有实数根，那么a 的取值范围是 。
3、方程380312x x m m -+==的两根之比为，则:。
4、已知： 方程x x p p 226250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。
5、设0342,2=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ223-+= 。
一元二次方程判别式和韦达定理
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。
求没有实数根求的值。
有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
韦达与根的判别式
韦达与根的判别式根（root ）是一元整式方程的解的别称。
阿拉伯人阿尔．花拉子米（783-850）在公元820年左右出版了《代数学》一书。
书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix 。
花拉子米在数学史上地位很高，他的名字被误传为拉丁化的 “algorism ”，后来该词具有“计算艺术”的意思，即我们今天所称的“算术”（arithmetic ）。
我国清代数学家梅谷城（1681-1763）把西方传入的代数学译为“借根方”，把代数看成求解方程的科学。
法国十六世纪最有影响的数学家之一韦达（Viete ，Francois ，seigneurdeLa Bigotiere ），第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他生于法国的普瓦图。
年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员。
韦达是第一个使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达还讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
在一元二次方程的特例，两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。
阿尔．花拉子米（783-850） 韦达 法国人（1540年- 1603年12月13日）设，是一元二次方程的两根，那么，韦达定理的逆定理同样成立。
仍然以一元二次方程为例：给定一个一元二次方程。
如果有两个数，它们的和等于该方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它们的积又等于该方程的常数项除以二次项系数，那么它们就是该方程的两根。
设关于的一元二次方程为，且，，、必定是一元二次方程的两个根。
韦达定理还有拓广，如当一元二次方程不存在实数根时，韦达定理在虚数范围内依然存在。
对于一元n次方程，也有类似的结论。
韦达从事数学研究只是出于律师工作外的爱好，但就是这个爱好让他名垂千史。
判别式和韦达定理
第三讲：判别式和韦达定理知识要点：设一元二次方程),,;0(02为实数c b a a c bx ax ≠=++的判别式为⊿ac b 42-=，二根为21,x x ，则（1）当⊿>0时，方程有二不等实数根，反之，亦成立；当⊿<0时，方程无实数根，反之亦成立；当⊿=0时，方程有二相等实数根，反之，亦成立。
（2）a b x x -=+21，a c x x =21。
反之，若二数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =21，则次二数是方程02=++c bx ax 的二根，这就是韦达定理，即根与系数的关系。
应用举例：一、判别根的性质例1， 已知方程02=++c bx x 的两根为1,4，是判断方程022=++bx cx 的根的情况。
例 2 已知方程022=--m x x 无实数根（m 为实数），试判断方程0)1(22=+++m m mx x 有么有实数根。
二、求某些值21x x + 21x x 21x x -2221x x + 2221x x -2111x x +例3设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，试求2112x x x x +，21x x -的值。
例4 已知方程0)12(22=+++k x k x 的两实数根的平方和等于7，求k 的值。
三、求方程的解提示：已知方程和它的一个根，最好用韦达定理求解例5已知2=x 是方程032=+-b x x 的一根，求此方程的另一根及b 的值。
例6 解方程组：21,311=-=+xy y x 。
1、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 有两个实数根，则下列关于判别式c b 42-的判断正确的是（ ）A ．042≥-c b ；B ．042≥-c b ；C ．042≥-c b ；D ．042≥-c b ．2、已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中,下列命题是真命题的有（ ）个.①若a +b +c =0，则b 2－4ac ≥0；②若方程ax 2+bx +c =0两根为－1和2，则2a +c =0；③若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根。
韦达定理与根的判别式
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程第3讲根的判别式与韦达定理(含答案)
中考要求知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224(24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．根的判别式与韦达定理②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=21x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【解析】方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca=---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得124422x x --+=-=，122x x ⋅=-=【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x ⑴12x x +=；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===+=☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1-，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =-代入原方程，求p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用一、 内容提要1.一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b 2－4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－P ，x 1x 2=qx 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．x 2－(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．二、 热身练习1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且关于x 的一元二次方程(c －b )x 2+2(b －a )x +(a －b )=0有两个相等的实根,则这个三角形是（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 不等边三角形2．关于x 的一元二次方程2(21)(1)10a x a x -+++=的两个根相等，那么a 等于（ ）Ａ．1-或5- Ｂ．1-或5 Ｃ．1或5- Ｄ．1或5 3．已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。
4．方程x 2－2x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1－1）（x 2－1）=_________。
5．已知α、β是一元二次方程x 2－4x －3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）= ．6．已知一元二次方程)2110x x -=的两根为1x 、2x ,则1211x x +=________. 7．已知一个直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，判断关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况。
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根的判别式ac b 42-
根的判别式的作用：
①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.
例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根，
（1）求k 的取值范围。
（2）化简4k 4k 2k 2+-+--
针对练习：
1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5
4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.
5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根.
6. 已知a 、b 、c 是ABC ∆三条边的长，那么方程()04
2=+
++c x b a cx 的根的情况是
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m
⑴有两个实数根，则m 为 ,
⑵只有一个根，则m 为 。
例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
考点六、根与系数的关系
⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥∆时， 才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。
几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形
①()212212221x x 2x x x x -+=+ ②()21212
21221x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅ ③()()()2212121a x x a x x a x a x +++⋅=++
④2
121
21x x x x x 1x 1⋅+=+ ⑤221112121212
22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== ⑥()()2
2121221222122212221x x x x 2x x x x x x x 1x 1
⋅-+=⋅+=+ ⑦22121212()()4x x x x x x -=+- ⑧()()2122122121x x 4x x x x x x -+=-=-
说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握b a +、b a -、ab 、22b a +之间的运算关系.
【练习1】 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
【练习2】 一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____.
【练习3】 已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为________．
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）
A.3
B.3
C.6
D.6
例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；
若不存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则
a
b b a +的值为 。
例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
针对练习：
1、若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（ ）
A.8
B. －7
C.6
D.5
2.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3
3．已知472-=-a a ，472-=-b b )(b a ≠，求
b a a b +的值。
4、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根，求663722231-++x x x 的值。
5、关于x 的方程kx 2+(k+2)x+ =0有两个不相等的实数根，
是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。
24410kx kx k -++=的两个实数根．
6、已知12,x x 是一元二次方程(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2
x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4k。