韦达定理及其应用竞赛题

【内容综述】

设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。

其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】

1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时，

（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得

.b d _ 盘2 +於 _ ©4对'一M)_ [-餌一*1

..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- /

L? h ■

说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。

其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。

附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G

思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理,

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数

a ，

b ，c

称之 b 电等都可以用方

的值。

-I-J1 = 1 規=

一

.+以=强+小晴+沪）5坏-旳知4

i （用1尸一 2饷7 - 2伽尸[如+一加用伽+即）]-伽『（K1 +劝

L J

='[1^ -3（-l ）P 一_彳-1）.1]_（-1『.1

彳十1 =33

2. 构造一元二次方程

如果我们知道问题中某两个字母的和与积，贝U 可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程。

★★★★例3设一元二次方程/ -pzq"的二实根为比和心。

（1）试求以i 和为根的一元二次方程;

所以，所求方程为快-逍卄护"

解之可得由②得小

X 2 2x 1 0 , x 2 1 0，其中x 2

1 0无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。

3. 证明等式或不等式

根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：富=1b ,八=必-5，求证a=b 。 证明由已知得"乃，血*+ g 。

根据韦达定理的逆定理知，以a , b 为根的关于x 的实系数一元二次方程为

（2）若以J 和0''为根的一元二次方程仍为 解（1）由韦达定理知

? 0

卫求所有这样的一元二次方程。

（2）由已知条件可得

P 三 p(p2-3q)①

■ L ©

(p,q ) =(0,0) , (1,0) 于是，得以下七个方程

,(1,0) , (0,1)

m=CI F -K = Q

,(2,1) , ( 2,1)或(0,

1)。

忙^+片暑

+1 = 0 *-2^41 = 0

由a ，b 为实数知此方程有实根。

:.A =(-冷_4牡+巧=」以>0。

••• c 2

0，故c=0,从而山=U 。这表明①有两个相等实根，即有 a=b 。

说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得

c=0后，由恒等式

@ +研弋时7处可得,即a=b 。此方法较第一种烦琐，且需一定的 跳跃性思维。

4 •研究方程根的情况

将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性 等。关于方程肚2+肚4£ = O C H D)的实根符号判定有下述定理：

⑴方程有二正根, abv0, ac>0； ⑵方程有二负根73°，ab>0, ac>0； ⑶方程有异号二根U , acvo ；

⑷方程两根均为“ 0”导b=c=0,侵护0;

* + 2就+6-农=0的根分别满足下列条件，试求实数 a 的范 围。

解设此方程的二根为

Xj -K = -2c?

=

, 。

⑴方程二根均大于1的条件为

j （孔■ 1）+（心 ~ 1） = —2ct — 2 > 0]

（工L 一 1）（工2 _ 1） = S — 口一 卜 + 1 > 0,

解之得

7 a 3

⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为

★★★例5设一元二次方程 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1,另一根小于 1。

思路设方程二根分别为可， g ，则二根均大于1等价于和力J 同时为正；一根大

于1,另一根小于是等价于心T 和比T

异号。

4a 2 4(6 a) 0,

(xi 1)(x2 1) 6 a ( 2a) 1

0.

解之得。

a 7。

说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉 及二次不等式

的解法，请参照后继相关内容。此例若用二次函数知识求解，则解题过程极 为简便。

5.求参数的值与解方程

韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。 ★★★例6解方程血"凡齐*4沧“）7。 解：原方程可变形为

愀 + T ）^（dx + S ）（6r+ M= 72。 令@工+ 7『=& 血刑血+ 6）7。贝y

fl + f —h) ■ 1 £?(—&)■—12

由韦达定理逆定理知，以a , b 为根的一元二次方程是

卜2 -$ - 73 = 0

解得九■弋，F2 .9。即a= 8或a=9。

「（张+ 7尸=◎

通过［愀珂愀词"求解x 结果相同，且严谨。

..((Sr + 7^ =9 @X + 7)2 =-8

强化训练

★★ 1.若k 为正整数，且方程（疋-加-弼-1）" 72 = 0有两个不等的正整数根，则k 的值为

★★ 2.若r^ + llx + lfi = 0 X +11尸+ 1方=0(工*)

★★★ 3.已知可和勺是方程*-上亠D 的二实根，则2才+硏■

5

工卫=——

孑。此种方法应检验: 做词愀‘円是或否成立 （舍去）。