韦达定理及其应用竞赛题
巧用韦达定理解一道竞赛题
数 学 通 讯 2001 年第 6 期
巧用韦达定理解一道竞赛题 3
胡如松
(湘乡市第一中学 ,湖南 湘乡 411400) 中图分类号 :O12 - 44 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 06 - 0046 - 01
题 给定实数 a , b , c , 已知复数 z 1 , z 2 ,
u3
=
z3 z1
,
则 u1 + u2 + u3 = 1
(1)
且| u1| = | u2| = | u3| = 1.
而
u1 u2 +
u2 u3
+
u3 u1
=
1 u1
+
1 u2
+
1 u3
= u1 + u2 + u3 = u1 + u2 + u3 = 1.
即 u1 u2 + u2 u3 + u3 u1 = 1
我在学习过程中发现有一些题目若用辅
助圆来解决则显得简捷 、明朗.
例
1
( 2000
年全国高考试题)
椭圆
x2 9
+
y2 4
=
1
的焦点为
F1 、F2 , 点
P 为其上的动
点 ,当 ∠F1 PF2 为钝角时 , 求点 P 横坐标的
取值范围.
收稿日期 :2000 - 09 - 09 作者简介 :胡如松 ( 1962 —) , 男 , 湖南双峰县人 , 湖南湘乡市第一中学高级教 师 ,学士.
(2)
同时易知 u1 u2 u3 = 1
(3)
由(1) , (2) , (3) 及韦达定理知 : u1 , u2 ,
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。
2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。
3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。
韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程，，，，，0x2=x21x2=+无实数根，舍去。
-，其中01+x2=+，01其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
九年级数学竞赛资料专题(四)——韦达定理的应用下
韦达定理的应用例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p ＋q＞1．(四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a(2) 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
初三奥数：韦达定理在竞赛中的应用
韦达定理在初中数学竞赛题中的应用设一元二次方程 ax 2bx c 0(a 0) 的两根为 x 1、 x 2 ，则 x 1 x 2b ，x 2 c这个定理叫韦达定理。
ax 1a韦达定理是初中数学竞赛的重点内容， 题型多样， 方法灵活，触及知识面广。
例 1、 已知实数 a b ，且满足 (a1) 2 3 3(a 1) ， 3(b 1) 3 (b 1) 2则bba a的值为（）（2004 年全国初中数学竞赛试题第 1 题）ab（A ）23 （ B ） -23 （C ）-2（D ）-13解：∵ a 、 b 是关于 x 的方程 ( x 1)23( x1) 3 0 的两个不相等的实数根，整理此方程，得x 25x1 0 ，∵△ =25-4>0∴ a b5， ab 1故 a 、 b 均为负数。
因此bbaab ab a ab = a 2b 2ab = ( a b) 22ab23a ba babab所以选（ B ）例 2、实数 s.t 分别满足 19s 299s 10, t 2 99t 19 0, st1，求st4s 1 的值。
19 0 可化为 19(1)299(1) 1 t解：由题设知 t0 ，∴ t 2 99t 01t t又 st 1，∴ st∴ s ， 1是方程 19x 2 99x 10 的两个不相等的实数根。
t ∴ s199 ， s 11t 19t19st 4s 1 = s 1 4s 1 = 99 4 1=95= 5。
tt t 19 19 19例 3、若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0,9b 22001b5 0 ，则 a的值是（）b（A ）9（B ）5（C ）2001 （D ） 20015 959解：由题设知 b0 ，∴9b22001b 5 0可化为520019 0 b2b又∵ 5a22001a 90 ，且ab 1 ，∴ a, 1是方程5x22001x 90 的两个不相等的实数根。
b∴ a 1=a9 b b5所以选（ A）例 4、已知3m22m50,5n22n30 ，其中 m.n 为实数，求 m 1的值。
初三数学竞赛专题——韦达定理
初三数学竞赛专题——韦达定理一、选择题1．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413B ．1949413C ．999413D ．979413 答案：B2．如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( )A ．22123B ．22125或2C ．22125D ．22123或2(2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题)答案：B3．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3答案：C 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1答案：C5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x答案：C6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 答案：C7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25C ．5D ．2 答案：B二、填空题8．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． (2003年天津市竞赛题)答案：5．9．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2001年内蒙古中考题)(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．(2003年四川省中考题)答案：（1）2135-≤<-m ；（2）7>m 10．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．(2003年金华市中考题)答案：611．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．(2002年四川省竞赛题) 答案：18211≤<m ． 12．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．(2002年湖北省黄冈市中考题)答案：一313．已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． (2001年浙江省绍兴市竞赛题)答案：014．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)答案：30，2三、解答题15．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 答案：（1）125≤k ；（2）0=k ． 16．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．(2002年苏州市中考题)答案：（1）△=02)1(22>+-m ；（2）4=m ，51±=x ；0=m ，01=x ，22-=x17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．答案：1222===n m BD AD BC AC ，即m=2n ①，△=4n 2一m 2—8n 十16>0 ②，把①代人②得，n ≤2．又222119)(<-x x ，得4n 2一m 2—8n+4<0③，把①代人③，得n>21，∴221≤<n ， ∴n=l ，2，从而得m=2或4．18．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．(全国初中数学联赛题) 答案：（1）2175-=m ；（2）原式=25)23(22--m ，当1-=m 时，最大值为10．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；(2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．答案：（1）m=8；（2）BE=2．20．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．(第十六届江苏省竞赛题) 答案：当32=m 时，2221x x +有最小值，这个最小值为98 21．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题) 答案：（1）当m=2时，△=0，∴AB ∥CD 且AB=CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．当m>2时，△=m 一2>0，又AB+CD ＝2m>0，047)21(2>+-=⋅m CD AB ，∴AB ≠CD ，而AB ∥CD ，故四边形ABCD 是梯形．（2）12121=-=AB DC PQ ，∴2=-AB DC ，∵AB DC BC DC AB DC ⋅-+=-4)()(22 ，∴)2(4)2(2222+--=m m m ，解得3=m ，从而AB=2，CD=4．22．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．(2000年俄罗斯数学竞赛题)答案：设01121=++ax x ，0121=++c bx x ，得b a c x --=11，由0222=++a x x ，0222=++b cx x ，得12--=c b a x （c ≠1），故121x x =．另一方面由韦达定理知11x 是第一个方程的根，这就表明2x 是方程012=++ax x 和02=++a x x 的公共根．因此两式相减有0)1)(1(2=--x a ，但当1=a 时，这两个方程无实根，故x 2=l ，从而x 1=l ，于是2-=a ，1-=+c b ，所以3-=++c b a23．关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 答案：由条件得14)(2+=+ab b a ，又△=0434)(92≥⨯⨯-+ab b a ，∴ab b a 316)(2≥+，即ab ab 31614≥+，∴4ab ≤3，从而4ab+1≤4．即(a+b)2≤4．。
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【内容综述】设一元二次方程 宀肚…。
佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。
思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。
解（1）当a=b 时，（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得.b d _ 盘2 +於 _ ©4对'一M)_ [-餌一*1..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- /L? h ■说明此题易漏解a=b 的情况。
根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。
一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。
其中n 为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。
★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理,这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c称之 b 电等都可以用方的值。
-I-J1 = 1 規=一.+以=强+小晴+沪）5坏-旳知4i （用1尸一 2饷7 - 2伽尸[如+一加用伽+即）]-伽『（K1 +劝L J='[1^ -3（-l ）P 一_彳-1）.1]_（-1『.1彳十1 =332. 构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，贝U 可以利用韦达定理构造以这两个字母为 根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程/ -pzq"的二实根为比和心。
（1）试求以i 和为根的一元二次方程;所以，所求方程为快-逍卄护"解之可得由②得小X 2 2x 1 0 , x 2 1 0，其中x 21 0无实数根，舍去。
其余六个方程均为所求。
3. 证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
★★★例4已知a ，b ，c 为实数，且满足条件：富=1b ,八=必-5，求证a=b 。
证明由已知得"乃，血*+ g 。
根据韦达定理的逆定理知，以a , b 为根的关于x 的实系数一元二次方程为（2）若以J 和0''为根的一元二次方程仍为 解（1）由韦达定理知? 0卫求所有这样的一元二次方程。
（2）由已知条件可得P 三 p(p2-3q)①■ L ©(p,q ) =(0,0) , (1,0) 于是，得以下七个方程,(1,0) , (0,1)m=CI F -K = Q,(2,1) , ( 2,1)或(0,1)。
忙^+片暑+1 = 0 *-2^41 = 0由a ，b 为实数知此方程有实根。
:.A =(-冷_4牡+巧=」以>0。
••• c 20，故c=0,从而山=U 。
这表明①有两个相等实根，即有 a=b 。
说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。
另外在求得c=0后，由恒等式@ +研弋时7处可得,即a=b 。
此方法较第一种烦琐，且需一定的 跳跃性思维。
4 •研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性 等。
关于方程肚2+肚4£ = O C H D)的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根, abv0, ac>0； ⑵方程有二负根73°，ab>0, ac>0； ⑶方程有异号二根U , acvo ；⑷方程两根均为“ 0”导b=c=0,侵护0;* + 2就+6-农=0的根分别满足下列条件，试求实数 a 的范 围。
解设此方程的二根为Xj -K = -2c?=, 。
⑴方程二根均大于1的条件为j （孔■ 1）+（心 ~ 1） = —2ct — 2 > 0]（工L 一 1）（工2 _ 1） = S — 口一 卜 + 1 > 0,解之得7 a 3⑵方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为★★★例5设一元二次方程 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1,另一根小于 1。
思路设方程二根分别为可， g ，则二根均大于1等价于和力J 同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于心T 和比T异号。
4a 2 4(6 a) 0,(xi 1)(x2 1) 6 a ( 2a) 10.解之得。
a 7。
说明此例属于二次方程实根的分布问题，注意命题转换的等价性；解题过程中涉 及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。
此例若用二次函数知识求解，则解题过程极 为简便。
5.求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程（组）中也有着许多巧妙的应用。
★★★例6解方程血"凡齐*4沧“）7。
解：原方程可变形为愀 + T ）^（dx + S ）（6r+ M= 72。
令@工+ 7『=& 血刑血+ 6）7。
贝yfl + f —h) ■ 1 £?(—&)■—12由韦达定理逆定理知，以a , b 为根的一元二次方程是卜2 -$ - 73 = 0解得九■弋，F2 .9。
即a= 8或a=9。
「（张+ 7尸=◎通过［愀珂愀词"求解x 结果相同，且严谨。
..((Sr + 7^ =9 @X + 7)2 =-8强化训练★★ 1.若k 为正整数，且方程（疋-加-弼-1）" 72 = 0有两个不等的正整数根，则k 的值为★★ 2.若r^ + llx + lfi = 0 X +11尸+ 1方=0(工*)★★★ 3.已知可和勺是方程*-上亠D 的二实根，则2才+硏■5工卫=——孑。
此种方法应检验: 做词愀‘円是或否成立 （舍去）。
★★★ 4.已知方程上'+用y-期+1 = 0 （m 为整数）有两个不等的正整数根，求 m 的值。
且宀仁求证：0,盘是方程^* + 1-（^+ 0" -0的实根。
★★★★ 6.已知关于x 的方程H 小亠的二实根鼻和同满足0 +烬2 L 试求k 的值。
参考答案_ 13 =丄提示：原方程即 1^+0^- 12][（^r-l ）x-6]-D ,所以®H- （k-l ）F 知k=2, 3,4, 7。
所以k=2, 3,但k=3时原方程有二相等正整数根， 不合题意。
故k=2。
2. 提示：由x , y 为方程與2 +1闻斗16 = 0的二根，知器+F = T1 , W 于杲庾式-卜=-[R+F F -4 型3. 21提示：由讦741,上：■工汀1,峙+工厂1知,2计4 5边-3孔亿+ 1）2 + 5工2亿+1）=瓯kf 十2工]十1）十5x 孑十5“-+ 1 ++ 1） + 5仗空 + 1） + 5工2=dxi 十4<1十1叱十5=6（工1 + 1）+4X] + 10x2 ■+ 5 =10（巧 + 习）十 L =21★★★★ 5.已知：購和/「为方程 dpW-Q 及方程kB 级加 +”'丁＜ 士孑"+ 0的实根，其中n 为正奇数, 1 由2恥知 k=1, 2, 3,5, 11;由消去m 得(空-L)曲-1)・习。
则卜_ 1 = 1|且严1 M 2。
「E =3, 』r=3。
故用-斗《 + 0)--5。
5.由韦达定理有 卄少-P ，讣 J又』+ 2讨=0 产”捫= D 。
J 宀护“00料护将心少咽代入有卅+ P” -依斗冏―0。
f4-1- -+1y J4 .设二个不等的正整数根为 H|,力1&<0)K+ P= 一用，，由韦达定理，有［叩一用"二式相减得从而序」同理=0宀1-(工+护-0的根。
6 .当时，可知1，所以 14 k 3 12k 2，当时，易证得宀炉。
从而出‘为方程尹-笼"=0的二不同实根。
二起2+02 M3/护三址。
于是4 =佃+ 0『三C? + 0，+ 2BS^= 3+ 2哪r =q k = CX^ 护=(cx^y = E,。
k = L宀一3F + i = 0当4时，方程为 4 。
解得茂=1卫0」取；,兀即能符合题意，故k的值为4。