韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用内容综述设一元二次方程有二实数根,则, ;这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a,b,c的关系,称之为韦达定理;其逆命题也成立;韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用;本讲重点介绍它在五个方面的应用;要点讲解1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值;★★例1若a,b为实数,且,,求的值;思路注意a,b为方程的二实根；隐含;说明此题易漏解a=b的情况;根的对称多项式,,等都可以用方程的系数表达出来;一般地,设,为方程的二根,,则有递推关系;其中n为自然数;由此关系可解一批竞赛题;附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a,b值进而求出所求多项式值,但计算量较大;★★★例2若,且,试求代数式的值;思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解,也可以借助于代数变形来完成;2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程;★★★★例3设一元二次方程的二实根为和;1试求以和为根的一元二次方程；2若以和为根的一元二次方程仍为;求所有这样的一元二次方程;3．证明等式或不等式根据韦达定理或逆定理及判别式,可以证明某些恒等式或不等式;★★★例4已知a,b,c为实数,且满足条件：,,求证a=b;说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧;另外在求得c=0后,由恒等式可得,即a=b;此方法较第一种烦琐,且需一定的跳跃性思维;4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合,可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等;关于方程的实根符号判定有下述定理：⑴方程有二正根,ab<0,ac>0；⑵方程有二负根,ab>0,ac>0；⑶方程有异号二根,ac<0；⑷方程两根均为“0”,b=c=0,；★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件,试求实数a 的范围;⑴二根均大于1；⑵一根大于1,另一根小于1;思路设方程二根分别为,,则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1,另一根小于是等价于和异号;说明此例属于二次方程实根的分布问题,注意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法,请参照后继相关内容;此例若用二次函数知识求解,则解题过程极为简便;5．求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着许多巧妙的应用;★★★例6解方程;强化训练A 级★★1.若k为正整数,且方程有两个不等的正整数根,则k的值为________________;★★2.若,,则_______________;★★★3 .已知和是方程的二实根,则_____________;★★★4.已知方程m为整数有两个不等的正整数根,求m的值;Ｂ级★★★★5.已知：和为方程及方程的实根,其中n为正奇数,且;求证：,是方程的实根;★★★★6.已知关于x的方程的二实根和满足,试求k的值;。
认识韦达定理：什么是韦达定理？如何应用？
**韦达定理的认识与应用**一、韦达定理的定义与来源韦达定理，也称为韦达公式，是一元二次方程的重要定理之一，由法国数学家弗朗索瓦·韦达在1615年提出。
韦达定理指出，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个根x₁和x₂满足以下关系：1. x₁ + x₂ = -b/a2. x₁ × x₂ = c/a韦达定理不仅是一元二次方程根与系数之间关系的体现，更是代数学中的基本定理之一，具有广泛的应用价值。
二、韦达定理的详细阐述1. 根与系数的关系韦达定理最核心的内容是一元二次方程的根与系数之间的关系。
对于一个标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，其两个根x₁和x₂与系数a、b、c之间存在确定的数学关系。
具体来说，就是x₁和x₂的和等于-b除以a，x₁和x₂的乘积等于c除以a。
2. 定理的证明韦达定理的证明主要依赖于一元二次方程的求根公式。
对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其求根公式为x=(−b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过这个求根公式，我们可以直接计算出x₁和x₂的值，然后验证它们与系数a、b、c之间的关系是否满足韦达定理。
三、韦达定理的应用场景1. 解一元二次方程韦达定理最直接的应用就是解一元二次方程。
通过韦达定理，我们可以根据一元二次方程的系数直接得出其根的和与积，这在某些情况下比使用求根公式更加简便。
2. 判断根的情况通过韦达定理，我们还可以判断一元二次方程根的情况。
例如，如果系数b²-4ac大于0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；如果b²-4ac等于0，则一元二次方程有两个相等的实数根；如果b²-4ac小于0，则一元二次方程没有实数根。
3. 解决其他问题除了解决一元二次方程本身的问题外，韦达定理还可以应用于其他数学问题和实际问题中。
例如，在代数式求值、方程组的求解、几何问题的计算等方面都可以看到韦达定理的应用。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围1. 引言韦达定理是一种在微积分中常用的定理，它是数学家韦达在17世纪提出的。
韦达定理的核心思想是将函数的导数与原函数的关系进行转换，从而简化计算过程。
在数学和物理学等领域，韦达定理被广泛应用于求解函数的极值、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。
本文将介绍韦达定理的基本概念、公式推导以及适用范围，以帮助读者更好地理解和应用韦达定理。
2. 韦达定理的基本概念韦达定理是微积分中的一条基本定理，它建立了函数的导数与原函数的关系。
在微积分中，函数的导数表示了函数在某一点上的斜率或变化率，而原函数则表示了函数在某一区间上的积分。
韦达定理的基本概念可以用以下公式表示：∫fba′(x)dx=f(b)−f(a)其中，f′(x)表示函数f(x)的导数，∫ba 表示对x从a到b的积分，f(b)和f(a)分别表示函数f(x)在点b和点a上的取值。
3. 韦达定理的公式推导要理解韦达定理的公式推导，我们首先需要了解定积分和不定积分的概念。
定积分表示区间上函数的积分，可以用以下公式表示：∫fba(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)表示函数f(x)在区间[a,b]上的取值，F(x)表示函数f(x)的原函数。
不定积分表示函数的原函数，可以用以下公式表示：∫f′(x)dx=f(x)+C其中，f′(x)表示函数f(x)的导数，C表示常数。
韦达定理的公式推导基于这两个基本概念。
我们可以将定积分的上限b看作是一个变量x，并将定积分的下限a看作是一个常数。
这样，我们可以将定积分表示为不定积分的形式：x(t)dt=F(x)−F(a)∫fa接下来，我们对上式两边求导数，根据链式法则和基本求导法则，可以得到：f(x)=F′(x)这就是韦达定理的公式推导过程。
它表明，函数的导数等于函数的原函数的导数。
4. 韦达定理的适用范围韦达定理的适用范围非常广泛，它可以用于求解函数的极值、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。
4.1 函数的极值在求解函数的极值时，韦达定理可以帮助我们简化计算过程。
韦达定理适用范围
韦达定理适用范围摘要：一、韦达定理简介1.韦达定理的概念2.韦达定理的历史背景二、韦达定理的适用范围1.多项式的系数2.复数域上的韦达定理3.实数域上的韦达定理三、韦达定理在数学中的应用1.在代数中的应用2.在几何中的应用四、韦达定理的限制和扩展1.韦达定理的限制条件2.韦达定理的扩展和推广正文：韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于16世纪提出的一个数学定理。
该定理为我们解决代数问题和几何问题提供了一个强大的工具，具有重要的理论和应用价值。
韦达定理的基本内容是：对于任意一个n次多项式方程，假设其根为x1, x2, ..., xn，那么这些根的和、积以及它们的和与积的关系都可以用系数表示。
具体来说，设多项式方程为a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + ...+ a_1x + a_0 = 0，那么有：x1 + x2 + ...+ xn = -a_1/a_nx1x2 + x1x3 + ...+ x_(n-1)xn = a_2/a_nx1x2x3 + ...+ x_(n-2)x_(n-1)xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n...x1x2...xn = (-1)^(n-1)a_(n-1)/a_n韦达定理的适用范围非常广泛，不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在实数域上，韦达定理可以帮助我们求解多项式的根，以及根与系数之间的关系；在复数域上，韦达定理也有类似的结论。
此外，韦达定理在代数和几何中都有重要的应用。
在代数中，韦达定理可以用于解决诸如因式分解、方程根的性质等问题。
例如，我们可以利用韦达定理求解二次方程的根，从而得到其因式分解形式。
同时，韦达定理还可以帮助我们研究方程根的性质，如根与系数之间的关系、根的判别式等。
在几何中，韦达定理可以用于解决诸如圆的性质、椭圆的性质等问题。
例如，对于椭圆的性质，我们可以利用韦达定理求解其长轴和短轴的比值，从而得到椭圆的离心率。
韦达定理的原理应用是什么
韦达定理的原理应用是什么1. 韦达定理简介韦达定理（Vieta’s theorem）是一个用于解二次方程的定理，它通过多项式的系数与根之间的关系，揭示了根与系数之间的重要特征。
这个定理是以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名的，他在16世纪首次提出了这个定理。
2. 韦达定理的表述如果我们有一个二次方程：ax2+bx+c=0其中a、b、c是实数，x是未知数。
韦达定理给出了与这个二次方程相关的根之间的关系：如果r1和r2是方程的两个实数根，那么他们满足以下关系：r1 + r2 = -b / ar1 * r2 = c / a这些关系将帮助我们解决二次方程并找到其根的值。
3. 韦达定理的应用韦达定理有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1. 求二次方程的根韦达定理为我们提供了一个实用的方法来求解二次方程的根。
我们只需要根据方程的系数，计算出和与积的值，然后利用韦达定理的关系式即可得到方程的两个根。
例如，对于方程 2x^2 + 3x - 5 = 0，我们可以使用韦达定理计算出： - 和的值：-3 / 2 - 积的值：-5 / 2这样我们就得到了方程的两个根。
3.2. 寻找根与系数之间的关系韦达定理不仅仅是一个用于解二次方程的工具，它还揭示了根与系数之间的重要关系。
通过韦达定理，我们可以发现以下一些有趣的规律：•和的值与一次项系数的相反数成比例：根的和与一次项系数的相反数成正比。
即 r1 + r2 = -b / a•积的值与常数项成比例：根的积与常数项成正比。
即 r1 * r2 = c / a这些规律对于我们研究多项式方程的性质以及根的特性都非常有用。
3.3. 解决实际问题韦达定理可以应用于解决一些实际的问题。
例如，假设我们正在研究一个投掷物体的运动，我们希望知道在什么时候物体落地。
我们可以将物体的运动模型建立为二次方程，然后通过韦达定理求解出方程的根。
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
超级韦达定理
超级韦达定理韦达定理是初中数学中常见的一个定理，用于求解一元二次方程的根。
然而，有一天，一位数学家发现了一种更加强大的定理，被称为超级韦达定理。
这个定理不仅可以解决一元二次方程，还可以应用于更高阶的多项式方程。
本文将介绍超级韦达定理的原理、应用以及一些相关的例子。
超级韦达定理是基于韦达定理推导出来的，因此我们先来回顾一下韦达定理。
韦达定理是指对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以用下面的公式计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±表示两个根的取正负号的不同组合。
当判别式Δ= b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不相等的实根；当Δ等于零时，方程有两个相等的实根；当Δ小于零时，方程有两个共轭复数根。
超级韦达定理的核心思想是将多项式方程转化为一元二次方程，然后应用韦达定理来求解。
对于一个n阶的多项式方程，如f(x) =a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0，我们可以通过变量替换来将其转化为一元二次方程。
令y = x^n，我们可以得到一个一元二次方程g(y) = a_ny^2 + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_0 = 0。
然后，我们可以通过韦达定理来解这个方程，得到y的根，然后再将y的根转化为x的根。
这种转化多项式方程的方法使得我们可以利用已有的韦达定理的求根公式来解决更高阶的多项式方程。
它极大地简化了多项式方程的求解过程，并且广泛应用于数学、物理、工程等领域。
下面我们通过一些例子来详细说明超级韦达定理的应用。
例子1：解三次方程考虑方程f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x - 1 = 0。
我们可以通过变量替换y = x^3，得到一个一元二次方程g(y) = 2y^2 + 3y - 2y - 1 = 0。
通过韦达定理，我们可以求得y的根为y1 = 1/2和y2 = -1。
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韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(221ab ba++)2004的值。
解析由①知1+21a-21a=0,即(1a)2-2·1a-1 =0,③由②知(b2)2-2b2-1=0,④∴1a,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根.由韦达定理,得1a+b2=2,1a·b2=-1.∴221ab ba++=[(1a+b2)+2ba]2004=(2-1)2004=1.点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,•难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为714,求a的值.解析 设方程的两实根为x 1,x 2,根据韦达定理,有 1212,221.2a x x a x x ⎧+=-⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩于是,x 2212x x +=(x 1+x 2)2-2x 1·x 2=(-2a )2-2·212a -+=14（a 2+8a -4）依题设,得14(a 2+8a -4)=714.解得a=-11或3.注意到x 1,x 2•为方程的两个实数根,则△≥0,但a=-11时,△=(-11)2+16×(-11)-8=-63<0; a=3时,△=32-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式△≥0,本题容易忽视的就是求出a 的值后,没有考虑a 的值满足△≥0这一前提条件.例2 已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0,求:(1)m 为何值时,•方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m 为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m 为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1.解析 (1)据题意知,m 应当满足条件 21244(2)0,20.m m x x m ⎧∆=-+>⎨=+<⎩即 (1)(1)0,2.m m m -+>⎧⎨<-⎩由①,得m>2或m<-1, ∴m<-2.(2)m 应当满足的条件是2121244(2)0,20,20.m m x x m x x m ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪=+>⎩即21,0,2.m m m m ≥≤-⎧⎪<⎨⎪>-⎩或∴-2<m<-1.(3)m 应当满足的条件是21244(2)0,(1)(1)0.m m x x ⎧∆=-+>⎨--<⎩即21,2(2)10.m m m m ><-⎧⎨+--+<⎩或∴21,1.m m m ><-⎧⎨<-⎩或∴m<-1.点评若已知含字母系数的一元二次方程的根的范围,求字母系数的范围,应根据已知和韦达定理,灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来,然后再求解.【好题妙解】佳题新题品味例 已知△ABC 的边长分别为a,b,c,且a>b>c,2b=a+c,b 为正整数,若a 2+b 2+c 2=84,求b 的值.解析 依题设,有 a+c=2b, ① a 2+b 2+c 2=84. ②②可变为(a +c)+2-2ac=84-b 2, ③ ①代入③,得 ac=25842b -, ④∴a 、c 是关于x 的一元二次方程x 2-2bx+25842b -=0的两个不相等的正实数根.222584440,25840.2b b b ⎧-∆=-⨯>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩即16<b2<28.又b为正整数,故b=5. 点评韦达定理的逆定理是:如果x1,x2满足x1+x2=-ba，x1·x2=ca,那么x1·x2•是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,此解的独特之处在于利用a+c=2b,将a2+b2+c2=84•转变为ac=25842b,从而构造韦达定理逆定理所需的条件.中考真题欣赏例1(2001年河南省)已知关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,•y1,y2是关于y的方程y2+(2-b)y+4=0的两个根,.解析∵关于x的方程4x2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,∴△=(4b)2-4×4×7b=0,即b2-7b=0.∴b1=0,b2=7.当b=0时,,关于y的方程化为y2+2y+4=0,因△=4-16=-12<0,方程无解.当b=7时,关于y的方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=4,y2=1.∴y2-3y+2=0.点评本题既考查了判别式,韦达定理的逆定理,又考查了分类讨论的思想,b=0时得到的方程无解易忽视,应重视.例2(2001年四川省)已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0•的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;•若不能同号,请说明理由.解析∵关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,∴△=[4(m-1)]2-4×4m2=-32m+16≥0,∴m≤1 2 .又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根.∴x 1+x 2=-(m-1),x 1·x 2=14m 2假设x 1,x 2同号,则有两种可能: ①若x 1>0,x 2>0,则12120,0.x x x x +>⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m -->⎧⎪⎨>⎪⎩∴m<1且m≠0,此时,m≤12且m≠0;②若x 1<0,x 2<0则有12120,0.x x x x +<⎧⎨>⎩ 即2(1)0,10.4m m --<⎧⎪⎨>⎪⎩而m≤12时方程才有实数根,∴ 此种情况不可能.综上所述,当m 的取值范围为m≤12且m≠0时,方程的两实根同号.点评存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在.竞赛样题展示例 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k 值:使关于x •的方程kx 2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.解析 (1)当k=0时,方程为x -1=0,有整数根1;(2)当k ≠0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x 1,x 2,则 1212111,111.k x x k k k x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩由①-②,得x 1+x 2-x 1·x 2=-2, 即(x 1-1)(x 2-1)=3. ∵x 1,x 2为整数,∴1211,13,x x -=⎧⎨-=⎩或1211,13,x x -=-⎧⎨-=-⎩或1213,11,x x -=⎧⎨-=⎩或1213,1 1.x x -=-⎧⎨-=-⎩解得122,4,x x =⎧⎨=⎩或120,2,x x =⎧⎨=-⎩或124,2,x x =⎧⎨=⎩或122,0.x x =-⎧⎨=⎩代入①得k= -17或k=1.又∵△=(k+1)2-4k(k -1)=-3k 2+6k+1,当k= -17,k=1时都大于0.∴满足条件的k 值为k=0或k= -17或k=1.点评注意到方程二次项系数是参变数k 所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k 的式子,消去k,然后因式分解及因数分解求出整数根,从而求参数k.全能训练A 卷1.已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.2.已知x 1,x 2是方程3x 2-mx-2=0的两个根,且11x +21x =3,求3312x x +的值.3.已知方程x2-4x+2-k2=0,且k≠0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根大于1,另一根小于1.4.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x2+2x-3=0的两个根的平方多1.5.关于x的方程x2-4nx-3n-1=0 ①,x2-(2n+3)x-8n2+2=0 ②,若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根,求n的值.6.若a2+11a+16=0,b2+11b+16=0,A 卷答案 1.-4 2.-12∵x 1、x 2为方程3x 2-mx-2=0的两根,∴x 1+x 2=3m ,x 1·x 2=-23而11x +21x =3,∴m=-6.因此x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[(x=1+x 2)2-3x 1x 2]=-12.3.(1)∵△=(-4)2-4(2-k 2)=4k 2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根;(2)(x 1-1)(x 2-1)=x 1·x 2(x 1+x 2)+1=2-k 2-4+1=-k 2-1<0, ∴x 1-1,x 2-1中必有一个正数,一个负数. 即x 1,x 2中必有一个大于1,另一个小于1.4.9y 2-40y+40=0.设方程3x 2+2x -3=0的根为x 1,x 2,所求方程的根为y 1,y 2,而x 1+x 2=-23,x 1·x 2=-1,∴y 1+y 2=(x 12+1)+(x 22+1) =(x 1+x 2)2-2x 1x 2+2 =(-23)2-2×(-1)+2=409y 1·y 2=(x 12+1)(x 22+1) =(x 1·x 2)2+(x 12+x 22)+1=(x 1·x 2)+(x 1+x 2)2-2x 1x 2+1=409∴所求方程为y 2-409y+409=0,即9y 2-40y+40=0.5.0.提示:设方程①的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=4n,x 1·x 2=-3n -1.∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(4n)2-2(-3n-1) =16n 2+6n+2.解方程②得x 1=4n+2,x 2=1-2n.(1)当16n 2+6n+2=4n+2时,n 1=0,n 2=-18,把n 1=0,代入x 1=4n+2,得x 1=2; 把n 2=-18代入x 1=4n+2,得x 1=32不是整数,∴n=-18舍去;(2)当16n2+6n+2=1-2n时,n1=n2=-1 4 .把n=-14代入x2=1-2n,得x2=32不是整数,∴n=-14舍去.当n=0时,方程①的△1=4>0,∴n的值为0.6.0(1)当a=b时, -1=0;(2)当a≠b时,a、b是方程x2+11x+16=0两实根，从而有11,16.a bab+=-⎧⎨=⎩=14(b-a)=±14=±14B卷1.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求2α+3β2的值.2.已知两数之积ab≠1,且2a2+12234 567 890a+3=0,3b2+1234 567 890b+2=0,求a b .3.已知x 1,x 2是方程x 2-2(k -2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两实根,求2212x x 的最小值.4.如果方程(x -1)(x 2-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m 的取值范围.5.若方程(x 2-1)(x 2-4)=k 有四个非零实根,•且它们在数轴上对应的四个点等距排列,求k 值.6.已知a,b,c,d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值.B 卷答案1.18(403-由题意知α+β =7, αβ=8.于是α2+β2=(α+β)-2αβ=33,(α-β)2=( α+β)2-4αβ=17,又α>β,故α- 令A=2α+3β2,B=2β+3α2,则A+B=2α+2β+3(α2+β2) =2()αβαβ+ +3(α2+β2)=278⨯+3×33=4034, ①A- B==2α-2β+3β2-3α2=2()βααβ-+3(β-α)(β+α)=(β-α)[2αβ+3(β+α)]=(28+3×7)=-4. ②①,②两式相加,得A=18(403-).2.32.设1 234 567 890=m,则有2a 2+ma+3=0,3b 2+mb+2=0,即2(1b)2+m·1b+3=0 ,又a≠1b,故a 与1b是二次方程2x 2+mx+3=0的两个不等实根,故a b=a·1b=32.3.45049.由韦达定理得,x 1+x 2=2(k -2),x 1·x 2=k 2+3k+5.∴x 12+•x 22=•(•x 1+•x 2)2-2x 1x 2=4(k -2)2-2(k 2+3k+5)=2(k -112)2-1092又△=4(k -2)2-4(k 2+3k+5)=-28k-4≥0,即k≤-17,故只有k=-17时,x 12+x 22取最小值为45049.4.34<m≤1.由已知x 1=1,设另两根为x 2,x 3且x 2≤x 3,x 2+x 3=2,x 2·x 3=m. 又x 1>•x 3-x 2即解得m>34.又△=(-2)2-4m≥0,∴m≤1, ∴34<m≤1.5.74.设x 2=y,原方程变为y 2-5y+(4-k)=0,设此方程有实根α,β(0<α<β) , 则原方程的四个实根为, 由于它们在数轴上等距排列,即β=9α,①又54k αβαβ+=⎧⎨=-⎩由此求得k=74且满足△=25+k -16>0.6.-1.∵ (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,∴a 、b(a≠b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根, 即为方程x 2+(c+d)x+cd -•1=0的两个实根, ∴a+b=-(c+d),ab=cd -1. ∴(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=(cd-1)-(c+d)c+c2=-1.。