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韦达定理推广的证明

证明：

当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程

ax^2+bx+c=0(a≠ 0)

有两个实根 ,设为 x1,x2.

由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取

x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a,

则： x1+x2

=(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a

=-2b/2a

=-b/a,

x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a]

=[(-b)^2-]/4a^2

=4ac/4a^2

=c/a.

综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

烽火 TA000DA 2014-11-04

若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根

若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用

的。一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2⋯,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)

⋯

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端

可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得

韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与

系数之间有这种关系，因此，人们把这个关

系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代

数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法 )

在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个

根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的 .

韦达定理推广的证明

设 x1 ，x2 ，⋯⋯， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。

则有： An(x-x1)(x- 所以：An(x-x1)(x-

x2) ⋯⋯ (x -xn)=0

x2) ⋯⋯ (x -xn)= ∑AiX^i

（在打开 (x-x1)(x- x2) ⋯⋯ (x -xn) 时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（ n-1 ）=- An(∑xi)

A（ n-2 ）=An(∑xixj)

⋯

A0==(-1)^n*An * ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)

⋯

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知 p ＋ q＝ 198 ，求方程 x2 ＋ px ＋q ＝ 0 的整数根．

( ’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为 x1 、 x2 ，不妨

设 x1≤x2．由韦达定理，得

x1 ＋ x2 ＝－ p ， x1x2 ＝ q ．

于是 x1x2 －(x1 ＋ x2) ＝p ＋q ＝ 198 ，

即x1x2 －x1 － x2 ＋ 1＝

199 ．∴(x1 － 1)(x2 －1) ＝

199 ．

注意到 x1 －1、 x2 －1 均为整数，

解得 x1 ＝ 2，x2 ＝200 ；x1 ＝－ 198 ， x2 ＝0．

例2 已知关于 x 的方程 x2 － (12 －m)x ＋m － 1＝ 0 的两个根都是正整数，求m 的值．解：设方程的两个正整数根为x1 、x2 ，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1 ＋ x2 ＝12 －m ，x1x2 ＝m － 1．

于是 x1x2 ＋x1 ＋x2 ＝11 ，

即(x1 ＋ 1)(x2 ＋1) ＝ 12．

∵x1 、x2 为正整数，

解得 x1 ＝ 1，x2 ＝5； x1 ＝ 2，x2 ＝3．

故有 m ＝6 或 7．

例3 求实数 k，使得方程 kx2 ＋ (k ＋1)x

＋(k －1) ＝0 的根都是整数．

解：若 k＝ 0，得 x＝ 1，即 k＝ 0 符合要

求．若 k≠0，设二次方程的两个整数根为

x1 、

x2 ，由韦达定理得

∴x1x2 －x1 －x2 ＝ 2，

(x1 － 1)(x2 －1) ＝3 ．

因为 x1 － 1、x2 －1 均为整数，所以

例4 已知二次函数 y＝－ x2 ＋px ＋ q 的图像与 x 轴交于 ( α，0) 、( β，0) 两点，且α＞1＞β，求证： p ＋q ＞1．

( ’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2 ＋px ＋ q＝0 的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝ p ，αβ＝－ q ．

于是 p＋ q ＝α＋β－αβ，

＝－ ( αβ－α－β＋ 1) ＋ 1

＝－ ( α－1)( β－1) ＋ 1＞1( 因α＞ 1＞β)．映射定理