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浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。
在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。
特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。
韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。
总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。
【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。
韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。
韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。
具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。
通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。
1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
韦达定理→斜率韦达定理法-FIDELHUB
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ，判断它
解：联立方程组
1 y x 2 x2+4y2=2
消去y
5x 4x 1 0
2
----- (1)
因为 ∆>0
所以，方程（１）有两个根，
则原方程组有两组解。
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
直线与椭圆的位置关系
前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d 41 42 52 41 40 25
o
x
dmax
思考：最大的距离是多少？
65 41 42 52 41
40 25
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
△=n2 4mp
△ 0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解
两个交点 一个交点 无交点
韦达定理的推导过程
韦达定理的推导过程韦达定理（Vieta's formula）是数学中一个重要的定理，它描述了多项式的根与系数之间的关系。
韦达定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）于16世纪提出，并被广泛应用于代数学和数论等领域。
韦达定理的推导过程可以从一个简单的一元二次方程开始。
假设我们有一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b和c都是实数，且a不等于0。
我们想要求解这个方程的两个根x1和x2。
我们将方程展开：ax^2+bx+c=0然后，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
根据求根公式，方程的两个根可以表示为：x1 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a)x2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)接下来，我们可以对这两个根进行一些变换，将它们表示为与系数a、b和c之间的关系。
我们可以先求解两个根的和：x1 + x2 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a) + (-b - √(b^2-4ac))/(2a)= -b/a然后，我们再求解两个根的积：x1 * x2 = ((-b + √(b^2-4ac))/(2a)) * ((-b - √(b^2-4ac))/(2a))= (b^2 - (b^2-4ac))/(4a^2)= c/a通过上述推导，我们得到了韦达定理的表达式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a这就是韦达定理的推导过程。
通过这个定理，我们可以通过方程的系数来求解方程的根。
这对于解决各种实际问题以及在数学研究中都非常有用。
除了一元二次方程，韦达定理还可以推广到更高次的多项式方程。
对于一个n次多项式方程anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a1x + a0 = 0，韦达定理可以表示为：x1 + x2 + ... + xn = -an-1/anx1 * x2 * ... * xn = (-1)^n * an-1/an这个推广的过程与一元二次方程的推导类似，只是系数的数量和计算的复杂度会增加。
韦达定理及其推广
设一元 n 次方程 a0 x 则有：
n
a1xn1 an1x an 0 的根为 xi (i 1,2,, n)
a1 xi (1) a 0
a1 xi (1) a 0
1 2
a2 xi x j (1) a 0
谢谢
请多多指正
有了上述方法，我们就可以探究一元三次方程的韦达定理了。 （若用第一种方法需要求出根，而三次方程求根公式表示较复杂，故不采用该x3 是方程 ax3 bx2 cx d 0(a 0) 的根
a( x x1 )(x x2 )(3 ) x 2 a( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) x ax 1 x2 x3 0(a 0)
考虑到题目的特殊性，方程最高只有 7 次，再由有理根定理（或 韦达定理最后的求积式）可知方程的根必定是 an 的正约数，这对 题目的进一步优化铺平了道路。 先用有理根定理求出所有可能的方程的解，如果解的个数不到方 程的次数（根的个数定理），那么必定有重根，重根只需要用一 个数组存个数，然后枚举每一个个数，利用韦达定理前两个式子 进行检验即可。
所以 与原方程比较对应系数即可得到一元三次方程的韦达定理。
b x1 x2 x3 a c x1 x2 x1 x3 x2 x3 a d x1 x2 x3 a
先解方程，再检验韦达定理的正确性。
x 6 x 11x 6 0
3 2
韦达定理的推广：
韦达定理 及其推广
首先我们考虑一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：
韦达定理推广的证明_3
3.4对称多项式代数学基本定理，即实系数n （n ≥）次多项式至少有一个复数根，是代数学上的一个重要成果.它是在18世纪由高斯首先证明的，由于该定理的重要性，以后又陆续出现许多不同的证明方法，但无论怎样的证明都必须依靠实数与复数的连续性质.在我们给出该定理的代数证明前，先给出一些预备知识.定义 3.13 域F 上的n 元多项式n n x ，x x x x x f ,),,(2121称为的多项式.对n x ，x x ,21的任意排列in i i x ，x x ,21，均有),(),,(2121in i i n x ，x x f x x x f =例如 232221321321),,(x x x x x x x x x f +++++=就是对称多项式.如果域F 上的n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n +++=--有n 个根：)(,,,21x f n 则ααα 分解为)())(()(21n n x x x a x f ααα---=将上式展开，再与原多项式011a x a x a n n n n +++-- 比较两边的系数，可得nn n a a 121--=++ααα nn n n a a 213121--=++αααααα n n n n n a a 312421321----=++ααααααααα nn n a a 021)1(-=ααα 上面n 个等式，实际上是一元二次方程中韦达定理的推广.我们把下面的多项式)()(31242132132131212211项共项共n n n n n n n nC x x x x x x x x x C x x x x x x x x x ---++=++=++= σσσn n x x x 21=σ称为n x x x ,,21的初等对称多项式.一元多项式可按升幂或降幂排列去写，即可写为011)(a x a x a x f n n n n +++=--或者 n n x a x a a x f ++=10)(.但是n 元多项式各项可以次数相同，但却不是同类项.一般地，n 元多次式可按字典排列法书写.例如比较两项,21212121n n i n i i k n k k ax x bx ax x ax 和若 )(,,12211t t t i k k i k i k >==-则前项项在n n in i i k n k k ax x bx ax x ax 21212121.如多元项式2212123222132132),,(x x x x x x x x x x f ++++= 按字典排列法：2322212122132132·),,(x x x x x x x x x x f ++++=按字典排列的多元多项式的第一项称为多项式的首项.显然两个多元多项式乘积的首项等于两个多元多项式首项的乘积（读者可以自行证明）. 定理 3.13 任意n 元对称多项式),,,(21n x x x f 都表示成初等对称多项式的多项式，即),,,(21n x x x f =),,,(21n g σσσ其中n x x x +++= 211σn n x x x x 1211-+= σn n x x x 21=σ该定理可见于几乎所有高等代数教材中，我们这里再给出简洁证明.证明 设),,,(21n x x x f 的首项为n kn k k x x ax 2121则必有 n k k k ≥≥ 21.否则，若,1+<i i k k 由于f 是对称多项式，所以f 必含有项n i i kn k i k i k k x x x x ax 121121++ n ki k i k k x x x x ax i i 121121++ 与它是f 的首项矛盾.我们令n n n k n k k n k k k k a σσσσϕ-----=132211211 易知1ϕ的首项与f 的首项相等，1ϕ当然是n x x x ,,21的对称多项式，所以),,,(21n x x x f -1ϕ=),,,(211n x x x ff 1也是对称多项式，f 1的首项低于f 的首项.若f 1的首项为121,21f x x bx n l n l l 对 重复上面的方法，令n n n l n l l n l l l l b σσσσϕ-----=132211212 221f f =-ϕ这里，f 2是对称多项式，它的首项低于f 1.上述过程继续下去，得一系列多项式：s s s f f f f f f f ϕϕϕ-=-=-=-121211,,,,这些f i 的首项一个比一个低，而此过程不可能无限做下去.即，必存在一个s ，使得f s =0, 所以 s f ϕϕϕ+++= 21这里，所有n i ，，，σσσϕ 21是的多项式，所以f 是n ，，，σσσ 21的多项式. 定理3.14 若实系数n 次多项式01a x a x a n n ++有n 个根，它们分别为n n αααααα ,,,,,2121那么的任意对称多项式),,(21n f ααα 都是系数011,,,,a a a a n n -的多项式，特别是当),,(21n f ααα 是实系数对称多项式时，则),,(21n f ααα 也为实数.证明 由定理3.13存在一个实系数多项式g ，使得),,(21n f ααα =),,(21n g σσσ其中 nn n a a 1211-=+++=ααασn n n n a a 2131212--=+++=αααααασ nn n a a 0)1(-=σ 所以),,(21n g σσσ 是n n a a 1-，n n a a 2-，…，n a a 0的多项式.所以),,(21n f ααα 为实数.。
韦达定理及其推广应用
韦达定理及其推广应用
杨艳丽;王广富
【期刊名称】《保山学院学报》
【年(卷),期】2011(030)005
【摘要】韦达定理是初等数学中的重要内容,它是揭示一元二次方程根与系数关系的重要定理.利用多项式理论将其推广到一元n次方程中,并介绍其简单应用.【总页数】3页(P86-88)
【作者】杨艳丽;王广富
【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;华东交通大学基础科学学院,江西南昌330013
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.例谈余弦定理与韦达定理的联合应用 [J], 赵绪昌
2.韦达定理的逆定理的应用 [J], 夏林鑫
3.韦达定理和逆定理在解析几何中的应用 [J], 叶忠国
4.韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用 [J], 王志
5.谈韦达定理及其逆定理在解题中的应用 [J], 陈启耀
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n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理
n次多项式的韦达定理是一个关于多项式根及系数之间的关系。
根据韦达定理，设一个n次多项式P(x)的根为r1, r2, ..., rn，其中r1, r2, ..., rn可能重复或复数根，那么该多项式的系数与根
之间有如下关系：
1. 一阶系数和：c1 = -(r1 + r2 + ... + rn)，即该多项式的常数项
与根的和取负数相等。
2. 二阶系数和：c2 = r1*r2 + r1*r3 + ... + (n-1)rn-1*rn，即该多
项式的一次项系数与两两相乘的根的和相等。
3. 三阶系数和：c3 = -(r1*r2*r3 + r1*r2*r4 + ... + (n-2)rn-2*rn-
1*rn)，即该多项式的二次项系数与三两相乘的根的和取负数
相等。
依次类推，韦达定理可以推广到任意阶系数和与根之间的关系。
韦达定理的一个重要应用是求解多项式的系数。
通过已知根与系数和的关系，可列立方程组来求解多项式的系数。
韦达定理推广的证明
证明：当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,则：x1+x2=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a=-2b/2a=-b/a,x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]=[(-b)^2-Δ]/4a^2=4ac/4a^2=c/ a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0 则方程没有实数解韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此，该方程的左端可以在复数X围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须射影定理图掌握的.韦达定理推广的证明设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
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韦达定理推广的证明
证明：
当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程
ax^2+bx+c=0(a≠ 0)
有两个实根 ,设为 x1,x2.
由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取
x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a,
则： x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a]
=[(-b)^2-]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.
烽火 TA000DA 2014-11-04
若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根
若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用
的。
一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2⋯,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)
⋯
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程
在复数集中必有根。
因此，该方程的左端
可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。
两端比较系数即得
韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与
系数之间有这种关系，因此，人们把这个关
系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代
数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。
(3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法 )
在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个
根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须
射影定理图
掌握的 .
韦达定理推广的证明
设 x1 ，x2 ，⋯⋯， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。
则有： An(x-x1)(x- 所以：An(x-x1)(x-
x2) ⋯⋯ (x -xn)=0
x2) ⋯⋯ (x -xn)= ∑AiX^i
（在打开 (x-x1)(x- x2) ⋯⋯ (x -xn) 时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（ n-1 ）=- An(∑xi)
A（ n-2 ）=An(∑xixj)
⋯
A0==(-1)^n*An * ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n)
⋯
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
有关韦达定理的经典例题
例1 已知 p ＋ q＝ 198 ，求方程 x2 ＋ px ＋q ＝ 0 的整数根．
( ’94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为 x1 、 x2 ，不妨
设 x1≤x2．由韦达定理，得
x1 ＋ x2 ＝－ p ， x1x2 ＝ q ．
于是 x1x2 －(x1 ＋ x2) ＝p ＋q ＝ 198 ，
即x1x2 －x1 － x2 ＋ 1＝
199 ．∴(x1 － 1)(x2 －1) ＝
199 ．
注意到 x1 －1、 x2 －1 均为整数，
解得 x1 ＝ 2，x2 ＝200 ；x1 ＝－ 198 ， x2 ＝0．
例2 已知关于 x 的方程 x2 － (12 －m)x ＋m － 1＝ 0 的两个根都是正整数，求m 的值．解：设方程的两个正整数根为x1 、x2 ，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得
x1 ＋ x2 ＝12 －m ，x1x2 ＝m － 1．
于是 x1x2 ＋x1 ＋x2 ＝11 ，
即(x1 ＋ 1)(x2 ＋1) ＝ 12．
∵x1 、x2 为正整数，
解得 x1 ＝ 1，x2 ＝5； x1 ＝ 2，x2 ＝3．
故有 m ＝6 或 7．
例3 求实数 k，使得方程 kx2 ＋ (k ＋1)x
＋(k －1) ＝0 的根都是整数．
解：若 k＝ 0，得 x＝ 1，即 k＝ 0 符合要
求．若 k≠0，设二次方程的两个整数根为
x1 、
x2 ，由韦达定理得
∴x1x2 －x1 －x2 ＝ 2，
(x1 － 1)(x2 －1) ＝3 ．
因为 x1 － 1、x2 －1 均为整数，所以
例4 已知二次函数 y＝－ x2 ＋px ＋ q 的图像与 x 轴交于 ( α，0) 、( β，0) 两点，且α＞1＞β，求证： p ＋q ＞1．
( ’97四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程－x2 ＋px ＋ q＝0 的两根为α、β．由韦达定理得
α＋β＝ p ，αβ＝－ q ．
于是 p＋ q ＝α＋β－αβ，
＝－ ( αβ－α－β＋ 1) ＋ 1
＝－ ( α－1)( β－1) ＋ 1＞1( 因α＞ 1＞β)．映射定理
正玄定理与余弦定理。