韦达定理与牛顿等幂和公式
韦达定理文档

韦达定理介绍韦达定理(Vieta’s Theorem)是代数学中一个重要的定理,由法国数学家弗朗索瓦·维耶特(François Viète)于16世纪提出。
该定理描述了一元多项式的根与系数之间的关系,是多项式理论的基础之一。
定理内容韦达定理可以简洁地表达为:对于一元多项式$$ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \\ldots + a_1x + a_0 $$如果 $r_1, r_2, \\ldots, r_n$ 是该多项式的n个根,即满足f(r i)=0,则有以下关系成立:1.和与差的关系:$$ r_1 + r_2 + \\ldots + r_n = -\\frac{a_{n-1}}{a_n} $$$$ r_1r_2 + r_1r_3 + \\ldots + r_{n-1}r_n = \\frac{a_{n-2}}{a_n} $$$$ r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \\ldots + r_{n-2}r_{n-1}r_n = -\\frac{a_{n-3}}{a_n} $$ 以此类推,直到第n个根的系数为−a0/a n。
2.一般形式:$$ r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_n^{k_n} + r_1^{k_1}r_2^{k_2}\\ldots r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n-1} + \\ldots + r_{n-1}^{k_{n-1}}r_n^{k_n} + r_n^{k_n} = (-1)^{k-n}\\frac{a_{n-k}}{a_n} $$其中k i表示常数k i的幂,而 $k = k_1 + k_2 + \\ldots + k_n$。
证明要理解韦达定理的证明,我们需要先了解复数域和多项式的根与系数之间的关系。
首先,我们知道复数域是包含实数域的,并且复数具有形如a+bi的表示方式,其中a和b是实数,而i是虚数单位。
韦达定理公式是什么样的

韦达定理:两根之和等于-b/a,两根之差等于c/a.
x1*x2=c/a,
x1+x2=-b/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理公式运用
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中,设两个根为x1,x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中,
若b²-4ac<0则方程没有实数根,
最好将每天学习数学的时间分出一部分来专门练习选择题和填空题熟能生巧经过长时间的锻炼就会提高你的思考能力和计算速度通过练习你会发现大多数选择题除了固定的解题方法外还可以利用排除法代入法以及数形结合的方法来快速判断出答案
韦达定理公式是什么样的
数学中解一元二次方程我们常说韦达定理,那么韦达定理公式是什么样的呢?快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“韦达定理公式是什么样
很多学生学习数学时不懂得变通,对于老师上课讲的解题方法不会进行深入研究,而是照搬照挪。虽然题是做了,但是下一次遇到还是不会,这些方法或许是延续了你在小学或者初中生学习数学的方法,但是高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结,取其精髓,懂得变通,要学会举一反三,自己多尝试摸索出其他的解题方法。
不要小看选择题和填空题
初中韦达定理公式变形6个

初中韦达定理公式变形6个韦达定理,也被称为韦达方程或韦达公式,是代数学中一个重要的定理。
它用于求解二次方程的根,公式形式为:对于二次方程ax²+ bx + c = 0,它的两个根x1和x2满足以下关系:x1+x2=-b/ax1*x2=c/a然而,韦达定理还可以通过一些变形得到其他形式的公式。
下面将介绍六个韦达定理的公式变形。
1."韦达递推公式"变形:这个变形公式可以用于计算高次多项式的和积。
假设a_0,a_1,a_2,...,a_n是一个多项式的系数,则它的和为:S=a_0+a_1+a_2+...+a_n而它的积为:P=a_0*a_1*a_2*...*a_n那么,可以得到以下关系:S=a_1+a_2+a_3+...+a_nP=a_0*a_1*a_2*...*a_(n-1)也就是说,多项式的和等于系数去掉第一个之后的和,而多项式的积等于系数去掉最后一个之后的积。
2."韦达方程公式"变形:这个变形公式可以用于求解三次方程的根。
对于三次方程 ax^3 +bx^2 + cx + d = 0,它的三个根x1, x2和x3满足以下关系:x1+x2+x3=-b/ax1*x2+x1*x3+x2*x3=c/ax1*x2*x3=-d/a3."韦达积公式"变形:这个变形公式可以用于计算四次多项式的积。
假设a_0,a_1,a_2,a_3,a_4是一个四次多项式的系数,则它的积为:P=a_0*a_1*a_2*a_3*a_4那么,可以得到以下关系:P=(a_0*a_2*a_4)*(a_1*a_3)也就是说,四次多项式的积等于奇次幂系数的乘积乘以偶次幂系数的乘积。
4."韦达四式"变形:这个变形公式可以用于求解四次方程的根。
对于四次方程 ax^4 +bx^3 + cx^2 + dx + e = 0,它的四个根x1, x2, x3和x4满足以下关系:x1+x2+x3+x4=-b/ax1*x2+x1*x3+x1*x4+x2*x3+x2*x4+x3*x4=c/ax1*x2*x3+x1*x2*x4+x1*x3*x4+x2*x3*x4=-d/ax1*x2*x3*x4=e/a5."韦达和式"变形:这个变形公式可以用于计算五次多项式的和。
韦达定理7个公式

韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一,是描述多个向量之间关系的一种方法。
在三维空间中,韦达定理可以表示为:若三个向量a,b,c满足a·b×c=0,则这三个向量共面。
其中,a·b表示向量a与向量b的点积,a×b表示向量a与向量b 的叉积。
在韦达定理的基础上,可以推导出一系列与向量相关的公式。
以下是七个基于韦达定理的公式。
公式一:点积的分布律若a,b,c为任意三个向量,则(a+b)·c=a·c+b·c证明:(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二:叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量,则a×(b+c)=a×b+a×c证明:左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三:叉积的差的负若a,b为任意两个向量,则a×(b-c)=a×b-a×c证明:左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四:叉积的反交换若a,b为任意两个向量,则a×b=-b×a证明:a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五:叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量,则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明:右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六:叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量,则,a×b, = ,a,b,sinθ其中,θ为a、b之间的夹角。
高考重点数学公式:韦达定理_知识点总结

高考重点数学公式:韦达定理_知识点总结韦达定理公式:一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中设两个根为x和y则x+y=-b/axy=c/a韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是,那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元n 次方程在复数集中必有根。
因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:其中是该方程的个根。
两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明设x_1,x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史,且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式,有x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}},x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}所以x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac,x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac。
韦达定理全部公式

韦达定理全部公式韦达定理是数学中的一个重要定理,它描述了一个向量空间中的两个子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。
这个定理可以用一些公式来表示和证明。
我们来定义一些基本的概念。
在一个向量空间中,子空间是指一个向量的集合,它满足加法和数乘运算的封闭性。
一个向量空间可以由多个子空间组成,而这些子空间的维度和交集的维度之和等于整个空间的维度。
现在,假设我们有一个向量空间V,它由两个子空间U和W组成。
我们可以用如下公式来表示韦达定理:dim(U) + dim(W) = dim(U ∩ W) + dim(U + W)其中,dim(A)表示子空间A的维度,U ∩ W表示U和W的交集,U + W表示U和W的直和。
这个公式的意义是,两个子空间的维度和等于它们的交集的维度和它们的直和的维度。
换句话说,如果我们知道了两个子空间的维度和它们的交集的维度,我们就可以推算出它们的直和的维度。
韦达定理可以用于解决一些向量空间的问题。
例如,我们可以利用韦达定理来证明两个子空间的直和的维度等于它们的维度之和。
也可以利用韦达定理来判断两个子空间是否为直和。
如果两个子空间的维度和等于它们的直和的维度,那么它们就是直和。
除了上述的基本公式外,韦达定理还有一些其他的形式和推论。
例如,我们可以将韦达定理推广到多个子空间的情况下。
假设我们有n个子空间U1、U2、...、Un,那么韦达定理可以表示为:dim(U1 + U2 + ... + Un) = dim(U1) + dim(U2) + ... + dim(Un) - dim(U1 ∩ U2) - dim(U1 ∩ U3) - ... - dim(Un-1 ∩ Un) + ... + (-1)^(n-1)dim(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un)这个公式描述了n个子空间的直和的维度和它们的维度之间的关系。
它通过加减相应的交集的维度来计算直和的维度。
韦达定理是一个重要的数学定理,它描述了向量空间中的子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。
韦达定理初中公式

韦达定理初中公式韦达定理可是咱初中数学里一个相当重要的家伙!咱先来说说啥是韦达定理。
在一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$($a$、$b$、$c$是实数且$a≠0$)中,两根$x_1$、$x_2$有这样的关系:$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
就拿我之前教过的一个学生小明来说吧。
有一次上课,我给他们讲韦达定理,这小明啊,一脸迷茫,那小眼神就好像在说:“老师,这是啥呀,我咋听不懂呢?”我就耐心地给他解释。
我在黑板上写下了一个方程:$x^2 - 5x + 6 = 0$,然后问同学们:“谁能告诉老师,这个方程的根是多少?”大家都开始埋头计算,不一会儿,就有同学举手说:“老师,我算出来了,是 2 和 3。
”我笑着点点头,接着问:“那根据韦达定理,这两根之和是多少呀?”这时候,大家都开始七嘴八舌地说:“$2 + 3 = 5$,$-\frac{-5}{1} = 5$。
”“对啦,那两根之积呢?”“$2×3 = 6$,$\frac{6}{1} = 6$。
”大家回答得可响亮了。
我看了看小明,他好像有点明白了。
我又出了一道题:$2x^2 + 3x - 5 = 0$,让大家算算两根之和与两根之积。
这次小明也拿起笔认真地算了起来,不一会儿,他也算出了答案,脸上露出了开心的笑容。
韦达定理在解决很多数学问题的时候都特别有用。
比如说,如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 7,两根之积是 12,那你就能很快写出这个方程$x^2 - 7x + 12 = 0$。
再比如,在几何问题中,如果涉及到二次函数与坐标轴的交点,韦达定理也能派上大用场。
还有啊,在一些实际的应用题里,像增长率问题、面积问题等等,如果能巧妙地运用韦达定理,解题就能变得轻松不少。
总之,韦达定理就像是一把神奇的钥匙,能帮我们打开很多数学难题的大门。
同学们可得把它掌握好咯,这样在数学的世界里就能更加游刃有余啦!希望大家都能和韦达定理成为好朋友,让数学学习变得更有趣、更轻松!。
韦达定理

韦达定理(Vieta's Theorem)的内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中设两个根为X1和X2则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a不能用于线段用韦达定理判断方程的根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0 则方程没有实数解[编辑本段]韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。
一般的,对一个一元n次方程∑Ai X^i=0它的根记作X1,X2 (X)我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是,那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
同素异形体是相同元素构成,不同形态的物体同素异形体由于结构不同,彼此间物理性质有差异;但由于是同种元素形成的,所以化学性质相似。
例如氧气是没有颜色、没有气味的气体,而臭氧是淡蓝色、有鱼腥味的气体;氧气的沸点-183℃,而臭氧的沸点-111.5℃;氧气比臭氧稳定,没有臭氧的氧化性强等。
一定要是单质.比如氧气和臭氧,一个是O2一个是O3金刚石和石墨,都是碳在一定条件下,同素异形体之间可以相互转化,这种转化需要化学反应才能完成。
同素异形体的形成方式有三种:1.组成分子的原子数目不同,例如:氧气O2和臭氧O32.晶格中原子的排列方式不同,例如:金刚石和石墨3.晶格中分子排列的方式不同,例如:正交硫和单斜硫碳的同素异形体所谓的极性键与非极性键是针对共价化合物而言的,即组成化合物的元素都是非金属元素(铵盐除外,它属于离子化合物).化合物中若存在2种相同的非金属元素相连,则它们的连接形式称为非极性共价键,如Cl2中2个CL原子的连接形式或Na2O2(Na-O-O-Na)中2个氧原子的连接形式.若存在2种不相同的非金属元素相连,则它们的连接形式称为极性共价键,如HCl中H与Cl的连接形式.而离子键是针对离子化合物而言的.离子化合物指组成中含金属离子或铵根离子的化合物,金属离子或铵根离子与酸根离子或非金属离子的连接形式称为离子键,比如你自己说的氯化钠中就只存在离子键而没有共价键.而象Na2O2之类的化合物既有共价键又有离子键.[思路分析](1)非极性键:同种原子形成共价键,两个原子吸引电子的能力相同,共同电子对不偏向任何一个原子,电荷在两个原子核附近对称地分布,因此成键的原子都不显电性。
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( x xn ) x n 1 x n1 2 x n2
(1)n n
那么 f ( xi ) 0 , x k n f ( xi ) 0 ,
x
i 1
n
nk i
f ( xi ) 0 即证
n k i
对于 2 k n ,先计算 Sk j , Sk j
Sk 1Sk 1 2 Sk 2 Sk 1Sk 1 2 Sk 2
证明:当 k n ,构造
(1)k k k 0 (1)n Sk n n 0
( k n) ( k n)
f ( x) ( x x1 )( x x2 )
x1 x2 2a3 27c 9ab ,求 的最大值 3 2
在学习了 2,3 次方程的韦达定理后一个自然的问题是对于 n 次方程,有没有韦达定理,答案 是有,在介绍一般的韦达定理之前,我们先介绍轮换对称多项式: 轮换对称多项式可以理解成
( x x ) 展开后的多项式 f
i 1 i n 1 i 0
(xik x 1 i2
xi j xi1 xik2
为简便,我们记前一个求和号为 (k ,1,1,
j个
,1) ,后一个求和号为 (k 1,1,1,
j 1个
,1)
当 k 1 , S1 j ( j 1)
1i0 i1 i2 i j n
xi0 xi1 xi2 xi1 xi2
韦达定理与牛顿等幂和公式
1、韦达(Vieta)定理 韦达定理十分常用,我们先从最简单的二次方程的韦达定理开始: 二次方程 ax bx c 0 若有两根 x1 , x2 ,那么必然可以写成 a( x x1 )( x x2 ) 0
2
比较各项系数有: x1 x2
2
b c 注意:就算 x1 , x2 是复数,这两个等式仍成立。 , x1 x2 a a
i 1 i 1 i 1
n
n
n
n k 个 x ,剩下的都是 xi ( k 个不同的)再把这些东西乘起来,求和,不妨假设每次取的
都是 xi1 , xi2 ,
, xik ,其中 1 i1 i2
ik n ,那么 k
1i1 i2 ik n
xi1 xi2
xik
xi j xi2j )
1i1 i2 i j n
(xi2 x 1 i2
xi j xi1 xi2 2
xi j
类似,我们记前一个求和号为 ( j 1)(1,1,
j 1个
,1) ,后一个求和号为 (2,1,1,
j 1个
,1)
注意到这个记号和每个和式唯一地对应,所以
Sk (k ); Sk 11 (k ) (k 1,1); Sk 2 2 (k 1,1) (k 2,1,1)n
xi1 xi2
xi j
1i0 i1 i2 i j n
( xik0 xi1 xi2
xi j xi0 xik x 1 i2 xi j
xi j xi1 xi2
xi0 xi1 xi2 xikj )
xikj )
1i1 i2 i j n
除了计算上的应用,Newton 等幂和公式也能用来解决不等式,数论中的一些等幂和问题。 例 实数 a, b, c 满足 a 0 ,证明: 6(a ) (a )
3 2 2 2 3
证明:由前所述, S3 3 3 ,即证 54(abc) (a ) 代入 c (a b) 有
(C )
i 0
n
i 2 n
n C2 n
练习 6 ax ax
n
n 1
c2 xn2
cn2 x 2 n 2bx b 0 恰有 n 个正根,证明:这些根必然
都相等。
除此之外,还有很多问题不是直接考查韦达定理的,但是往往使用韦达定理能出奇制胜。 例 已知 a, b, c R 满足 a b c 0, ab bc ca 0, abc 0 证明: a, b, c R
注:在证明韦达定理的过程中我们大量使用一个事实,如果一个多项式被表达成多种形式, 无论这些形式有多大的差别,各项的系数一定相等,这个原理在代数,数论,组合中都有广 泛应用,这里给出一例。 练习 5 回忆 Newton 二项式展开 (a b)
n
C a b
i 0 i n
n
i n i
,证明:
n
x n n i xi 的各项系数定
i 0
n 1
义为轮换多项式,那么有 练习 3 写出 1 , n
( x xi ) xn ni xi
i 1
n
例 k 的性质 我们有
( x xi ) xn i xni ,考虑 k ,生成它的时候,我们从 ( x xi ) 取出了
2 3 2 2
54a2b2 (a b)2 (a 2 b2 (a b)2 )3 (不妨假设 a, b 0 )那么由均值不等式有
(a 2 b2 (a b)2 )3 (3 3 (a 2 b2 ) ( a b) 4 3 ) 27(a b) 4 (a 2 b) 2 再由均值不等式得证 4
从这个求和式可见,若把 k 视为 ( x1 , x2 ,
, xn ) 的多元多项式函数,那么它是对称函数
练习 4 证明: n 次方程的韦达定理:多项式
a x
i 0 i
n
i
若有根 x1 , x2 ,
, xn ,那么它的系数合
于 (1)
i
an i i , (i 1, 2, an
, n)
S1 k 1 (2,1,1, ,1) k (1,1,
k个
,1) ; k (1,1,
k个
,1)
k 2个
代入 Sk 1Sk 1 2 Sk 2 例 若 a b c 0 ,则
(1)k k k 中即得 Newton 等幂和公式
a 7 a3 a5 7 3 5
2、Newton 等幂和公式 Newton 等幂和形式略复杂,但是在很多特殊情形下十分好用。 对于和
x
i 1
n
k i
,其中 k 是正整数,称为(关于 x1 , x2 ,
2 3
, xn 的) k 次等幂和,记做 S k
其实 S1 1 , S2 1 2 2 , S3 1 3 21 3 ,这说明也许用 n 能计算 S k 其实 Newton 等幂和公式就揭示了等幂和与轮换对称和的代数关系:
3 2
( x1 3)3 ( x2 3)3 ( x3 3)3 0 ,求 a
思考(2002 年高中数学联赛)设 a, b, c R, Z 使得 f ( x) x ax bx c 有三个实根
3 2
x1 , x2 , x3 且满足 x2 x1 ; x3
6 2 3 6
练习 10 实数 a, b, c 满足 a 0 ,求最佳常数 c1 , c2 满足不等式 c1a (a ) c2a 恒成 立
证明: 设 S , 是关于 a, b, c 的等幂和, 轮换对称多项式 S1 1 0; S2 1S1 2 2 2 2 类似计算可得 S3 3 3 ; S4 2 2 ; S5 5 2 3 ; S7 7 2 3 ,于是代入即证
2 2
注:除此之外还能得到
S S2 S3 S5 S4 S3 ; 7 2 3 5 2 3 7
2 3 4
练习 8 实数 a, b, c 满足 a 1, a 2, a 3 ,计算 abc, a
x y z 3 2 2 2 思考(变式)求解方程组: x y z 3 x5 y 5 z 5 3 5 7 5 练习 9 计算 cos cos5 cos5 9 9 9
3 2
证明:我们构造多项式 f ( x) ( x a)( x b)( x c) x ax abx abc , 那么 f (0) abc 0 ,只需证明 f 没有负数根,假设 x0 0 合于 f ( x0 ) 0 ,那么
3 2 f ( x0 ) x0 ax0 abx0 abc 0 这是一个矛盾。
3 2
那么必然可以写成 a( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0 ,比较各项系数有:
b c d x1 x2 x3 , x1 x2 x2 x3 x3 x1 , x1 x2 x3 a a a
练习 2 假设方程 x 6 x ax a 0 的三个根 x1 , x2 , x3 满足
练习 1 方程 2 x (k 1) x k 3 0 的两实根差小于等于 1,求 k 的取值范围
注:二次方程的韦达定理在初中的二次函数,高中解析几何里面都很常用 接下来介绍三次方程的韦达定理,完全类似与刚才的方法有: 三次方程 ax bx cx d 0 若有三根 x1 , x2 , x3 ,
在例题中,本来复杂而无联系的条件借助多项式的根、韦达定理巧妙地联系在了一起,避免 了分类讨论来求解的复杂。 练习 7 求 cos 40 cos80 cos160
注:如果直接逐项计算会很麻烦 思考 对于 a, b, c, d R , 证明:
ab ac ad bc bd cd 3 abc bcd cda dab 6 4