韦达定理公式介绍及典型例题

ﻩ韦达定理公式介绍及典型例题

ﻩ韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

ﻩ这里讲一元二次方程两根之间的关系。

ﻩ一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a

ﻩ【定理内容】

一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则

ﻩX1+X２＝ -b/ａ

ﻩX1Ｘ2＝c/a

1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２

ﻩ用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中,

若b-4aｃ0则方程没有实数根

若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根

ﻩ若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根

【定理拓展】

ﻩ(1)若两根互为相反数，则b=0

（2)若两根互为倒数，则a=c

ﻩ(３)若一根为0,则c=0

(4）若一根为１,则ａ+b+c=0

ﻩ(5)若一根为-1,则a-b+c＝0

ﻩ(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根

【例题】

已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题）

解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得ﻩx1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q.

于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8,

ﻩ即ｘ1x2-x1－x２＋1=199.

ﻩ运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199.

注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数，

ﻩ解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0．