中考总复习 线段最值问题的方法技巧 讲义(无答案) 2023—2024学年人教版九年级数学下册
中考数学专题复习线段的和差最值复习PPT共24页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
中考数学专题复习线段的和差最值复习
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
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九
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微专题一：单线段最值+单动点型
类型一：动点轨迹--直线型 考法指导 动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 （1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值 （2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定 ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与 定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。 ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。 ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则 点的轨迹为直线。
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【详解】
如图，设 AD 的中点为点 E，则 EA ED 1 AD 1 4 2
2
2
由题意得，点 H 的运动轨迹在以点 E 为圆心，EA 为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接 BE，与圆 E 交于点 H，则此时BH 取得
最小值， EH 2
连接 BD
AB 为半圆 O 的直径
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【典型例题】
例题 1．如图，点 D 在半圆O 上，半径OB 5 ，AD 4 ，点C 在弧BD 上 移动，连接 AC ，作 DH AC ，垂足为 H ，连接 BH ，点C 在移动的过 程中， BH 的最小值是______．
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ADB 90
BD AB2 AD2 (5 5)2 42 2 21
7，
∴CD=CF=2 7 .
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（2）如图 2，过点 A 作 AF⊥EB 交 EB 延长线于点 F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴点 E 的运动轨迹是直线 BE，
根据垂线段最短可知：当点 E 与 F 重合时，AE 的值最小，
此时 CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
又 S PAB S PCD
点P 到 AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段 AD 垂直平分线 MN 上， 连接 AC ，交MN 与点P ，此时 PC PD 的值最小， 且 PC PD AC AB2 BC2 42 62 52 2 13 故答案为：2 13
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【详解】
如图，设 AD 的中点为点 E，则 EA ED 1 AD 1 4 2
2
2
由题意得，点 H 的运动轨迹在以点 E 为圆心，EA 为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接 BE，与圆 E 交于点 H，则此时BH 取得
最小值， EH 2
连接 BD
AB 为半圆 O 的直径
【答案】C
【详解】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，
∵△ACB 为到等腰直角三角形，
易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，
∴AC=BC=
2
AB=
2 ，∠A=∠B=45°，
2
∵O 为 AB 的中点， ∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1， ∴∠OCB=45°， ∵∠POQ=90°，∠COA=90°， ∴∠AOP=∠COQ，
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中考数学专题讲练 线段最值问题一(解析版)
线段最值问题（一）一．两点之间线段最短两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。
解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短.2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E时，max AC AB BC a b =+=+二．垂线段最短垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C 与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短.D CB A ED CB A一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短三．易错点：1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．题模一：两点之间线段最短例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．（I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__； （II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD ′，点F 始终为BD ′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__．F E D CBA【答案】（1）6（2）150；6【解析】（Ⅰ）如下图①所示：∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC ∵∠BAC=30°，∴△MBC为等边三角形，∴AM=MB=CM又∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴CM=6故答案为：6（2）∵在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6，∴AB=12取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以12 EF AD=∵EC EF CF+≥，∴CF的最大值为6EC EF+=，即：当将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为6+例1.1.2如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，∴OC=OE+EF+CF=1例1.1.3如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2B．C．D．1【答案】D【解析】AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图．∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG=∠DCF．∴A、D、C、M四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，OM=12AC=1，则BM=BO﹣1．例1.1.4如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM1时，求正方形的边长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M点落在BD的中点时，AM CM+的值最小．……………………………1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时AM BM CM++的值最小．……………………………2分理由如下：∵M 是正方形ABCD 对角线上一点∴AM CM =又AB BC =，BM BM =∴△ABM ≌△CBM∴BAM BCM ∠=∠……………………………3分又BE BA BC ==∴BEC BCM ∠=∠∴BEC BAM ∠=∠在EC 上取一点N 使得EN AM =，连结BN又∵EB AB =∴△BNE ≌△ABM……………………3分∴EBN ABM ∠=∠，BN BM =又∵60EBN NBA ∠+∠=︒∴60ABM NBA ∠+∠=︒即60NBM ∠=︒∴△BMN 是等边三角形．∴BM MN ＝……………………………4分∴AM BM CM EN MN CM ++++＝．根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长．……………………………5分（3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F∴906030EBF ∠=︒-︒-︒设正方形的边长为x ，则BF ， 2x EF =……………………………6分 在Rt △EFC 中，∵222EF FC EC +=，∴)22212x x x ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =（舍去负值）．．……………………………7分例1.1.5 正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动，且DE=DF ．连接BF ，作EH ⊥BF 所在直线于点H ，连接CH ．（1）如图1，若点E 是DC 的中点，CH 与AB 之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E ，F 分别在射线DC ，DA 上运动时，连接DH ，过点D 作直线DH 的垂线，交直线BF 于点K ，连接CK ，请直接写出线段CK 长的最大值．【答案】 （1）CH=AB ；（2）成立，见解析（3）3【解析】 （1）如图1，连接BE ，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E 是DC 的中点，DE=DF ，∴点F 是AD 的中点，∴AF=CE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CBA BCE AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE ，∴∠1=∠2，∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC ，∴CH=BC ，又∵AB=BC ，∴CH=AB ．（2）当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论CH=AB 仍然成立． 如图2，连接BE ，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD ，DE=DF ，∴AF=CE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH ，在△DFK 和△DEH 中，KDF HDE DF DEDFK DEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DFK ≌△DEH ，∴DK=DH ，在△DAK 和△DCH 中，DA DC KDA HDC DK DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAK ≌△DCH ，∴AK=CH又∵CH=AB ，∴AK=CH=AB ，∵AB=3，∴AK=3，，∴CK=AC+AK=AC+AB=3，即线段CK长的最大值是3例1.1.6 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M 为AB 的中点．D 是射线BC 上一个动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED ，N 为ED 的中点，连接AN ，MN ．（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM 与AB 的位置关系是 ；（2）当4＜BD ＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（2）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【答案】 （1（2）见解析【解析】 （1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴∵N 为ED 的中点，∴AN=12∵M 为AB 的中点，∴AM=12∵AN AD =，AM AC =，∴AM AM AD AC=，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN ，∴△ACD ∽△AMN ，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN ⊥AB ，（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM 与AB 的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD=AE ，∠DAE=90°，∵N 为ED 的中点， ∴1452DAN DAE ∠=∠=，AN ⊥DE ， ∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC ，在Rt △AND 中，cos AN AD=∠DAN=cos45°，同理， ∴AC AM AB AN=，∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN ， ∴△ANM ∽△ADC ，∴∠AMN=∠ACD ，∵D 在BC 的延长线上，∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN ⊥AB ；（2）连接ME ，EB ，过M 作MG ⊥EB 于G ，过A 作AK ⊥AB 交BD 的延长线于K ，则△AKB 等腰直角三角形，在△ADK 与△ABE 中，AK AB KAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADK ≌△ABE ，∴∠ABE=∠K=45°， ∴△BMG 是等腰直角三角形，∵BC=4，∴，，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG ，∴当ME=MG 时，ME 的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD 的长为6时，ME 的长最小，最小值是2．例 1.1.7 如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】 （1）b=﹣2，c=3（2）M （﹣125，5125） （3）①见解析②PA+PC+PG 的最小值为P 的坐标（﹣919） 【解析】 分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线y=﹣x 2+bx+c 即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM NQ AC QC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 过A 、B 两点，∴3930c b c =⎧⎨--+=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x 2﹣2x+3，令y=0，则﹣x 2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（﹣23，1）， 设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到2130k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得3535k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CE 为y=﹣35x+35， 由2335523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或1255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 坐标（﹣125，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，AQ AG QAR GAP AR AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，在RT △QCN 中，CN=7，∠QNC=90°，∴∵sin ∠ACM=AM NQ AC QC =， ∴∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ， ∴∴，∴PC=CM﹣∵PK CP CK QN CQ CN==，∴CK=2819，，∴OK=CK﹣CO=9 19，∴点P坐标（﹣919）．∴PA+PC+PG的最小值为P的坐标（﹣919）．题模二：垂线段最短例1.2.1如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是．【答案】 2.5【解析】 取AC 的中点G ，连接EG ，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE ，∵AD 是等边△ABC 的对称轴，∴CD=12BC ， ∴CD=CG ，又∵CE 旋转到CF ，∴CE=CF ，在△DCF 和△GCE 中，CG CD GCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DF=EG ，根据垂线段最短，EG ⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短， 此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×10=5，∴EG=12AG=12×5=2.5，∴DF=2.5．例1.2.2如图，⊙O P是直线y=﹣x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．3B．4C．6D．1【答案】B【解析】∵P在直线y=﹣x+6上，∴设P坐标为（m，6﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，∴PQ2=m2+（6﹣m）2﹣2=2m2﹣12m+34=2（m﹣3）2+16，则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．例1.2.3在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【答案】（1）①变换点在⊙O上；变换点在⊙O外；P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；②﹣2＜x＜0（2﹣1【解析】（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则，所以点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外；②设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=∵点P′在⊙O的内，，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∴∵12OH•AB=12OA•OB，∴∴﹣1，即点P与⊙O﹣1．例1.2.4已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）对角线PQ与DC不可能相等；（2）PQ的长最小为4；（3）PQ的长最小为5；（4）PQ（n+4）．【解析】问题1：过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=2，BE=AD=1，∴CE=BC-BE=2，∴∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，则AP=2-x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，化简得x2-2x+3=0，∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴DGGC=PDCQ=12，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，即ADCH=PDCQ=12，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴PABQ=AGBG=11n+，∴G是AB上一定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∴ADBH=PABQ=11n+，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2 ∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴（n+4），∴当PQ ⊥CD 时，PQ （n+4）．随练1.1 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ． 32B ． 2C ．D ． 【答案】B【解析】 ∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC ，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB （直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．随练1.2如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．【答案】（1）见解析（2）①②PB1【解析】 （1）欲证明BD=CE ，只要证明△ABD ≌△ACE 即可．（2）①分两种情形a 、如图2中，当点E 在AB 上时，BE=AB ﹣AE=1．由△PEB ∽△AEC ，得PB BE AC CE=，由此即可解决问题．b 、如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE=3．解法类似． ②a 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．b 、如图5中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．分别求出PB 即可．（1）证明：如图1中，∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC ，AD=AE ，∠DAB=∠CAE ，在△ADB 和△AEC 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEC ，∴BD=CE ．（2）①解：a 、如图2中，当点E 在AB 上时，BE=AB ﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴同（1）可证△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA=∠ECA ．∵∠PEB=∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BE AC CE=， ∴2PB =∴ b 、如图3中，当点E 在BA 延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴同（1）可证△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA=∠ECA ．∵∠BEP=∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ， ∴PB BE AC CE=， ∴2PB =∴，综上，②解：a 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．理由：此时∠BCE 最小，因此PB 最小，（△PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，∠BCE 最小，因此PB 最小）∵AE ⊥EC ，∴=由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴PB=BD﹣1．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴=由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴．综上所述，PB1．随练1.3如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm．【答案】（1）①（﹣9）；②61）（2）12【解析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，所以点C的坐标为（﹣9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°∴x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（x）2+（6+x）2=122，解得：x=61），∴滑动的距离为61）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x ，OD=y ，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB ，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE ∽△BCD ，∴CE AC =CD BC ，即CE CD∴y=，OC 2=x 2+y 2=x 2+）2=4x 2，∴取AB 中点D ，连接CD ，OD ，则CD 与OD 之和大于或等于CO ，当且仅当C ，D ，O 三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，第二问方法二：因角C 与角O 和为180度，所以角CAO 与角CBO 和为180度，故A ，O ，B ，C 四点共圆，且AB 为圆的直径，故弦CO 的最大值为12．随练1.4 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是''',,B C D ，则'''BB CC DD ++的最大值为______，最小值为______。
2024年中考数学二轮复习课件：专题五几何法求最值
A．1 C．2
B． 2 D．2 2 －1
[ 分 析 ] 连 接 BE ， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 及 角 的 和 差 关 系 证 明
△CDP∽△CBE，得出E点的运动轨迹为直线BE，可得当DE⊥BE时，DE有
最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
[解析] 因为CD⊥AB，所以∠CDP＝90°.
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
所以AB
，所以BD＝AB＝2.连接BE.
因为CBCD ＝ 2 ，CCEP ＝ 2 ，所以CBCD ＝CCPE .
因为∠PCE＝∠DCB＝45°，所以∠PCD＝∠BCE，所以△CDP∽△CBE， 所以∠CBE＝∠CDP＝90°， 所以∠ABE＝∠ABC＝45°， 所以E点的运动轨迹为直线BE， 所以当DE最短时，DE⊥BE， 即当DE⊥BE时，DE有最小值，这时△BDE是等腰直角三角形， 所以DE＝2，所以DE的最小值是2.
平面内，点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB 长度固定，则点 B 的运动轨迹在 以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆上(如图①). 推广：如图②，点 E 为定点，点 F 为线段 BD 上的动点(不与点 B 重合)，将 △BEF 沿 EF 折叠得到△B′EF，则点 B′的运动轨迹为以 E 为圆心，线段 BE 为半径的一段弧．
如图，∠AOB＝30°，点 M，N 分别在边 OA，OB 上，且 OM＝3，ON ＝5，点 P，Q 分别在边 OB，OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是( )
A． 34 C． 34 －2
B． 35 D． 35 －2
[分析] 作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，连接 M′N′， 即为 MP＋PQ＋QN 的最小值；证出△ONN′与△OMM′均为等边三角形，得 出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出 M′N′即可． [解析] 作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′，连接 OM′， ON′，如图所示：
2024成都中考数学二轮复习专题：线段之差最值问题
线段之差最值问题内容导航方法点拨（1）在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；（2）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；（3）在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：例题演练1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证：|PA﹣PB|≤|AB|；（3）当|PA﹣PB|最大时，求点P的坐标．【解答】（1）解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，令x＝0得y＝2．∴B（0，2）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2+3∴A（﹣2，3）（2）证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，|PA﹣PB|＝|AB|．当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，|PA﹣PB|＜|AB|．综合上述：|PA﹣PB|≤|AB|（3）解：作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当|PA﹣PB|最大时，点P是所求的点作AH⊥OP于H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP∴由（1）可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，∴OP＝4，故P（4，0）．注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且抛物线y＝ax2+bx+c 与y轴交于点B（0，2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A（﹣2，3），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+3（a≠0），由题意得：a（0+2）2+3＝2，解得：a＝﹣．∴物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+3，即y＝﹣x2﹣x+2．（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则PA2＝（﹣2﹣p）2+32，PB2＝p2+22，AB2＝（3﹣2）2+22＝5当PA＝PB时，（﹣2﹣p）2+32＝p2+22，解得：p＝﹣；当PA＝AB时，（﹣2﹣p）2+32＝5，方程无实数解；当PB＝AB时，p2+22＝5，解得p＝±1．∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（﹣，0）或（﹣1，0）或（1，0）．（3）∵|PA﹣PB|≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA﹣PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB 与x轴的交点．设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：，解得．∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，当y＝﹣x+2＝0时，解得x＝4．∴当PA﹣PB最大时，点P的坐标是（4，0）．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B 的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；（3）如图2，已知x轴上一点P（，0），现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A 时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．【解答】解：（1）令y ＝0，则﹣x 2+x +3＝0，解方程得：x ＝6或x ＝﹣2，∴A （﹣2，0），B （6，0），又y ＝﹣x 2+x +3＝﹣（x ﹣2）2+4，又顶点C （2，4），设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，代入B 、C 两点坐标得：，解得：，∴y ＝﹣x +6；（2）如图1，∵点E （m ，0），F （m +2，0），∴E ′（m ，﹣m 2+m +3），F ′（m +2，﹣m 2+4），∴E ′M ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +6）＝﹣m 2+2m ﹣3，F ′N ＝﹣m 2+4﹣（﹣m +4）＝﹣m 2+m ，∴E ′M +F ′N ＝﹣m 2+2m ﹣3+（﹣m 2+m ）＝﹣m 2+3m ﹣3，当m ＝﹣＝3时，E ′M +F ′N 的值最大，∴此时，E ′（3，）F ′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；（3）由题意得，Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上，①如图2，当Q点在∠WAB的角平分线上时，Q′M＝Q′N＝，AW＝，∵△RMQ′∽△WOA，∴∴RQ′＝，∴RN＝+，∵△ARN∽△AWO，∵∴AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴S＝；②如图3，当Q点在∠WAB的外角平分线上时，∵△Q′RN∽△WAO，∴RQ′＝，∴RM＝﹣，∵△RAM∽△WOA，∴AM＝，在RtQ′MP′中，MP′＝Q′M＝3，∴AP′＝MP′﹣AM＝3﹣＝，在Rt△AP′S中，P′S＝AP′＝×，∴S＝．4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且对称轴为x＝1．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：，解得，∴该抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点H．∵PH∥y轴∴△ABO∽△APH∴＝＝，∴PH＝2BO＝6∴P（1，6）即为所求．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）已知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【解答】解：（1）设函数解析式为y＝a（x﹣2）2，将点（4，1）代入，得到a＝，∴y＝（x﹣2）2，（2）y＝（x﹣2）2与y＝x的交点A（1，），B（4，1），对称轴x＝2，点A关于对称轴的对称点为A'（3，），当点P，A'，B共线时，|PA﹣PB|取得最大值；设直线A'B的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∴P（2，﹣）；（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴，∴m2﹣2x0m+y02+﹣2y0n＝2n+1，∵n＝（m﹣2）2，∴+﹣2y0﹣3＝0，∴，∴，∴F（2，1）；6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM⊥x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3）．令y＝0，则＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，将点B，C的坐标代入，得解得∴直线BC的函数解析式为y＝；（2）设点P的坐标为（m，）（0＜m＜4），则点M的坐标为（m，+3），∴PM＝y P﹣y M＝﹣（+3）＝，CM＝，∴PM﹣CM＝﹣＝+m＝．∵＜0，∴该抛物线开口向下，∴当m＝时，PM﹣CM取得最大值，最大值为．将m＝代入y＝中，得y＝，∴P（，）；（3）如图，过点P作PK⊥x轴于点K，交直线BC于点H．由（1），易得OC＝3，OB＝4，BC＝5．设点P的坐标为（n，）（0＜n＜4），则点H的坐标为（n，+3），∴PH＝．在Rt△PEH中，PE＝PH•cos∠EPH．∵PE⊥BC，∠PHE＝∠BHK，∴∠EPH＝∠KBH．∵cos∠KBH＝，∴PE＝（）＝．∵原抛物线的对称轴为直线x＝1，∴将抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线x＝2．又∵点F在新抛物线的对称轴上，PE垂直新抛物线的对称轴，∴x F＝2，PF＝|n﹣2|．∵PF＝PE，∴＝|n﹣2|．①当n＞2时，＝n﹣2，解得；②当n＜2时，＝﹣（n﹣2），解得．综上，当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标为或．。
2024年中考数学总复习第一部分中考考点探究微专题(四)利用垂线段求最值
福建中考考点探究
四 三 角 形
微专题（四） 利用垂线段求最值
1. 如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，M是
射线OC上一动点，则PM长的最小值为（
A. 3
B. 5
C. 7
D. 10
1
2
3
4
5
B ）
6
7
2. 如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，P是对角线BD上一动
动点，求PB＋
3
PD的最小值.
2
第6题
1
2
3
4
5
6
7
解：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E.∵ 四边形ABCD为平行四
边形，∴ AB∥CD.∴ ∠EDP＝ ∠DAB＝60°.∴ PE＝PD·
sin∠EDP＝
PD.∴
PB＋
PD＝PB＋PE.∴
PB＋PE取最小值，即PB＋
＝AB·
sinA＝3 .∴ PB＋
上运动.由垂线段最短，可知当GH⊥CG时，GH的长最小.∵
＝ ×8 ＝ 5 ， ∴
DH＝ CD
CH ＝ CD － DH ＝ 8 － 5 ＝ 3.∴ GH 长 的 最 小 值 为
CH·
sin∠DCG＝3×
＝
第7题
1
2
3
4
5
6
7
当B，P，E三点共线，即BE⊥AD时，
PD取最小值，最小值为BE的长，此时BE
Hale Waihona Puke PD的最小值为3
第6题
1
2024年中考数学二轮专题复习：线段和差的最大值与最小值(拔高)(含答案)
中考二轮复习：线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： 一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型mm AB mA B mnnnm nnnm变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：m n mnm n m2、点与圆在直线同侧：三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
（2）点A、B在直线m同侧：二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：m mQQPB（2）点A 、B 在直线m 异侧：对应训练： 一、填空题：1．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．则PB +PE 的最小值是 ． 2．如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，则PA +PC 的最小值是 ．3．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．5．已知A (－2，3)，B (3，1)，P 点在x 轴上，若PA ＋PB 长度最小，则最小值为 ．若PA —PB 长度最大，则最大值为 ．6．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为 ．7、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD 的边长是2，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则第1题 第2题 第3题 第4题 mB'PP'DQ+PQ 的最小值为 ．二、综合题：1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝PA ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝PA ＋PB ．（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝PA ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x 轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是.2.已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？y x CB AD OE y （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA －PB ≤AB ； (3)当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
中考数学专题复习线段的和差最值复习24页PPT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
中考数学专题复习线段的和差最值复 习
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
2024年中考复习-13 二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题(解析版)
抢分秘籍13二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =-++++交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．设()234P m m m -++，，则∴(2222PM PE ==∵202->，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥∵()10A -，，()40B ，，∴1OA =，OB OC ==∵45ACQ ∠=︒，OCB ∠∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠∴1442BG =，本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即ON ∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--(2)当32m =时，PD 取得最大值为928．此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()323,6212--【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =--；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x --=，解得=1x -或3，∴(3,0)B 设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：113k b =⎧⎨=-⎩∴3y x =-则263n -=-，∴32n =，∴M ③当90MCN ∠=︒时，过点M∵90MCF NCO ∠+∠=︒，CNO ∠∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽，∴CF MF NO CO =，∴()3263n n n ---=，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,4Q t ⎛- ⎝∴231133444PQ t t t ⎛⎫=---+-= ⎪⎝⎭∵AQE PQD ∠=∠，AEQ QDP ∠=∠∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，如图，二次函数213442y x x =--的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A -，，()80B ，，()04C -，，直线BC 的表达式为1y x 42=-；(2)线段MN 长的最大值为45；(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()46-，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得225MN PN PM PM =+=，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得25AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x --=，解得12x =-，28x =，令0x =，则4y =-，∴()20A -，，()80B ，，()04C -，，设直线BC 的表达式为4y kx =-，代入()80B ，得084k =-，解得12k =，∴直线BC 的表达式为1y x 42=-；∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠，∴4tan tan 8OC PNM OBC OB ∠=∠===∴2PN PM =，22MN PN PM =+=∴(2155244MN m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =-+联立得241234412x x x ---+=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA MC ''+的最小值为．设直线AC 的解析式为y =将()0,2A ，()4,0C 代入y 240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y =由平移的性质可知，MA '∴MA MC ''+的值最小就是显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点∴()4,4C ''-，∴()(min MA MC M A '''+=+设直线AC ''的解析式是：将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =-＋与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-＋的表达式；(2)当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值． OH PH ∴=，POH ∠连接BC ，4OC BC == ，42OB ∴=．22BP = ，22OP OB BP ∴=-=在OA 上方作OMQ ，使得4OC BC == ，BC ⊥45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP ∠=(SAS)CBP MOQ ∴△≌△CP MQ ∴=，1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【答案】(1)24.y x x =-(2)()2,8B (3)()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯- 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：y kx =55,k \=解得：k =∴直线OA 为：y =()2,2,Q ∴OAB BOQ ABQ S S S ∴=+ 12515,2y =-⨯=解得：8y =或4,y =-()()5,5,2,8,A B ()(2525AB ∴=-+设AB 为：y k x b '=+55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩'解得：1,10k b =-⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1图2图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．设直线BC 的解析式为5y kx =+代入点()50B ，得055k =+，解得∴直线BC 的解析式为y x =-+当2x =，253y =-+=，∴()23Q ，，∵点()10A -，，∵221526=+=AC ，设点M 的坐标为(24m m -+，∵顶点D 的坐标为()29，，∴()2945MH m m =--++=()22945GN n n n =--++=-由题意得H G MDN ∠=∠=∠∴90MDH NDG ∠=︒-∠=∠∴MDH DNG ∽△△，∴当20x -=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，，∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．题型三胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A -、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N ，求AN 的最大值．设AC 的解析式为y kx b =+2302k b b ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AC 的解析式为33y x =23AO = ，2CO =，3CO本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30︒的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为y =-PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴，90AOC ∴∠=︒，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形；②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，OB =∴45OCB ∠=︒，∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∴1122PBCS PE OB =⨯⨯= 当32x =时，PBC 的最大面积为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN =∴45OBC OCB ∠=∠=︒，3．（2023·山东济南·一模）抛物线()2122y x a x a =-+-+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值．设BC l ：y kx b =+，将()0,4，BC l ∴：4y x =-+，设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则21PD y y m m =-=-++根据旋转得性质得出：OE ∵9494OF OC ⋅=⨯=，2OE OF OC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，题型四化简求值的解法【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于原点O 和点()40A ，，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点()13B ，，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数解析式及点C 的坐标．(2)点P 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连接OP ，与BF 交于点G ，连接DG ．求四边形GDEF 面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q ，使得45BOQ ∠=︒若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点()13B ，，∴13BN ON ==，．又点()40A ，，∴点()43M ，．∴3BM =．又MH BN =，ONB BMH ∠∠=∴()SAS OBN BHM ≌．∴OB HB =，且OB HB ⊥．∴45BOH ∠=︒．∴OH 与抛物线的交点Q 即为所求的点．∵1MH =，∴点()42H ，．本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴的交点为()()4,0,2,0A D -，与y 轴交点为C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线的A ~B 段上存在点P ，求五边形APBCD 面积的最大值ax M S ；(3)问该抛物线上是否还存在与点P 不重合的点Q ，使以A 、B 、C 、D 、Q 五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形APBCD 面积的最大值ax M S ，若存在，直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）解：由（2）可知，S 五边形由对称性可知，点P 与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点∵抛物线解析式为238y x =-∴顶点坐标为2718⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴顶点与B 、C 组成的三角形面积为1．（2024·山东济南·一模）如图，直线132y x=-+交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214y x bx c=-++经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点(),0P m顺时针旋转90︒得到线段O A''，若线段O A''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．设21,34M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，令0y =，得2134y x x =-++解得：2x =-，或6x =，∴PO PO m '==，'='A O OA ∴(),O m m '，()3,A m m '+，当()3,A m m '+在抛物线上时，有解得，326m =-±，，与轴交于点1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC PB BC 、、，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF x ⊥轴于F ，若(),0M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．。
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线段最值问题的方法技巧
模型介绍：几何最值中比较常见的是线段最值与线段和差最值，主要来源于两个公理，一是两
点之间线段最短，二是垂线段最短，由这两个公理衍生出一些基本定理和基本图形.
常用到的定理是：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
解题思路：利用平移、对称或旋转来变换线段和点的位置， 使动点变定点， 或找出动点的运
动轨迹 ( 经常在某直线或某圆周上) ，使之符合基本定理或基本图形来求线段最值或线段和差最
值.
类型 1 平移变换
方法技巧 基本型
平移变换
线段AB平移，注意线段AB不能发生旋转，与定点或动点(一般情况下在直线上移动)
之间连线组成线段和差最值，利用平行四边形的对边平行且相等来变换线段的位置.
例1、如图，已知直线𝑏‖𝑐，点A，B分别在直线b，c 上，且 𝐴𝐵⊥𝑏，C，D是平面内的两点，
𝐷𝐸‖𝐴𝐵，𝐶𝐸‖𝑏，若𝐴𝐵=2，𝐷𝐸=6，𝐶𝐸=3，求𝐷𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶的最小值.
练习题
1、如图，OA 是⊙O的半径，𝑂𝐴=3，𝐴𝐷⊥𝑂𝐴，𝐴𝐷=7，B是⊙O上一动点，过点B作
𝐶𝐵‖𝐴𝐷，且𝐶𝐵=1(点C 在点B 的上方)，连接 DC，求DC的最小值和最大值.
2、如图，直线𝑏‖𝑐，且两条平行线间的距离是2，C是直线b，c外一点，且点 し均且线c的距离
𝐶𝐺=4，点A，B分别在直线b，c上，且AB与直线b所夹的锐角是45°，E是直线c上一点，
𝐸𝐺=8，且过点E的直线EF与直线c 所夹的锐角是30°，M是EF上一点，连接 AM，求𝐵𝐶+AM
的最小值.
类型 2 对称变换
方法技巧 基本型
对称变换 一个点或多个点在同一条直线上移动或在不同直线上移动，利用垂直平分线上的点到
线段两端点的距离相等来变换线段的位置.
例1、如图，P是直线l上任意一点，A，B是直线l上方的两点，A，B两点到直线l 的距离分
别是 1，4即𝐴𝑀=1，𝐵𝑁=4，已知 𝐴𝐵=5，求𝑃𝐴+𝑃𝐵的最小值.
练习题
1、如图，𝐴𝐵=4，P 为AB 的中点，顶点为 P 且在AB 上方的两条射线PM，PN形成的夹
角 ∠𝑀𝑃𝑁=120°，C是PM 上一点，D是PN上一点，且𝐴𝐶=3，𝐵𝐷=43，求 CD的最大值.
2、如图，在矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2AB=6，E是DC上一点，G是BC上一点
,CD=3CE，BC=2CG，M是BC上一动点，连接 AM，N是AM的中点,连接ND，NF，求DN−FN
的最大值.
3、问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，
N，AM＝2，BN＝3，MN＝5，P是直线l上一点，求PA+PB
的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为
M，N，AM＝3，BN＝4，MN＝7，P是直线l上一点，求PA+PB
的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、
餐饮于一体的景点．如图，OM，ON是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小
岛，且岛A与OM的距离为20m，与ON的距离为30m，岛B与OM的距离为40m，与ON的距
离为20m．现计划在旅游大道OM处选一点P，修建桥梁PA，PB，通往A，B两岛，并修建桥梁
AB，将A，B
两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）
类型3 旋转变换
方法技巧 基本型
旋转变换
通过旋转变换，把由三角形内一点发出的三条线段(星型线) 转化为两定点之间的折线
(化星为折)，再利用“两点之间，线段最短”求最小值(化折为直).
例1、问题提出：
如图1，△ABC是边长为1 的等边三角形，P 为△ABC 内部一点，连接 PA，PB，PC，求
PA+PB+PC 的最小值.
方法分析：
通过旋转，可把所求问题中的 PA，PB，PC 由分散变为集中，再利用“两点之间，线段最短”求
最小值.
问题解决：
如图 2，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至，△𝐵𝑃′𝐴′，过点𝐴′作𝐴
′
𝐸⊥𝐶𝐵交CB的延长线于点
E， 连接𝑃𝑃
′，𝐴′𝐶，设𝐴′𝐶与AB相交于点D，易知𝐵𝐴′=𝐵𝐴=𝐵𝐶=1，∠𝐴′
𝐵𝐶=
∠𝐴′𝐵𝐴+∠ABC=120°，由𝐵𝑃′=𝐵𝑃，∠𝑃′𝐵𝑃=60°，知△𝑃′𝐵𝑃为等边三角形，因此，𝑃𝐵=𝑃′𝑃，
故PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC，当点𝐴′，𝑃′，P，C共线时，PA+PB+PC最小，最小值是，𝐴
′
𝐶的长，
再在Rt△A'BE 和𝑅𝑡△𝐴
′𝐶𝐸中解直角三角形，即可求出𝐴′
𝐶的长.
学以致用：
(1)如图3，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=4，CA=3，P 为△ABC 内部一点，连接 PA，PB，
PC，则 PA+PB+PC 的最小值为 ;
(2)如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=2√2 ，CA=3，P为△ABC 内部一点，连接 PA，
PB，PC，则√2𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶的最小值为 .
练习题
【问题背景】
数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：如图1，草原上有三个放牧
点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离
相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【问题探索】
聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使
点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？
通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC 绕点A逆时
针旋转 60°，得到△AP'C'，连接 PP'，可知△APP′为等边三角形，因此 PA+PB+PC＝PP'+PB+P'C'，
由两点之间，线段最短，可知PA+PB+PC 的最小值即为点B，P，P′，C′共线时线段BC′的长．
【类比探究】
（2）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为△ABC 内一点，
连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC 的最小值．
【实际应用】
（3）如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道PB，PC，PE，
要求PE⊥AD．若AB＝4，BC＝6，请直接写出输水管道长度的最小值．