专题08旋转中的最值问题
.旋转中的最值问题 ()
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 到原点的最大距离是。
+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=，动点P CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号10+
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D ，
将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F CF ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的
两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M 处，以M 别交于点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。
几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题
几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题一、教材分析：几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。
一、学习目标：1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。
2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想三、教学重难点在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程：（一）复习引入：（1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短）（2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短）（3）旋转的性质：①旋转不改变__形状和大小；②经过旋转图形上的 _所有点都绕中心沿相同方向转动了相同的角；③任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等__；（二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离例1、如图，若AB=5，BC=6，∠C=45°，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最小值为，EP1最大值为。
CC1解题分析：（如图）（1）先在AC 上找出动点P 所在位置，即当BP ⊥AC 时，P 点到B 点距离最小; (2）P 点的运动路线是在以B 点为圆心,BP 为半径的⊙B 的圆周上运动； (3）通过观察可以发现当P 点运动AB 上，与AB 交于P 1时，EP 1的长度最小； 当P 点运动到AB 的延长线上交于P 2时，EP 的长度值最大。
解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P 点位置 （2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， （3）画图转化，根据点P 的运动轨迹找出P 到E 的最值.变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90º，BC＝6，AC ＝12，D 为AC 上一点，AD ＝8，将AD 绕点A 旋转到AD ’,连接BD ’，F 为BD ’的中点，则CF 长度的最大值为 。
专题08 数列中的最值问题【解析版】
第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+ ，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。
08 初三数学培优专题(8)——相对运动思想解多动点最值问题
相对运动思想解多动点最值问题相对运动思想：把原来的动点看做参，这样动变成了静，静变成了动。
注意相对运动的轨迹。
使用条件是：1.运动的点多余静态的点（注意这里说的不是所有点是和问题有关的点）2.动点是多个，但必须是严格联动，也就是动点围成的图形不会放缩，不会变形，所以题目往往是以一个图形的整体运动作为条件。
典型问题【例1】（2012•济南13题）如图，90MON∠=︒，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2AB=，1BC=，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A1B C D．5 2分析：显然点D的轨迹比较复杂，直接去求OD的最值不容易，能从其他方面入手吗？下面给出3种方法：方法1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，OD OE DE +，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2AB =，1BC =，112OE AE AB ∴===，DE ==，OD ∴1．故选：A ． 法2：（初三解法）我们还应深入思考点E 的轨迹，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB 为定长＝2，则OE ＝1，O 为定点，则E 点的轨迹在图中为四分之一圆弧，则问题转化为圆外有一点D ，已知其到圆上一点E 的距离确定，圆的半径也已确定，要求点D 与圆心O 距离的最大值．显然当O 、E 、D 三点共线时，OD 取到最大．法3：（运动相对性，定边对定角——隐圆）本题中，我们深入挖掘题目的本质，不难发现，AB 为定值2，而△OAB 中，AB 的对角∠O 始终为定值90°，根据上一讲“定弦定角必有圆”，可以构造△OAB 的外接圆⊙E ，E 为AB 中点，我们把AB 固定，则点D 固定，此时点O 就变为动点，问题转化为求⊙E 上一动点O 到圆外一定点D 距离的最大值．显然当动点与圆心，及圆外定点在同一直线上时，距离最大【变式1】（2009•潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是 ．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，AB BC AC a ∴===，根据三角形的性质可知：12OD a =，2CD a =．OC ∴．【点评】直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．【例2】如图，正方形ABCD 的边长为3，E 、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF =，连接AE 、AF ，则AE AF +的最小值为( )A ．B ．C ．92D ．225解：如图作//AH BD ，使得AH EF =，连接CH 交BD 于F ，则AE AF +的值最小．AH EF =，//AH EF ， ∴四边形EFHA 是平行四边形，EA FH ∴=， FA FC =，AE AF FH CF CH ∴+=+=， 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，//AH DB ，AC AH ∴⊥，90CAH ∴∠=︒，在Rt CAH ∆中，CH ==AE AF ∴+的最小值， 故选：A ．【变式1】2019年成都中考24题如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒. 将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D' ，分别连接A'C ，B 'C ，则A'C + B'C 的最小值为【例23（2018天津第3问）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE ∆的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】方法1：如图③中，当点D 在线段BK 上时，D E K ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯-=当点D 在BA 的延长线上时，△D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯+=．303S +．旋转出隐圆如右图，以A 为圆心，AO 为半径作圆，过点K 作直径D 1D 2，当点D 与点D 1 重合时，S △KDE当点D 与点D 2 重合时，S △ KDE， 故S 303S +.反思：旋转的本质是图形上的每一个点绕旋转中心在同心圆上作同步运动，故而旋转出隐圆.本题的难点是最后一问，这里首先作出点D 所在的轨迹圆⊙A ，而DE 始终为⊙A 的切线且DE ＝3，要使△KDE 的面积取最值，只要使DE 边上的高取最值即可；如上图所示，过⊙A 上的任意点D 作切线DE ，作KG ⊥DE 于点G ，交⊙A 于点R ，再过点K 作直径D 1D 2，则KG ≥KR ≥KD 1，当且仅当点D 与D 1重合时，KG 取最小值，此时△KDE 的面积最小；另外，KG ≤KD ≤KD 2，当且仅当点D 与D 2重合时，KG 取最大值，此时△KDE 的面积最大方法2：相对运动最后一问：正常动是四个动点有点唬人，其实相关的动点就俩，E 和D ，E ，D 都是绕A 圆周运动，所以要看相关点，静态点相关的就是K下面是相对运动：让K 运动，K 绕点A 圆周运动。
初中数学旋转最值解题技巧
初中数学旋转最值解题技巧
一、旋转最值解题技巧概述在初中数学中，旋转最值是一个比较常
见的问题。
它涉及到了几何图形的变换和求解极值等知识点。
对于这
类问题，我们需要掌握一些解题技巧。
二、旋转最值解题技巧详细介
绍1. 理清思路：首先要理清思路，明确所求的是什么，并且确定使用
哪种方法来求解。
2. 画图分析：通过画图可以更加直观地看出几何图
形的特征和性质，从而有助于我们找到规律和推导结论。
3. 利用对称
性质：利用几何图形的对称性质进行计算可以简化运算过程并提高效率。
4. 使用三角函数公式：在某些情况下，可以使用三角函数公式来
计算旋转后坐标点的位置以及距离等相关参数。
5. 求导法求极值：如
果需要求取某个量在旋转后取得最大或者最小值时，可以采用求导法
来进行计算。
具体步骤为将原方程表示成关于一个变量（如x）的函数，在该区间内寻找其单调递增或递减区间，并判断端点处是否存在极值
即可。
6. 规范化处理数据：有时候为了便于计算和比较大小等操作，
需要将数据规范化处理成相同单位或者相同数量级之后再进行运算。
7. 注意精度误差：由于浮点数精度限制等因素可能会引起误差累积，在
实际应用中要注意避免这种情况发生，并尽可能保证结果正确性与稳
定性。
三、总结以上就是初中数学旋转最值解题技巧的详细介绍。
通
过掌握这些技能，在实际应用中能够更加熟练地处理各种复杂问题，
并获得更好的成果。
旋转中的最值问题(最新)
旋转中的最值问题班级姓名座号【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为．【变式训练】1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝7，点D是BC边上一动点，以AD为一边等边△ADE，则线段CE长度的最小值是．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝34，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，求DG的最大值和最小值．【例2】思考：（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE（在BD下方），连接CE．若CD＝1，CE＝3，则AC＝．（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（在BD 下方），点M是BC的中点，连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是．问题解决：（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD 为边作等边△BDE（在BD下方），连接ME，则ME的长是否存在最小值？不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值．【变式训练】1、如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠EDC＝90°，AB＝5，DE＝3，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF．（1）如图1，当B，C，D三个点共线时，请直接写出BF与DF的数量关系与位置关系；（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，当点G，H，F 三点不共线时，连接GF，HF，BG，DH，求证：△BGF≌△FHD；（3）在（2）的条件下，连接BD，在△EDC绕点C旋转的过程中，求△BFD面积的最小值，并说明理由．2、如图，△ABC为等边三角形，AB＝12，将边AB绕点A顺时针旋转θ，得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；（2）M为边AC上一点，当CM＝4时，求线段BM的长；（3）在（2）的条件下，边AB绕点A旋转过程中，求线段BF长度的最小值．。
九年级上学期数学旋转中的最值问题
九年级数学——旋转中的最值问题
1、如图，已知PA=2，PB=4，以AB为边作正方形ABCD，连PD，
且P、D在直线AB的两侧，当∠APB变化时，求PD的最大值。
2、如图△ABC中，AB=5，AC=3，以BC为边作等腰Rt△BCD，且∠BDC=90°，当BC的长度发生变化时，求出线段AD的取值范围。
3、在△PAB
中，，PB=1，以AB为边作正方形ABCD，
则PD的最小值是，PC的最大值是。
4、如图，点M是正方形ABCD对角线上的一点，当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。
5、Rt△ACB中，∠ACB=90°，，BC=4，P在△ACB的内部，且∠APC=120°，求的最小值。
6、如图，已知线段AB=4，C为AB的中点，CM=1，CM在
平面内绕C点逆时针旋转角（），以BM为边作
等腰直角三角形，使得PM=BM，∠PMB=90°，求AP的最
小值。
A B。
动点类题目旋转问题探究(解析版)
专题08 动点类题目旋转问题探究题型一：旋转问题中三点共线问题例1．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中，①当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.②当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2．（2019•金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=点D，E分别在边AB，BC 上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：BD=2DO.（2）已知点G为AF的中点.①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长.②若AD=6BD,是否存在点E,使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的值；（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB；（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由.图1 图2 图3例4．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC 交AD于点F，AP=FD.（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q’落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B’是否落在线段BN上，请说明理由.例5．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝kx（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝kx（x＜0）的图象上，并说明理由．例6．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠线段DB和DG之间的数量关系是；∠写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.图1 图2 图3例7．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A、D在直线上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°<α<30°），得到菱形AB’C’D’. B’C’交对角线AC于点M，C’D’交直线l于点N，连接MN.（1）当MN∥B’D’时，求α的大小.（2）如图2，对角线B’D’交AC于点H，交直线l于点G，延长C’B’交AB于点E，连接EH. 当△HEB’的周长为2时，求菱形ABCD的周长.专题08 动点类题目旋转问题探究（解析）题型一：旋转问题中三点共线问题例1．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD =30，DM =10.（1）在旋转过程中，①当A 、D 、M 三点在同一直线上时，求AM 的长.②当A 、D 、M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连接D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C =135°，CD 2=60，求BD 2的长.【分析】（1）①根据点D 及M 的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A 、D 、M 三点在同一直线上时有两种情况，点D 在A 与M 之间或点M 在A 与D 之间；②由题意知D 、M 均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知△AD 1D 2是等腰直角三角形，连接CD 1，△ABD 2≌△ACD 1，由∠D 1D 2C =90°，利用勾股定理求得CD 1的值，即为BD 2的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）①点D 在A 与M 之间时，AM =AD +DM =30+10=40.点M 在A 与D 之间时，AM =AD －DM =30－10=20.②当∠ADM =90°时，由勾股定理得AM= 当∠AMD =90°时，由勾股定理得AM=（2）∵摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，DD M∴AD 1=AD 2，∠D 1AD 2=90°，∴∠AD 1D 2=∠AD 2D 1=45°，D 1D 2=∵∠AD 2C =135°，∴∠D 1D 2C =90°，连接D 1C ，如下图所示，∵∠BAD 2+∠D 2AC =∠CAD 1+∠D 2AC =90°，∴∠BAD 2=∠CAD 1∵AB =AC ，AD 2=AD 1，∴△ABD 2≌△ACD 1∴BD 2= CD 1在Rt △D 1D 2C 中，由勾股定理得：D 1C =.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2．（2019•金华）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF .（1）如图1，若AD=BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ,求证：BD=2DO .（2）已知点G 为AF 的中点.①如图2，若AD=BD ，CE =2，求DG 的长.②若AD =6BD ,是否存在点E ,使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3【分析】（1）由旋转性质及题意证明△ADO ≌△FCO ，得到结论；（2）①过点D ,F 作DN ⊥BC , FM ⊥BC ，得到△DNE ≌△EMF ，再由DG 是△ABF 的中位线，得到结果；②分当∠DEG =90°及∠EDG =90°讨论，作出图形，构造全等三角形、相似三角形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）由旋转性质得：CD =CF ，∠DCF =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，AD =BD .即∠ADO =90°，CD =BD =AD ,∴∠DCF =∠ADC .在△ADO 和△FCO 中，∴△ADO ≌△FCO ，∴DO =CO ，∴BD =CD =2OD .（2）①如下图所示,过点D ,F 作DN ⊥BC 于点N ,FM ⊥BC 于点M ,连结BF .∴∠DNE =∠EMF =90°.又∵∠NDE =∠MEF ,DE =EF ,∴△DNE ≌△EMF ,∴DN =EM .∵BD=,∠ABC =45°,ADO FCO AOD FOC AD FC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，，∴DN =EM =7,∴BM=BC －ME －EC=5,∴MF=NE= NC －EC=5.∴BF =∵点D ,G 分别是AB,AF 的中点,∴DG =12BF =2.②过点D 作DH ⊥BC 于点H .∵AD =6BD ，AB =BD=.当∠DEG =90°时，有如下图两种情况，设CE=t .∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，∴点A 、F 、E 在一条直线上.∴BH=DH =2, BE =14－t ，HE=BE －BH=12－t.由△DHE ∽△ECA ， 得：EC AC DH EH =，即t14212t =-，解得t =6±即CE 的长为6+或6-.当DG ∥BC 时，如下图所示，过点F作FK⊥BC于点K,延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA.连结FM.则NC=DH=2,MC=10.设GN=t,则FM=2t,BK=14－2t.∵△DHE≌△EKF，∴KE=DH=2,KF=HE=14－2t,∵MC=FK,∴14－2t=10,得t=2.∵GN=EC=2, GN∥EC，∴四边形GECN是平行四边形. ∠ACB=90°，∴四边形GECN是矩形，∠EGN=90°.∴当EC=2时，有∠DGE=90°.当∠EDG=90°时，如下图所示，过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N,M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P. 则PN=HC=BC-HB=12,设GN=t，则FM=2t，∴PG=PN-GN=12-t.由△DHE≌△EKF可得：FK=2，∴CE=KM=2t-2，∴HE=HC-CE=12-(2t-2)=14-2t，∴EK=HE=14-2t,AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t，∴MN =12AM =14-t ，NC =MN -CM =t ， ∴PD =t -2， 由△GPD ∽△DHE 可得：12-t 22142t t -=-， 解得t（不符题意，舍去）或10∴CE=2t -2=18-综上所述，CE的长为：6+或6-或2或18-题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，请直接写出HD :GC :EB 的值；（2）将图1中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图2，求HD :GC :EB ；（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD :AB =AH :AE =1:2，此时HD :GC :EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由.图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）HD :GC :EB =1：1；（2）如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接AG ，由题意知：AD =AB ，AH =AE ，∠DAB =∠HAE =60°，A∴△DAH ≌△BAE ，∴DH =BE ,又∠DAB =60°，ABCD 是菱形，∴∠DAC =30°，AC ⊥BD ，BD =2OD ，AC =2OA ，在Rt △AOD 中，OD :OA∴BD :AC=3, 由△ABD 是等边三角形，得：AD =BD ，即AD :AC同理，得AH :AG=3, ∴AD :AC =AH :AG ，又∠DAC =∠HAG ，∠DAH +∠HAC =∠CAG +∠HAC ，即∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴DH :GC∴HD :GC :EB=1: :1.(3)有变化，HD :GC :EB=1:如上图所示，由题意知：∠1+∠HAB =∠2+∠HAB =90°，∴∠1=∠2，由AH :AE =AD :AB =1:2，得：AH :AD =AE :AB ，A BC∴HD:EB=1:2，连接AG，AC，由∠2+∠HAC=∠3+∠HAC，得：∠2=∠3，AG，AC,∴AD:AC=AH:AG,∴△ADH∽△ACG，∴HD:GC∴HD:GC:EB=1: :2.题型四：旋转问题中落点规律性问题例4．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC 交AD于点F，AP=FD.（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q’落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B’是否落在线段BN上，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴CD∥AB，∴∠P=∠FCD，∴AFAP =tan ∠P =tan ∠FCD =DFCD ，设AF =x ，则DF =AP =2－x ， ∴222x xx -=-，解得：x=3-x=3+， ∴AF AP.（2）∵E 是正方形ABCD 边AB 的中点，AB =2，∴BE =1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：CE由（1）知：PE =P A +AE1-∴CE =PE ，∴∠P =∠PCE ，又∠P =∠DCF ，∴∠PCE =∠DCF ，过点F 作FH ⊥CE 于H ，如下图所示，在△CFH 和△CFD 中，°==90D FHC CF CF⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠FCH=∠FCD∴△CFH ≌△CFD ，∴CH =CD =2，FH =FD1=AP ，∴EH =EC －CH－2，DA E∴HM =EM －EH =3AF∴△APF ≌△HFM ，∴PF =FM .（3）在AD 上截取AQ ’=AQ ，在BN 上截取AB ’=AB ，连接AB ’，B ’Q ’，过点B ’作B ’G ⊥AD 于G ，交EN 于K ，如下图所示，∵tan ∠NBE =2，AB =AB ’=2，∴BB’=5∴B ’N =BN －BB由△NB ’K ∽△NBE ，得：B ’K =15，KN =25,B ’G =65,DG =25， ∴Q ’G=135- 在Rt △B ’GQ ’中，由勾股定理得：B ’Q 2=B ’G 2+ GQ ’2,而)21-≠， ∴B ’Q ≠BQ ，即B ’不在BN 上.题型五：旋转问题中函数及落点问题例5．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝﹣x +b 的图象与函数y ＝k x（x ＜0）的图象相交于点D AE NA（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝kx（x＜0）的图象上，并说明理由．【答案】（1）﹣6，5；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（﹣1，6）代入y＝kx，得k＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如下图所示，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△ODC与△OAC的面积比为2：3∴23 DMAN，又∵点A的坐标为（﹣1，6），∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，把y＝4代入y＝﹣x+5中，得x＝1，∴D（1，4）；（3）由题意可知，OD'＝OD，如下图所示，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，∵S△ODC＝S△OD'C'，∴OC•DM＝OD'•C'G，即5×4'G，∴C'G，在Rt△OC'G中，由勾股定理得：OG∴C'），≠﹣6，∴点C'不在函数y＝﹣6x的图象上．题型六：几何图形旋转中的类比探究例6．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠线段DB和DG之间的数量关系是；∠写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3【答案】（1）①DB =DG②BE BF +=（2）见解析.【解析】解：（1）由旋转知：∠GDB =90°，∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线，∴∠DBG =45°，∴∠DGB =45°，∴DG =DB ，②在△DBE 和△DGF 中，BDE FDG BD DG DBE G =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DBE ≌△DGF ，∴BE =GF ，由①知，BD =DG ，∠BDG =90°，即△BDG 是等腰直角三角形，∴BGBD ，即BE BF +=.（2）∠BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD =∠CBD =21∠ABC =30°， 由旋转可得，∠EDF =∠BDG =120°，∴∠EDF -∠BDF =∠BDG -∠BDF ，即∠FDG =∠BDE .在△DBG 中，∠G =180°-∠BDG -∠DBG =30°，∴∠DBG =∠G =30°，∴BD =DG .在△BDE 和△GDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DGBD BDEGDF∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE =GF ，∴BE +BF =BF +GF =BG .过点D 作DM ⊥BG 于点M ，如下图所示，∵BD =DG ，∴BG =2BM .在Rt △BMD 中，∠DBM =30°，∴BD =2DM ，设DM =a ，则BD =2a ，BM =a 3.∴BG =a 32， ∴3232==a aBD BG∴BF +BE =3BD .∠GM 的长度为319. 理由： ∵GF =BE =1，FC =2CD =4，CM =23BC =43, ∴GM =GF +FC +CM =1+4+43=193. 题型六：几何图形旋转中的计算题目例7．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD 的顶点A 、D 在直线上，∠BAD =60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°<α<30°），得到菱形AB ’C ’D ’. B ’C ’交对角线AC 于点M ，C ’D ’交直线l 于点N ，连接MN .（1）当MN ∥B ’D ’时，求α的大小.（2）如图2，对角线B ’D ’交AC 于点H ，交直线l 于点G ，延长C ’B ’交AB 于点E ，连接EH . 当△HEB ’的周长为2时，求菱形ABCD 的周长.【答案】见解析.【解析】解：（1）∠四边形AB ′C ′D ′是菱形，∠AB ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝AD ′，∠∠B ′AD ′＝∠B ′C ′D ′＝60°，∠∠AB ′D ′，∠B ′C ′D ′是等边三角形，∠MN ∠B ′C ′，∠∠C ′MN ＝∠C ′B ′D ′＝60°，∠CNM ＝∠C ′D ′B ′＝60°，∠∠C ′MN 是等边三角形，∠C ′M ＝C ′N ，∠MB ′＝ND ′，∠∠AB ′M ＝∠AD ′N ＝120°，AB ′＝AD ′，∠∠AB′M∠∠AD′N（SAS），∠∠B′AM＝∠D′AN，∠∠CAD＝12∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∠α＝15°．（2）∠∠C′B′D′＝60°，∠∠EB′G＝120°，∠∠EAG＝60°，∠∠EAG+∠EB′G＝180°，∠四边形EAGB′四点共圆，∠∠AEB′＝∠AGD′，∠∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∠∠AEB′∠∠AGD′（AAS），∠EB′＝GD′，AE＝AG，∠AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∠∠AHE∠∠AHG（SAS），∠EH＝GH，∠∠EHB′的周长为2，∠EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∠AB′＝AB＝2，∠菱形ABCD的周长为8．。
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专题08旋转中的最值问题考点一费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都長依据旋转思想.构造三角形全等.然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。
这个思路一走要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。
【典例剖析】1・（经典例题）已知：P是边长为1的正方形2ECD内的一点，求Rl+PB^PC的最小值.B ---------------------- C【点拨】顺时针旋转△EPC60度，可得为等边三角形，若R#PB-PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上，求岀.妒的值即可.【解析】解：顺时针旋转△BPC60度,可得恥为等边三角形.即得M+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要-IP, PE, M在一条直线上，即如下图：可得最小R1+PB-PC=.4F.此时ZEBC+ZCBP= ZFBE+ZEBC=6L = ZFBC.所以ZABF=90° +60° =150° ,ZMBF=3L ,/Q 1BW=BF・cos3（T =5C>cos30°=分MF=〒则务寺1在△zB/F中，勾股圧理得：3+仃=,护HF== J（坯2 + 2x 字x 尊+（坯 2 = J（学）2 =竿.2.（朝阳区二模）阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1，HABC中，ZACB=30° , BC=6, AC=5,在ZU5C内部有一点P，连接EL PB、PC,求R1+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为左点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求岀这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将ZUPC绕点C顺时针旋转60°,得到连接PD、BE,则EE的长即为所求.（1）请你写出图2中，Ri+PB+PC的最小值为_质_；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60° ,在菱形.13CD内部有一点P,请在图3中画岀并指明长度等于R1+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画岀一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.图3【点拨】（1）先由旋转的性质得出△ APC^/XEDC.则ZACP=ZECD、AC=EC=5, ZPCD=60° , 再证明Z5CE=90° ,然后在RtABCF中，由勾股迫理求出恥的长度，即为PA+PB-rPC的最小值：（2）①将ZUPC绕点C顺时针旋转60。
,得到ADEC,连接PE、则线段加即为R1+PB+PC最小值的线段；②当B、P、E、D四点共线时，刃+PB+PC值最小，最小值为肋.先由旋转的性质得出［\AFC9l\DEC、则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP,然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判左得出肿=CP,同理，得出DE=CE,则EP=PE=ED=|sZ)・【解析】解：(1)如图2. •・•将AJPC绕点(？顺时针旋转60° ,得到:.\APgHEDC、:.ZACP=ZECD. AC=EC=S. ZPCD=6Y ,••• ZJCP+ZPCB= ZECBZPCB,:.ZECD+ZPCB= ZACB=30a ,:• ,BCE= ZECD+ZPCB+ZPCD=3y +60° =90°・在RtA5C£中，•: ZBCE=9$ , BC=6、CE=5.:・BE= \BC2 + CE2= \^62 + 52= \/61,即Ri+PB-PC的最小值为质：(2)①将ZLIPC绕点C顺时针旋转60°,得到△£>£■(?,连接PE、DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段：②如图，当2、P、E、D四点共线时，PA+PB^PC值最小，最小值为•••将ZUPC绕点(7顺时针旋转60°,得到AAJPC^AD£C.:・CP=CE、ZPCE=60° ,/. APcr是等边三角形，:・PE=CE=CP, ZEPC=ZCEP=6Q° ・•••菱形ABCD中，ZABP= ZCBP=畀朋。
=32 ,A ZPCB= ZEPC - ZCBP=60c- Z30° =30°,：・"CB=ZCBP=3L ,:・BP=CP、同理，DE=CE、:・BP=PE=ED・连接dC,交加于点O•则JC丄BD在Rt△刃0C 中，V Z50C= 90°, ZOBC=3L , 5C=4,BO =BC• cos Z OBC=4x 号=2晶:・BD=2BO=4 屈:・BP= ；BD=攀即当R1+PB+PC值最小时PB的长为——・图33・（延庆县一模）阅读下而材料：小伟遇到这样一个问题：如图1,在△J5C （其中ABAC是一个可以变化的角）中,AB=2, AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PEC,求，妒的最大值.图i 图2 图3小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△J5P 逆时针旋转60°得到△/' BC,连接2' A,当点丄落在.4' C上时，此题可解（如图2）.（1）请你回答：的最大值是一6 .（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3,等腰RtZU5C・边AB=4. P为ZUEC内部一点，请写出求JP+EP+CP的最小值长的解题思路. 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把厶妙绕/点逆时针旋转60,得到ZU，BP'.①请画出旋转后的图形②请写出求JP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.【点拨】（1）由旋转得到BC,有M是等边三角形，当点A. C*三点共线时，f C=±l'+AC,最大即可：（2）由旋转得到结论E4PB+PC=PU1+P1B+PC,只有，旳、Pi、P、C四点共线时，（PU+P1B+PC）最短,即线段21C 最短，根据勾股定理，即可.【解析】解：（1）•: 5ABP逆时针旋转60°得到厶丁BC,加= 60°,『B=AB, AP" C是等边三角形，• •A1 A=AB~BA r=2,在C 中,A f CULT +JC»即廿＜6,则当点f A. C三点共线时,A' C=AA' +AC,即JP=6,即4P的最大值是:6：故答案是：6.（2）①旋转后的图形如图1：②如图2,A以 E 为中心，将ZUPE 逆时针旋转60°得到ZUiPiP・贝^A!B=AB=BC=4. PA=P\A\. PB=P\B,:.R4+PB-PC=P I A I-P I B-PC.•・•当旳、Pl、P、C四点共线时，（PM+PM+PC）最短，即线段旳C最短，:.A\C=PA+PB+PC.sc长度即为所求.过旳作21D丄CB延长线于DV ZJiBJ=60°（由旋转可知）,A ZA1BD=3O° ・"12=4,:.A1D=2, BD=2范.•.CD=4+2x/3：在RtAJiDC 中，2iC= J A Q + DC? = J22 + （4 + 2\/3）2 =2^2 +2^6.4. （2019春•灌桥区校级期末）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换是几何变换的一种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系淸楚明了，从而将求解问题灵活转化.问题提岀：如图是边长为1的等边三角形,P为△MC内部一点，连接PA、PB、PC,求M+PB+PC 的最小值.D®4方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两泄点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.问题解决：如图2,将△处」绕点E逆时针旋转60°至连接PP\ AC.记』C与JB交于点D、易知BA'=BA=BC=1. ZA'BC= ZABA+ZABC= 120°・由ZPBP=6V ,可知△PBP为正三角形，有PB=PP故PA + PB +PC = P f A + P f P + PC >A f C = \/3・因此，当J. P\ P. C 共线时，Rl+PB+PC有最小值是"3.学以致用：（1）如图3,在/\ABC中，ZBJC= 30° , .13=4, CA=3, P为厶毎C内部一点，连接ELPB、 PC,则的最小值是5 .（2）如图4,在/\ABC中，ZB」C=45° , AB = 2近,CA = 39 P 为内部一点，连接Ek PB、PC、求並PA + PB + PC的最小值.（3）如图5, P是边长为2的正方形.拐CD内一点，0为边BC上一点，连接PA、PD、PQ,求刃+PZHP0 的最小值.【点拨】（1）将ZUPC绕点zl逆时针旋转60°得到△*£,易知ZUFP是等边三角形，ZE坊=90°, 转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.（2）将ZUPB绕点/逆时针旋转90°得到厶匹£,易知厶旳是等腰直角三角形，ZE£8=135°,作EH^BA交的延长线于H.转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.（3）如图5中，将△JPD绕点2逆时针旋转60°得到ZUFE,则易知是等边三角形，转化为两左点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值.【解析】解：（1）如图3中，将△dPC绕点2逆时针旋转60°得到易知是等边三角形，ZE松= 90° ,在RtZ\E松中，BE= \lAE2 +AB2 =5,J R 知PB-PC=EF+FP亠PB PBE、:.R4+PB-PC^5.:.P4+PBrPC的最小值为5.故答案为5・图4将绕点川逆时针旋转90°得到ZUFE,易知厶肝是等腰直角三角形，ZE松=135°,作阳丄交的延长线于H.在Rt/XEIH 中，V ZJZ=90° , ZEAH=45° ―4E=AB=2近:.EH=AH=2.在RtZXEHC 中，EC= 02 + 52 = V29J 近时PB-PC=FP-EF+PCM CE,:.PA+PB-PC> \/29,:.R4+PB-PC的最小值为后.(3) 如图5中，将厶庇绕点川逆时针旋转60°得到厶匠，则易知是等边三角形，E作EH丄BC于民交AD于G・••• Ri^PD+PO =EF+FP+PQWEH・易知£G=J£vsm60°=屆 GH=AB=2.•••EH=2+VJ,:.Ri+PD+PO<yj3+2,:.Rl+PD+PO的最小值为V5 +2.考点二其它旋转中的最值问题【方法点拨】正确的作岀辅助线构造全等三角形是解决此类题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线•碘例剖析】I. （无锡一模）如图，正方形的边长为1,点P为EC上任意一点（可以与E点或C重合），分别过B, C,D作射线的垂线，垂足分别是员C,D\则EB+CC十DD的最大值与最小值的和为二+@_・【点拨】连接2C, DP,根据正方形的性质可得出AB=CD S F方形ABCD=1，由三角形的而枳公式即可得出+CC f +DD'）=1,结合廿的取值范用即可得出肋'+CC' +DD f的范国，将其最大值与最小值相加即可得出结论・【解析】解：连接2C, DP,如图所示・•••四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1,S” 別皿8=1,贝I］砂+CC r +DD f =命・••当P与E重合时，有最大值2：当P与C重合时，有最小值血.:.\f2<BB r +CC' +DD f W2,:.BB'+CC-DD'^J最大值与最小值的和为2+V2.故答案为：2+0.D C2. （2019-金台区二模）如图，正方形，毎CD的边长为2齿，点E为正方形外一个动点，ZAED=45。