第七周自测《旋转之求线段最值》

A
P O
B N
C
D
解： 3 3 －2； 3 3 ＋2． 2
过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，则 OE＝ 1 OB＝ 3 3 ．
2
2
故当点 P 在点 E 处时，OP 长度取最小值 3 3 ；当点 P 在点 B 处时，OP 长度取最大值 2
3 3．
A E P
O
B N
C
D
①当△AOB 绕点 O 旋转到 O，E，D 三点共线，且点 E 在线段 OD 上时，PN 取最小值，即 OE－ ON＝ 3 3 －2；
B N
MA O
C
D
【答案】 5 ． 2
【提示】如图，取 OB 的中点 E，连结 EM，EN，则 EM，EN 为定值，当点 E 在线段 MN 上时，MN 取最大值．
B N
E
A
M O
C
D
2． 已知：在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E 分别是 AB，AC 的中点．若等腰 Rt△ADE 绕点 A 旋转，得到等腰 Rt△AD1E1，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P． （1）设 BC 的中点为 M，求线段 PM 的长； （2）求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值．
专题 7《旋转之求线段最值》
破解策略 用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题 如图，线段 OA， OB 为定长，则 A， B， O 三点共线时，AB 取得最值： 当点 B 位于处 B1 时， AB 取得最小值 OA－OB；当点 B 位于 B2 处时，AB 取得最大值 OA＋OB．
B
n B
O Am
C
取 AB 中点 D， 连接 OD， CD． 当 O， C， D 三点共线时，OC 取得最小值|CD –OD|． n
B D
O
m A
C
2
例题讲解
1 例 1．已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝ ． 若 BC＝6， 点 D 在边 AC 的三等分
2 点处，将线段 AD 绕 A 点旋转，E 始终为 BD 的中点，求线段 CE 长度的最大值．
C
P
E1
E
D1
GA D
B
3． 已知：正方形 ABCD 的边长为 1，P 为正方形内的一个动点，若点 M 在 AB 延长线上，且 满足△PBC∽△PAM，延长 BP 交 AD 的延长线于点 N，连结 CM，是否存在满足条件的点 P，使 得 PC＝ 1 ？请说明理由．
2
N
D
C】不存在满足条件的点 P，使得 PC＝ 1 ． 2
2． 如图，等边△ABC 大小固定，点 A， B 分别在互相垂直的直线 m， n 上滑动．
1
n B
C
OA
m
取 AB 中点 D， 连接 OD， CD． 当 O， C， D 三点共线时，OC 取得最大值 OD＋CD．
n
B C
D
OA
m
3． 如图，Rt△ABC 大小固定，其中∠ABC＝90°，点 A， B 分别在互相垂直的直线 m， n 上 滑动．
C
E D1 P
A
D
B
E1
【答案】（1） 2 2 ；（2）1＋ 3 ． 【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，
5
所以 PM＝ 1 BC＝ 2 2 ． 2
C
E
M
D1 P
A
D
B
E1
（2）由题意知，点 D1，E1 在以 A 为圆心、AD 为半径的圆上，而点 P 在直线 BD1 上，所以当 直线 BD1 与⊙A 相切时，点 P 到 AB 的距离最大．此时四边形 AD1PE1 是正方形，即 PD1＝AD1＝ 2．如图，作 PG⊥AB 于点 G，解 Rt△PGB 即可．
【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以 AP⊥BN．以 AB 为直径，作半圆 O，连结 OC，OP，则 OP＋PC≥OC，从而 PC≥ 5 1 ，所以不存在满足条件
2 的点 P，使得 PC＝ 1 ．
2
6
N
D
C
P
A
O
BM
7
A B1 O
B2
值值值
值值值
常见的题型有： 1． 如图，Rt△ABC 大小固定，其中∠ABC＝90°，点 A， B 分别在互相垂直的直线 m， n 上 滑动．
nC B
OA m
取 AB 中点 D， 连接 OD， CD． 当 O， C， D 三点共线时，OC 取得最大值 OD＋CD． n C
B D
OA m
A
D
E
C
B
解：在 Rt△ABC 中，AC＝ BC ＝12，AB＝6 5 ． tan BAC
①
1 如图 1，当 AD＝ AC 时，取 AB 的中点 F，连接 EF 和 CF，
1 则 CF＝
AB＝ 3
5，
3
2
1 EF＝ AD＝2． 所以当且仅当 C， E， F 三点共线且点 F 在线段 CE 上时，CE 最大，
2
O A
N E(P)
B
C
D
②当△AOB 绕点 O 旋转到 O，B，D 三点共线，且点 B 在线段 DO 的延长线上时，PN 取最大值，
OB＋ON＝ 3 3 ＋2．
所以线段 PN 长度的最小值为 3 3 －2，最大值为 3 3 ＋2． 2
4
B(P)
O
A
N
C
D
进阶训练 1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中 BA＝BO＝2，CD＝CO＝3，∠ABO＝∠DCO．连结 AD，BC，M，N 分别为 OA，BC 的中点．若固定△AOB，将△COD 绕点 O 旋转，求 MN 的最大 值．
2
此时 CE＝CF＋EF＝2＋3 5 ．
A
D
FE
C
B
图1
2 ② 如图 2，当 AD＝ AC 时，同理可得 CE 的最大值为 4＋3 5 ．
3
综上可得，当点 D 在靠近点 C 的三等分点处时，线段 CE 的长度的最大值为 4＋3 5 ．
A
D
F
E
C
B
图2
3
例 2 以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD，其中∠ ABO＝30°．如图，若 BO＝ 3 3 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO＝2，P 是线段 AB 上的一个动点， 在将△AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为________，最大值为________．