中考数学复习：旋转之求线段最值
中考数学复习：旋转之求线段最值
中考数学复习：旋转之求线段最值用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B．最小值常见的题型有：1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．m取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．Arraym2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．m取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．m3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．m例题讲解例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝12．若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．解：在Rt△ABC中，AC＝tan BCBAC＝12，AB＝①如图1，当AD＝13AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝12AB＝，EF＝12AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，此时CE＝CF＋EF＝2＋图1②如图2，当AD＝23AC时，同理可得CE的最大值为4＋．综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋图2例2 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO ＝30°．如图，若BO＝N 在线段OD 上，且NO ＝2，P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为________，最大值为________．BCDPNO A－2；2． 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则OE ＝12OB．故当点P 在点E 处时，OP；当点P 在点B 处时，OP长度取最大值A O NPDBCE①当△AOB 绕点O 旋转到O ，E ，D 三点共线，且点E 在线段OD 上时，PN 取最小值，即OE －ON－2；D②当△AOB 绕点O 旋转到O ，B ，D 三点共线，且点B 在线段DO的延长线上时，PN 取最大值，OB ＋ON ＝2．所以线段PN 长度的最小值为－2，最大值为2．D进阶训练1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中BA ＝BO ＝2，CD ＝CO ＝3，∠ABO ＝∠DCO ．连结AD ，BC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．若固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，求MN 的最大值．NMABCDO【答案】52． 【提示】如图，取OB 的中点E ，连结EM ，EN ，则EM ，EN 为定值，当点E 在线段MN 上时，MN 取最大值．EODCBAM N2． 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）设BC 的中点为M ，求线段PM 的长； （2）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．E 1D 1A BC DEP【答案】（1）2）1【提示】（1）易证△E 1AC ≌△D 1AB ，所以∠E 1CA ＝∠D 1BA ，从而可得∠BPC ＝∠BAC ＝90°，所以PM ＝12BC＝MPEDC BA D 1E 1（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．B3．已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使得PC＝12？请说明理由．ACDPN【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝12．【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP＋PC≥OC，从而PC件的点P，使得PC＝12．ONPD CA。
中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题
C DEB A图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950（2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A 、B 、2C 、3D 、（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且，则CE 的长是（ ） （A ）（B ）（C ） （D ）图①ABCDEF（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm（4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.（5）如图，是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（6）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ． B ． C ．D ．3、折叠后求面积（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）N M FEDCBAmnnn （2（1A ．4B ．6C ．8D ．10（2）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．10（3）如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
中考数学复习指导：旋转正方形常见题型例析.doc
旋转正方形常见题型例析一、常规旋转，梳理研究方法问题1如图1,已知正方形ABCD与正方形DEFG如图位置摆放，线段AE与CG有何关系?并说明理由・问题2如图2,正方形ABCD不动，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转任意角度，线段4E与CG有何关系?并说明理由.解析这两个问题屮，AE与CG的关系都是：AE = CG且AE丄CG.问题1中，要证AE = CG ,只需要证明MDE三ACDG.H为四边形ABCD和DEFG 是正方形，所以AD = DC, DE = DG, ZADE = ZCDG =90° ,所以\ADE = \CDG.延长GC交AE 于点H ,要证AE丄CG ,只要证明ZCHE =90°即可.由\ADE三\CDG得到，ZAED = ZDGC ・在4DCG 和A/7CE 中，易证ZCHE = ZCDG = 90°（基本图形“8” 字模型）.问题2的方法与问题［完全类似，可仿照完成.规律点拨正方形旋转的过程中，正方形的位置虽然不断发生变化，但正方形的边相等和角为90°的条件始终不变，因此构造成的三角形始终全等，从而对应的线段和对应角始终相等.在探究线段位置关系的过程屮，利用基本图形求角的度数也是常用的方法，解题屮要学会从复杂的图形中找出基本图形，并灵活利用基本图形解决问题.二、变式旋转，玩出新的高度1•抓住定量，玩转线段关系玩法1如图3,已知正方形ABCD，点E是线段AC上一动点，以DE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE, AC与CG有什么关系?请证明.玩法2如图4,已知正方形ABCD，点E是线段AC延长线上一动点，UDE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE, AC与CG有什么关系?请证明.玩法3如图5,已知正方形ABCD，点E是线段CA延长线上一动点，以DE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE.AC与CG有什么关系?请证明.玩法4上述图•图5中，AE与CG有何位置关系?为什么？解析玩法1中3条线段的关系是：AC = CE + CG;玩法2中3条线段的关系是: CG二AC + CE ;玩法3中3条线段的关系是CE = CG + AC .分析发现，只要证\ADE = \CDG即可.因为四边形ABCD和DEFG是正方形，所以AD = DC, DE = DG,易证ZADE = ZCDG ,所以\ADE = \CDG ,所以AE = CG .玩法1中因为AC = AE + CE ,所以AC = CG + CE;玩法2 中，因为AE = AC + CE ,所以CG = AC + CE;玩法3 屮，因为CE 二AE+AC,所以CE二CG + AC.玩法4,可以用求角度法•图3、图4都易证ZACD = 45°.由全等得到ZDCG = ZDAE = 45。
道客中考数学压轴最值旋转45度问题
道客中考数学压轴最值旋转45度问题数学问题一直是学生们最头疼的难题之一，而中考中的数学压轴题更是让许多学生望而生畏。
其中，旋转45度问题被认为是一道经典且难度较高的题目之一。
那么，我们来详细分析一下这道题目，以便更好地应对考试。
旋转45度问题是一道几何题目，通常给出一个形状，要求将其旋转45度以后，求出旋转后的面积、周长等数值。
首先，我们需要了解什么是旋转45度。
当一个图形绕着一个点旋转45度时，每一点相对于这个点的距离和原来的距离相等，只是方向变了。
旋转45度后，我们可以通过一些几何知识进行求解。
我们考虑旋转后的面积。
设原图形的面积为S，而旋转后的面积为S'。
我们可以通过对原图形进行平移、旋转操作，使得问题变得更加简化。
具体实施如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。
（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。
（旋转操作）这样，我们就可以得到旋转后的图形G'。
设原图形的点集为A，旋转后的图形的点集为A'，则可以通过变换求出旋转后的面积S'。
设旋转前的某个点P(x,y)，则旋转后的对应点P'的坐标为：x' = (x - y) / √2y' = (x + y) / √2由此可以得出旋转后的面积S'的表达式为：S' = ∑[A'的(i) * A'(i+1)] / 2其中，A'(i)和A'(i+1)表示旋转后的图形的相邻两点。
通过以上的计算过程，我们就可以得到旋转后的面积S'的具体数值。
接下来，我们来考虑旋转后的周长。
周长实际上是图形上各条边的长度之和。
对于一个多边形，我们可以将每条边的两个端点都进行坐标变换，然后计算变换后的边的长度。
具体计算过程如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。
（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。
（旋转操作）3.对旋转后的图形的每条边进行计算。
2020中考数学压轴题旋转问题带答案
旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。
旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。
注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。
一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。
初中数学 中考压轴之瓜豆原理求线段最值问题
中考线段最值问题----瓜豆原理【问题引入】如下图1所示，Q为OP的中点，P为线段AB上的一个动点，Q为OP的中点，当P点在线段AB上运动时，Q点的运动轨迹是什么？【问题分析】如下图2，当P点为于A点时，此时Q点位于OA的中点Q1；当P点位于B点时，此时Q点位于OB的中点Q2；我们发现，△OQ1Q2△△OAB，随着Q点位置的不同，△OQ1Q2与△OAB 一直相似，其本质为动态相似！【模型建立】此类题中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的是另一个动点Q，P和Q之间存在着某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹即为本文要探讨的瓜豆原理。
1、两个概念：主动点：主动运动的点称为主动点，如上图1中的P点；从动点：由于主动点运动而“被迫”运动的点称为从动点，如上图1中的Q点；2、瓜豆原理成立的两个必要条件△主动点、从动点与定点连线的夹角为定值；△主动点、从动点到定点的距离之比是定值.举例如下：如下图3:，动点P在直线BC上运动，A为定点，Q为另一动点，且满足条件：①∠PAQ是定值；②AP：AQ是定值，则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致，即：P在直线BC上动，则Q在另一直线MN上动，且△BAC∽△MAN(动态相似)。
3、核心结论①从动点的运动轨迹与主动点运动轨迹一致，即如果主动点在直线上运动，则从动点也必然在直线上运动；如果主动点在圆上运动，则从动点也必然在圆上运动，故非常形象的称之为“瓜豆原理”。
②主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等)，如上图中△AMN∽△ABC。
③主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角。
如上图中∠PAQ=α。
【类型总结】---核心处理方法：Step1：找出主动点的起点和终点；Step2：找出题中所有的定点；Step3：验证两个必要条件，即：①主、从动点与定点连线的夹角为定值；②主、从动点到定点的距离之比是定值。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
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中考数学复习：旋转之求线段最值
用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题
如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B．
最小值
常见的题型有：
1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．
m
取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．Array
m
2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．
m
取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．
m
3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．
取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．
m
例题讲解
例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝1
2
．若BC＝6，点D在边AC的三等分
点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．
解：在Rt△ABC中，AC＝
tan BC
BAC
＝12，AB
＝
①如图1，当AD＝1
3
AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝
1
2
AB＝，
EF＝1
2
AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，
此时CE＝CF＋EF＝
2＋
图1
②如图2，当AD＝2
3
AC时，同理可得CE
的最大值为4＋．
综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段
CE的长度的最大值为4＋
图2
例2 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠
ABO ＝30°．如图，若BO
＝N 在线段OD 上，且NO ＝2，P 是线段AB 上的一个动点，
在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为________，最大值为________．
B
C
D
P
N
O A
－2
；2． 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则OE ＝
12
OB
．
故当点P 在点E 处时，OP
；当点P 在点B 处时，OP
长度取最大值
A O N
P
D
B
C
E
①当△AOB 绕点O 旋转到O ，E ，D 三点共线，且点E 在线段OD 上时，PN 取最小值，即OE －
ON
－2；
D
②当△AOB 绕点O 旋转到O ，B ，D 三点共线，且点B 在线段DO
的延长线上时，PN 取最大值，
OB ＋ON ＝
2．
所以线段PN 长度的最小值为
－2，最大值为2．
D
进阶训练
1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中BA ＝BO ＝2，CD ＝CO ＝3，∠ABO ＝∠DCO ．连结AD ，BC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．若固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，求MN 的最大值．
N
M
A
B
C
D
O
【答案】
5
2
． 【提示】如图，取OB 的中点E ，连结EM ，EN ，则EM ，EN 为定值，当点E 在线段MN 上时，MN 取最大值．
E
O
D
C
B
A
M N
2． 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）设BC 的中点为M ，求线段PM 的长； （2）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．
E 1
D 1
A B
C D
E
P
【答案】（1
）2）1
【提示】（1）易证△E 1AC ≌△D 1AB ，所以∠E 1CA ＝∠D 1BA ，从而可得∠BPC ＝∠BAC ＝90°，
所以PM ＝1
2
BC
＝
M
P
E
D
C B
A D 1
E 1
（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．
B
3．已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使
得PC＝1
2
？请说明理由．
A
C
D
P
N
【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝1
2
．
【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以
AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP
＋PC≥OC，从而PC
件的点P，使得PC＝1
2
．
O
N
P
D C
A。