旋转中的最值问题
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旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 到原点的最大距离是。
+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=，动点P CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号10+
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D ，
将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F CF ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的
两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M 处，以M 别交于点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。
专题08旋转中的最值问题
专题08旋转中的最值问题考点一费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都長依据旋转思想.构造三角形全等.然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。
这个思路一走要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。
【典例剖析】1・（经典例题）已知：P是边长为1的正方形2ECD内的一点，求Rl+PB^PC的最小值.B ---------------------- C【点拨】顺时针旋转△EPC60度，可得为等边三角形，若R#PB-PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上，求岀.妒的值即可.【解析】解：顺时针旋转△BPC60度,可得恥为等边三角形.即得M+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要-IP, PE, M在一条直线上，即如下图：可得最小R1+PB-PC=.4F.此时ZEBC+ZCBP= ZFBE+ZEBC=6L = ZFBC.所以ZABF=90° +60° =150° ,ZMBF=3L ,/Q 1BW=BF・cos3（T =5C>cos30°=分MF=〒则务寺1在△zB/F中，勾股圧理得：3+仃=,护HF== J（坯2 + 2x 字x 尊+（坯 2 = J（学）2 =竿.2.（朝阳区二模）阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1，HABC中，ZACB=30° , BC=6, AC=5,在ZU5C内部有一点P，连接EL PB、PC,求R1+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为左点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求岀这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将ZUPC绕点C顺时针旋转60°,得到连接PD、BE,则EE的长即为所求.（1）请你写出图2中，Ri+PB+PC的最小值为_质_；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60° ,在菱形.13CD内部有一点P,请在图3中画岀并指明长度等于R1+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画岀一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.图3【点拨】（1）先由旋转的性质得出△ APC^/XEDC.则ZACP=ZECD、AC=EC=5, ZPCD=60° , 再证明Z5CE=90° ,然后在RtABCF中，由勾股迫理求出恥的长度，即为PA+PB-rPC的最小值：（2）①将ZUPC绕点C顺时针旋转60。
八年级数学几何最值问题(旋转)(含答案)
几何最值问题（旋转）一、单选题(共5道，每道16分)1.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，则在旋转过程中的最小值是( )A. B.1C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转（）得到．设AC的中点为F，的中点为E，连接EF. （1）EF的最小值为( )A.1B.2C.D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题3.（上接第2题）（2）当EF最小时，旋转角为( )A.60°B.120°C.180°D.300°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题4.如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )A. B.C.2D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题5.如图，边长为2a的等边△ABC中，M是高AD所在直线上的一个动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接DN．则在点M运动过程中，线段DN的最小值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：几何最值问题二、填空题(共1道，每道20分)6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=8，点A，C分别在x轴、y轴上．当点A在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，则在运动过程中，点B到原点的最大距离为____．答案：16 解题思路：试题难度：知识点：几何最值问题。
道客中考数学压轴最值旋转45度问题
道客中考数学压轴最值旋转45度问题数学问题一直是学生们最头疼的难题之一，而中考中的数学压轴题更是让许多学生望而生畏。
其中，旋转45度问题被认为是一道经典且难度较高的题目之一。
那么，我们来详细分析一下这道题目，以便更好地应对考试。
旋转45度问题是一道几何题目，通常给出一个形状，要求将其旋转45度以后，求出旋转后的面积、周长等数值。
首先，我们需要了解什么是旋转45度。
当一个图形绕着一个点旋转45度时，每一点相对于这个点的距离和原来的距离相等，只是方向变了。
旋转45度后，我们可以通过一些几何知识进行求解。
我们考虑旋转后的面积。
设原图形的面积为S，而旋转后的面积为S'。
我们可以通过对原图形进行平移、旋转操作，使得问题变得更加简化。
具体实施如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。
（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。
（旋转操作）这样，我们就可以得到旋转后的图形G'。
设原图形的点集为A，旋转后的图形的点集为A'，则可以通过变换求出旋转后的面积S'。
设旋转前的某个点P(x,y)，则旋转后的对应点P'的坐标为：x' = (x - y) / √2y' = (x + y) / √2由此可以得出旋转后的面积S'的表达式为：S' = ∑[A'的(i) * A'(i+1)] / 2其中，A'(i)和A'(i+1)表示旋转后的图形的相邻两点。
通过以上的计算过程，我们就可以得到旋转后的面积S'的具体数值。
接下来，我们来考虑旋转后的周长。
周长实际上是图形上各条边的长度之和。
对于一个多边形，我们可以将每条边的两个端点都进行坐标变换，然后计算变换后的边的长度。
具体计算过程如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。
（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。
（旋转操作）3.对旋转后的图形的每条边进行计算。
三角形旋转最值问题
三角形旋转最值问题三角形旋转最值问题也称为绕心路速或三角形旋转最优化问题，是一种考虑物体旋转以达到最优化的问题。
三角形旋转最值问题可以被用于工业流程的设计，如机械加工、电路板制造等。
在这些工业流程中，物体旋转是达到最佳成果的关键，因此三角形旋转最值问题也就变得非常重要。
三角形旋转最值问题的主要目的是求得三角形旋转的最优路径，以便可以最大程度地减少旋转的距离，达到最佳的旋转效果。
为了解决三角形旋转最值问题，可以使用搜索算法、局部搜索和统计方法等，这些算法均可以被用于求解三角形旋转最值问题。
首先，搜索算法可以用于解决三角形旋转最值问题。
搜索算法是一种用于优化某种特定目标函数的算法，它首先通过在特定空间中搜索一系列可行的解来求解三角形旋转最值问题，搜索算法可以用于求解三角形的最优路径。
此外，搜索算法还可以用于求解三角形的最优旋转角度。
其次，局部搜索也可以用于三角形旋转最值问题。
局部搜索是一种用于优化目标函数的算法，它可以从当前值出发，通过对目标函数的一些微小改变来求解三角形旋转最值问题。
局部搜索可以用来求解三角形最终转弯路径，也可以用于求解三角形最优旋转角度。
另外，统计方法也可以用于三角形旋转最值问题，统计方法的主要目的在于估计物体旋转的最优路径。
统计方法可以根据实际情况来模拟物体旋转的过程，根据模拟的结果来估计出最优的旋转路径。
综上所述，三角形旋转最值问题可以通过搜索算法、局部搜索和统计方法来求解。
三角形旋转最值问题的求解可以视为一个物体从一个地点移动到另一个地点的过程，它可以用来求解三角形最终转弯路径，也可以求解三角形最优旋转角度。
三角形旋转最值问题一直是工业流程设计中重要的问题，可以帮助企业在有限的时间内，达到最佳的旋转效果。
旋转中的最值问题方法
旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。
题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。
求A'B的最小值。
解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。
2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。
3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。
4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。
5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。
题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。
求线段DE的最大值。
解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。
2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。
3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。
题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。
求BC'的最大值。
解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。
利用旋转法解几何最值问题应用举例
利用旋转法解几何最值问题应用举例一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH ＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC ＝＝2，∴GB+GC ≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．NA BM解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值。
初三旋转中的最值问题
初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。
在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。
本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。
一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。
最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。
初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。
以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。
我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。
然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。
比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。
对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。
函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。
初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。
二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。
圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。
求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。
以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。
我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。
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C
A
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点
C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，求点B 到原点的最大距离是。
找AC 中点D,O 、B 、
D 三点共线时，OB 最长
3.
如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，
P 满足CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB
、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D 在AC 上，且AD=8，将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F 为'BD 中点，连接CF ，线段CF 的
最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB的周长最小值。