旋转中的最值
一道与旋转有关的动点最值问题的探究
试题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀一道与旋转有关的动点最值问题的探究◉湖北省武汉市吴家山第二中学㊀李幽兰㊀㊀初中平面几何中,由图形运动而产生的最值问题历来是学生解题的难点,究其原因是图形一直在变化,学生无法捕捉到运动变化背后 不变 的元素,难以分析出取最值时变化元素的位置,也就无法根据具体图形分析求解[１]．其中,与旋转有关的动点求最值问题,热度一直高居不下,近几年常 驻 各地中考选填题和几何综合题的压轴位置,令莘莘学子头疼畏惧．下面笔者分享一道题目的解法和变式的深入探究,希望给读者一点启发．图１题目㊀(武汉蔡甸２０２１ 第１０题)如图１,在平面直角坐标系中,Q 是直线y ＝－１２x ＋２上的一个动点,将Q 绕点P (１,０)顺时针旋转９０ʎ,得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为(㊀㊀)．A．４５５㊀㊀㊀B ．５㊀㊀㊀C ．５２３㊀㊀㊀D．６５５图２解法１:(坐标法)分别过点Q和Q ᶄ作x 轴的垂线,垂足分别为点M 和N ,如图２．于是øQ M P ＝øP N Q ᶄ＝９０ʎ,则øP Q ᶄN ＋øN P Q ᶄ＝９０ʎ．因为øQ P Q ᶄ＝øQ P M ＋øN P Q ᶄ＝９０ʎ,则øP Q ᶄN ＝øQ P M ．又P Q ＝Q ᶄP ,所以әP M Q ɸәQ ᶄN P (A A S )．故P M ＝Q ᶄN ,Q M ＝P N ．设Q (a ,－１２a ＋２)．因为P (１,０),所以P M ＝Q ᶄN ＝a －１,Q M ＝P N ＝－１２a ＋２．于是O N ＝O P ＋P N ＝３－１２a ．所以Q ᶄ(３－１２a ,１－a )．所以O Q ᶄ＝O N ２＋Q ᶄN ２＝(３－１２a)２＋(１－a )２＝５４(a －２)２＋５ȡ５．故选答案:B ．点评:解法１抓住平面直角坐标系中的有利条件,构造了 一线三垂直 模型证三角形全等．首先设未知数表示出动点Q 的坐标,用坐标来表示线段长度进行转化,然后由勾股定理表示两点之间的距离,用含x 的式子将O Q ᶄ表示出来,最后运用二次函数的知识求出最值．这种方法虽然很巧妙㊁简便,但是有一定的局限性,只能用于有坐标系且旋转角度特殊的题目．图３解法２:(轨迹法)如图３,将әA O B 绕点P 顺时针旋转９０ʎ得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,则Q ᶄ为直线A ᶄB ᶄ上一动点,根据垂线段最短,O Q ᶄ的最小值为点O 到直线A ᶄB ᶄ的垂线段的长度d ．由直线A B 的解析式为y ＝－１２x ＋２,得A (０,２),B (４,０),所以O A ＝２,O B ＝４．由题意,得O ᶄ(１,１),A ᶄ(３,１),B ᶄ(１,－３)．设直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ,则有３k ＋b ＝１,k ＋b ＝－３,{解得k ＝２,b ＝－５．{于是直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝２x －５,则E (５２,０),F (０,－５),故O E ＝５２,O F ＝５．所以E F ＝O E ２＋O F ２＝(５２)２＋５２＝５５２．由S әO E F ＝１２O E O F ＝１２E F d ,得O Q ᶄ的最小值为O E O F E F ＝５２ˑ５５５２＝５．点评:解法２由旋转的本质出发,直线A B 绕点P顺时针旋转９０ʎ所得直线A ᶄB ᶄ即为动点Q ᶄ的轨迹,但直接求直线A ᶄB ᶄ的解析式不方便,因此旋转整个әA O B ,先求出点A ᶄ和B ᶄ的坐标,再求直线A ᶄB ᶄ的解析式,最后用面积法求出点O 到直线A ᶄB ᶄ的距离．８５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀当然,在求出了直线A ᶄB ᶄ的解析式后,也可以由此设Q ᶄ的坐标,用解法１中的坐标法,运用勾股定理和二次函数来求最值．解法２适用于大部分的动点旋转求最值问题,即先确定动点轨迹．图４解法３:(逆向轨迹法)O Q ᶄ的最小值其实是定点O 到直线y ＝－１２x ＋２绕点P 顺时针旋转９０ʎ所得到直线的距离,问题可转化为O ᶄ(１,－１)(由点O 绕点P 逆时针旋转９０ʎ得到)到直线y ＝－１２x ＋２的距离d ．如图４,过点O ᶄ(１,－１)作O ᶄA 垂直于x 轴交直线y ＝－１２x ＋２于点A ,O ᶄB 垂直于y 轴交直线y ＝－１２x ＋２于点B ．于是A (１,３２),B (６,－１),所以O ᶄA ＝５２,O ᶄB ＝５．故A B ＝O ᶄA ２＋O ᶄB ２＝(５２)２＋５２＝５５２．由S әA O ᶄB ＝１２O ᶄA O ᶄB ＝１２A B d ,得O ᶄQ 的最小值为O ᶄA O ᶄBA B＝５,即为O Q ᶄ的最小值．点评:解法３在求O ᶄQ 的最小值时同样可以用解法１的坐标法来求,在本质上它与解法２是一样的,都是将所求最值转化成定点到定直线的距离,但是解法３对解法２进行了简化,免去了求直线y ＝－１２x ＋２旋转后的直线解析式,直接旋转定点O ,思路新颖巧妙．变式１㊀在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,P 是O B 上一点,O P ＝１,Q 是边A B 上的一个动点,将Q 绕点P 逆时针旋转３０ʎ得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为．图５解析:点Q 在A B 上运动,即点Q 的轨迹为A B ,那么将A B 绕点P 旋转就能得到点Q ᶄ的轨迹．于是,将әA O B 绕点P 逆时针旋转３０ʎ得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,如图５,则点O 到A ᶄB ᶄ的距离即为O Q ᶄ的最小值．由旋转,得øB P B ᶄ＝３０ʎ．在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,所以øB ＝øB ᶄ＝øB P B ᶄ＝３０ʎ,于是A ᶄB ᶄʊO B ,则øA E B ᶄ＝øA O B ＝９０ʎ．所以点O 到A ᶄB ᶄ的距离为O E 的长度．如图５,过点B ᶄ作B ᶄF ʅO B 于点F ,则øB ᶄF P ＝９０ʎ,于是四边形O E B ᶄF 是矩形．由O B ＝A B ２－O A ２＝４２－２２＝２３,O P ＝１,得B P ＝B ᶄP ＝２３－１．øB ᶄF P ＝９０ʎ,øB P B ᶄ＝３０ʎ,所以B ᶄF ＝１２B ᶄP ＝２３－１２．故O Q ᶄ的最小值为O E ＝２３－１２．变式１没有坐标系背景,显然解法１不适用,而运用解法３,将点O 绕点P 顺时针旋转３０ʎ以后再求O ᶄ到A B 的距离较为麻烦,经对比发现,此题解法２是最简便的．类似地,还可以变化图形形状和旋转角度,解法一样．图６变式２㊀如图６,在等腰三角形A B C 中,øB A C ＝１２０ʎ,A B ＝A C ,D 是AB 上一点,A D ＝２,B D ＝４,E 是边BC 上的动点,若点E 绕点D 逆时针旋转３０ʎ的对应点是F ,连C F ,则C F 的最小值是．基于以上分析,我们可以总结:解决这类绕定点旋转的最值问题有三种方法,分别为坐标法㊁轨迹法㊁逆向轨迹法,根据不同的题目来选择合适的方法,最常用的是轨迹法．若是动点所在的直线绕定点旋转,则先确定动点旋转后的轨迹,再根据垂线段最短求点到直线的距离,最后解直角三角形得到所求最值．动态问题解题的关键是在 动 中寻找 定 的量,再由这些定量探寻出动点形成的轨迹,从而根据轨迹分析出最值位置,即 由动寻定,由定定轨,由轨求最 [２]．题目只是知识方法的一个素材,解题的过程能让学生理解知识的原理,提炼方法的本质,注重解法的策略,总结问题的归类,从而达到利用有限的题目实现无限的再创造．由解一道题变成会解一类题,乃至通解一种体系的题,这也是解题教学的方向[１]．参考文献:[１]郭源源．旋转位似 似 成双定点定形 轨 一致[J ]．教学月刊 中学版(教学参考),２０２０(１０):１１Ｇ１５．[２]郭源源． 定量 构建动点轨迹 隐圆 巧解最值问题[J ]．中学数学杂志,２０１８(１０):４２Ｇ４４．Z９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
.旋转中的最值问题 ()
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 到原点的最大距离是。
+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=，动点P CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号10+
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D ，
将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F CF ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的
两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M 处，以M 别交于点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。
初中几何之旋转最值
旋转最值题型一、等量旋转例1、阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是____________例2、△ABC 中，AB=4，AC=2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO 的最大值为___________例3、已知线段AB，点C是平面内一动点，且AB＝AC，连接BC，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，AD，AD交BC于点E。
若AB＝2，当AD最长时，则DE的长为____________题型二、放缩旋转例4、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，AD=2，BD=4，连接CD，则CD长的最大值是_____________例5、如图，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且ABBC=CE CG =12，AB=5，连接BE，BF，则BE+√55BF的最小值为_____________例6、已知正方形ABCD，E为边AB上一点，AE=1，AB=4，P是平面上一点，PE=1，将线段PB绕P点逆时针旋转90°得线段PQ，则CQ的最小值为_______________课后作业1、直线l上有两个动点A. B,直线l外有一点O,连接OA,OB, OA,OB长分别为2√2、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD.随着动点A. B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD长的最大值是___________.2、如图，已知圆O的半径为10，OA=25，P为圆上的动点，∠P=30°，∠B=90°，在P的运动过程中，则OB的最小值___________3、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝________.。
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练
初中数学几何旋转最值最短路径问题专题训练专练3 最短路径模型——旋转最值类基本模型图:【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）．A． B.6 C. D.4【思路探究】根据E为AB中点，BE＝B′E可知，点A、B、B′在以点E为圆心，AE长为半径的圆上，D、E为定点，B′是动点，当E、B′、D三点共线时，B′D的长最小，此时B′D＝DE－EB′，问题得解.【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心，AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE－EB′.故选A．22-=-【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线B D DE B E ''≤-时，等号成立.【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ＝，∴DH 的最小值为112AB=OD －OH .1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.DH OD OH ≤-【针对训练 】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大x y 距离为（ ）.ABC ．D ．312.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（）.A ． B. C. D.4323. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）.A.6B.C.9D.1+3224.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）.A. B. C.5 D.213-213+9165．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（）．A B 11-1-1+6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是A ． B21+1-7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是.8．如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．。
九年级上学期数学旋转中的最值问题
九年级数学——旋转中的最值问题
1、如图，已知PA=2，PB=4，以AB为边作正方形ABCD，连PD，
且P、D在直线AB的两侧，当∠APB变化时，求PD的最大值。
2、如图△ABC中，AB=5，AC=3，以BC为边作等腰Rt△BCD，且∠BDC=90°，当BC的长度发生变化时，求出线段AD的取值范围。
3、在△PAB
中，，PB=1，以AB为边作正方形ABCD，
则PD的最小值是，PC的最大值是。
4、如图，点M是正方形ABCD对角线上的一点，当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。
5、Rt△ACB中，∠ACB=90°，，BC=4，P在△ACB的内部，且∠APC=120°，求的最小值。
6、如图，已知线段AB=4，C为AB的中点，CM=1，CM在
平面内绕C点逆时针旋转角（），以BM为边作
等腰直角三角形，使得PM=BM，∠PMB=90°，求AP的最
小值。
A B。
旋转中的最值问题方法
旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。
题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。
求A'B的最小值。
解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。
2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。
3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。
4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。
5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。
题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。
求线段DE的最大值。
解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。
2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。
3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。
题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。
求BC'的最大值。
解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。
初中旋转变换中的最值问题
初中旋转变换中的最值问题
初中数学中的旋转变换是一个相对较难的概念，但它有助于增强学生对三维空间的理解。
在最值问题的讨论中，常常涉及到的知识点有平面几何、二次函数和三角函数等。
一个典型的例子是，给定一个三角形，通过旋转三角形的一个边，使其成为一个圆周。
然后，需要求出这个圆周上离旋转轴最远和最近的点。
这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合三角函数和二次函数的最值求法，来找到距离旋转轴最远和最近的点。
另一个问题是，给定一个平面上的点集，将其绕一个固定点旋转一定的角度。
然后，需要求出旋转后，点集到固定点的距离的最大值和最小值。
这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合二次函数的最值求法，来找到距离最大和最小的点。
解决这类问题的关键是理解旋转变换的概念，以及如何将其转化为数学模型。
同时，也需要熟悉二次函数和三角函数的最值求法。
在解题过程中，要注意灵活运用各种数学工具和方法，以找到最值问题的解决方案。
专题08 旋转中的最值问题(解析版)
专题08 旋转中的最值问题考点一 费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都是依据旋转思想，构造三角形全等，然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。
这个思路一定要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。
【典例剖析】1．（经典例题）已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A +PB +PC 的最小值．【点拨】顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE 为等边三角形，若P A +PB +PC ＝AP +PE +EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，求出AF 的值即可．【解析】解：顺时针旋转△BPC 60度，可得△PBE 为等边三角形．即得P A +PB +PC ＝AP +PE +EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小P A +PB +PC ＝AF ．此时∠EBC +∠CBP ＝∠FBE +∠EBC ＝60°＝∠FBC ，所以∠ABF ＝90°+60°＝150°，∠MBF ＝30°，BM ＝BF •cos30°＝BC •cos30°=√32，MF =12，则AM ＝1+√32=2+√32， 在△AMF 中，勾股定理得：AM 2+MF 2＝AF 2AF =√2+√3=(√22)2+2×√22×√62+(√62)2=(√2+√62)2=√2+√62．2．（朝阳区二模）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，P A+PB+PC的最小值为√61；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于P A+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当P A+PB+PC值最小时PB的长．【点拨】（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为P A+PB+PC的最小值；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为P A+PB+PC最小值的线段；②当B、P、E、D四点共线时，P A+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP＝CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE＝CE＝CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP＝CP，同理，得出DE＝CE，则BP＝PE＝ED=13BD．【解析】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC，∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝6，CE＝5，∴BE=√BC2+CE2=√62+52=√61，即P A+PB+PC的最小值为√61；（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD等于P A+PB+PC最小值的线段；②如图，当B、P、E、D四点共线时，P A+PB+PC值最小，最小值为BD．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP=12∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4，∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4×√32=2√3，∴BD ＝2BO ＝4√3，∴BP =13BD =4√33．即当P A +PB +PC 值最小时PB 的长为4√33． 故答案为：4√33．3．（延庆县一模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB ＝2，AC ＝4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，连接A ′A ，当点A 落在A ′C 上时，此题可解（如图2）．（1）请你回答：AP 的最大值是 6 ．（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt △ABC ．边AB ＝4，P 为△ABC 内部一点，请写出求AP +BP +CP 的最小值长的解题思路．提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．①请画出旋转后的图形②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．【点拨】（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，最大即可；（2）由旋转得到结论P A+PB+PC＝P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．【解析】解：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A＝AB＝BA′＝2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC，即AP＝6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）①旋转后的图形如图1；②如图2，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B＝AB＝BC＝4，P A＝P1A1，PB＝P1B，∴P A+PB+PC＝P1A1+P1B+PC．∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，∴A1C＝P A+PB+PC，∴A1C长度即为所求．过A1作A1D⊥CB延长线于D．∵∠A1BA＝60°（由旋转可知），∴∠A1BD＝30°．∵A1B＝4，∴A1D＝2，BD＝2√3∴CD＝4+2√3；在Rt△A1DC中，A1C=√A1D2+DC2=√22+(4+2√3)2=2√2+2√6．4．（2019春•灞桥区校级期末）问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC 的最小值．方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．问题解决：如图2，将△BP A绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP 为正三角形，有PB＝P'P．故PA+PB+PC=P′A+P′P+PC≥A′C=√3．因此，当A'、P'、P、C共线时，P A+PB+PC有最小值是√3．学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，则的最小值是5．（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB=2√2，CA=3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求√2PA+PB+PC的最小值．（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接P A、PD、PQ，求P A+PD+PQ 的最小值．【点拨】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“垂线段最短”求最小值．【解析】解：（1）如图3中，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB＝90°，在Rt△EAB中，BE=√AE2+AB2=5，∵P A+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，∴P A+PB+PC≥5，∴P A+PB+PC的最小值为5．故答案为5．（2）如图4中，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形，∠EAB＝135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H．在Rt△EAH中，∵∠H＝90°，∠EAH＝45°，AE＝AB＝2√2∴EH＝AH＝2，在Rt△EHC中，EC=√22+52=√29∵√2P A+PB+PC＝FP+EF+PC≥CE，∴P A+PB+PC≥√29，∴P A+PB+PC的最小值为√29．（3）如图5中，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形，作EH ⊥BC 于H ，交AD 于G ．∵P A +PD +PQ ＝EF +FP +PQ ≤EH ，易知EG ＝AE •sin60°=√3，GH ＝AB ＝2，∴EH ＝2+√3，∴P A +PD +PQ ≤√3+2，∴P A +PD +PQ 的最小值为√3+2．考点二 其它旋转中的最值问题【方法点拨】正确的作出辅助线构造全等三角形是解决此类题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线．【典例剖析】1．（无锡一模）如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点（可以与B 点或C 重合），分别过B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '，C '，D '，则BB '+CC '+DD '的最大值与最小值的和为 2+√2 ．【点拨】连接AC ，DP ，根据正方形的性质可得出AB ＝CD ，S正方形ABCD ＝1，由三角形的面积公式即可得出12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）＝1，结合AP 的取值范围即可得出BB ′+CC ′+DD ′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论．【解析】解：连接AC ，DP ，如图所示．∵四边形ABCD 是正方形，正方形ABCD 的边长为1，∴AB ＝CD ，S 正方形ABCD ＝1，∵S △ADP =12S 正方形ABCD =12，S △ABP +S △ACP ＝S △ABC =12S 正方形ABCD =12，∴S △ADP +S △ABP +S △ACP ＝1，∴12AP •BB ′+12AP •CC ′+12AP •DD ′=12AP •（BB ′+CC ′+DD ′）＝1， 则BB ′+CC ′+DD ′=2AP， ∵1≤AP ≤√2， ∴当P 与B 重合时，有最大值2；当P 与C 重合时，有最小值 √2．∴√2≤BB ′+CC ′+DD ′≤2，∴BB '+CC '+DD '的最大值与最小值的和为2+√2．故答案为：2+√2．2．（2019•金台区二模）如图，正方形ABCD 的边长为2√3，点E 为正方形外一个动点，∠AED ＝45°，P 为AB 中点，线段PE 的最大值是 √15+√6 ．【点拨】当点E 在正方形右侧时，连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，EO ，根据A ，C ，E ，D 四点共圆，可得OE ＝OD =12BD =√6，再根据PE ≤OP +OE =√6+√3，可得当点O 在线段PE 上时，PE ＝OP +OE =√6+√3，则线段PE 的最大值为√6+√3；当点E 在正方形上方时，作斜边为AD 的等腰直角△AOD ，则点E 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，当点P ，点O ，点E 共线时，PE 的值最大，求得此时PE 最大值为√15+√6；比较两个最大值，可得最终结果．【解析】解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为2√3，∴OE＝OD=12BD=√6，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP=12AD=√3，∵PE≤OP+OE=√6+√3，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE=√6+√3，即线段PE的最大值为√6+√3，如图，点E在正方形ABCD上方，作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，∵AD＝2√3，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO=√6，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO=√3∴PO=√PN2+ON2=√12+3=√15∴PE最大值为√15+√6＞√6+√3，故答案为：√15+√63．（2018•无锡一模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC （A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB 的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为3．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，BC＝4√2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．【点拨】（1）结论：OC＝AE．只要证明△CBO≌△ABE即可；（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝P A＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2√2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝4√2=定值，∠BDC＝90°，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；【解析】解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．故答案为3．（3）如图1，连接BM，菁优网∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值＝AB+AN，∵AN=√2AP＝2√2，∴最大值为2√2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE=√2，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3−√2=2−√2，∴P（2−√2，√2）．（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4√2=定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2√2+2 √2，∴AC的最大值为2√2+2√6．当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2√6−2√2．4．如图1正方形ABCD，边CD在等腰三角形DEF的边DE上，AB＝3，DE＝5，连接AE、CF，点M、N 分别是AE、CF的中点，连DM、DN、MN．（1）直接写出AE与CF的关系和△DMN的形状．（2）如图2，将等腰直角三角形DEF绕点D顺时针旋转α°（0°≤α≤45°），连接AE、CF，点M、N分别是AE、CF的中点，连DM、DF、MN．此时（1）中的两个结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．（3）在（2）的条件下，△ECF的面积在旋转过程中变化吗？若没有变化，请直接写出面积；若有变化，请直接写出它的最大值和最小值．【点拨】（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．证明△ADE≌△CDF（SAS）即可解决问题．（2）如图2中，结论成立．证明△ADE≌△CDF（SAS），再证明△ADM≌△CDN（SSS）即可解决问题．（3）△DMN的面积是变化的．求出△DMN面积的最小值或最大值即可解决问题．【解析】解：（1）如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF，△DMN是等腰直角三角形．理由：延长FC交AE于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∠DEF＝90°，∵AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠HCE＝∠DCF，∴∠HCE+∠AED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴AE⊥CF，∵AM＝EM，CN＝NF，∴DM=12AE＝AM＝ME，DN=12CF＝CN＝NF，∴DM＝DN，∠ADM＝∠MAD，∠DCN＝∠NDC，∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（2）如图2中，结论成立．理由：延长FC交AE于H．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵AD＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DCF＝∠EAD，∵∠DCF+∠DCH＝180°，∴∠DAH+∠DCH＝180°，∴∠ADC+∠AHC＝180°，∵∠ADC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AE⊥CF，∵△ADE≌△CDF，DM，DN是三角形的中线，∴DM＝DN，AM＝CN，∵AD＝DC，∴△ADM≌△CDN（SSS），∴∠ADM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠ADC＝90°，∴△MDN是等腰直角三角形．（3）如图3中，△ECF的面积在旋转过程中有变化．①当DE与DC重合时，DM的长最小，此时△DMN的值最小，DM最小值=12•√AD2+DE2=12•√32+52=√342，此时△DMN的面积=12×√342×√342=174．②当旋转角为45°时，DM 的值最大，此时△DMN 的面积最大．如图3中，DA ＝3，DE ＝5，∠ADM ＝45°，作 EH ⊥DA 交DA 的延长线于H ，MK ⊥AH 于K ． 则HE ＝DH =5√22，∵MK ∥EH ，AM ＝ME ，∴AK ＝KH =12（DH ﹣AD ）=12（5√22−3），MK =12EH =5√24， ∴DM 2＝MK 2+DK 2＝（5√24）2+[3+12（5√22−3）]2=172+15√24， ∴△DMN 的面积的最大值=12DM 2=174+15√28．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C O
P A
B
拓展二：
如图在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点F在AB 边上，且BF=2，点E为边BC上的动点，将△BEF 沿直线EF翻折，点B落在点P处，则DP的最小值 4√5 － 2 为__________.
A P F B C D
E
小结： 1、你今天学到了 _________________________________________ 2、解决了你的什么疑惑 ________________________________________ 点到直线的距离 点到圆（曲线）的距离
C
练习
如图一架长5米的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子 的顶端沿墙下滑，墙角的顶点为C，则若AB的中点 为M, ∠ACF内有一定点P且PC=6.5米，则PM的最小 值为________ 4m 。
M
P
变式二
（2017蓝田县改变）还在正方形ABCD中，AB=6cm， M变为正方形ABCD内一点且∠AMB=90°，则 CM (3√5 － 3)cm 的最小值为__________.
A D
M B
C
练习
如图:在正方形ABCD中，AB=6cm，点E、F分别 在BC、CD边上，AE、BF相交于点M，且BE=CF， 则CM的最小值为________.
A
D
F M B
C
E
拓展延伸：1、（2017威海）如图△ABC为等边
三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足 ∠APC= 120 °，线段PB长度的最小值为________ (2√3 /3)cm
模型引入:
若直线a变为曲线圆呢？如图M 如图P是直线a外一定点， M为a上一动点，你能 为⊙O上一动点， P为圆外一定 画出P到直线a的最短距离吗？（口答） 点，你能画出P到圆上点的最短 距离和最长距离吗？(请画在学 a 案上）
M O M
P
若⊙O的半径为5cm ，且PO=11cm，则P到 16cm ⊙O上最远的距离为_____ ，最近为_______ 6cm 。
4cm o
F
D
E M
B
6cm
P
变式一:（2017保定）
仍在正方形ABCD中,当M与B重合，E与A重合，且 AB=EM=6，M从B出发向C运动，E随之沿AB下滑， 当M到达C时停止，EM的中点为O,则在运动过程中， ( 6 √2 － 3)cm DO的最小值为_________ D A E
O
B M
6cm
3、点到线的距离
｛
谢
谢
二Байду номын сангаас模型应用
例：如图(1)已知正方形OBPD， M为AB上一点，点M 绕点O以OM为半径旋转，OB=6cm,OM=4cm，则PM ( 6 √2 + 4)cm ( 6 √2 － 4)cm 的最大值为______________ ，最小值为_________
O
D
M
B
P
练习（2017中考说明）
上题中若改为以OM为边的 正方形OMFE绕点O在平面内 自由旋转，则 ①PM的最大值为_______， 最小值为_________ ②你认为点P与那个点还存 在最大值，最小值？除此之 外，谁还存在最大最小值？ (2017中考说明)