旋转中的最值问题
一道与旋转有关的动点最值问题的探究
试题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀一道与旋转有关的动点最值问题的探究◉湖北省武汉市吴家山第二中学㊀李幽兰㊀㊀初中平面几何中,由图形运动而产生的最值问题历来是学生解题的难点,究其原因是图形一直在变化,学生无法捕捉到运动变化背后 不变 的元素,难以分析出取最值时变化元素的位置,也就无法根据具体图形分析求解[１]．其中,与旋转有关的动点求最值问题,热度一直高居不下,近几年常 驻 各地中考选填题和几何综合题的压轴位置,令莘莘学子头疼畏惧．下面笔者分享一道题目的解法和变式的深入探究,希望给读者一点启发．图１题目㊀(武汉蔡甸２０２１ 第１０题)如图１,在平面直角坐标系中,Q 是直线y ＝－１２x ＋２上的一个动点,将Q 绕点P (１,０)顺时针旋转９０ʎ,得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为(㊀㊀)．A．４５５㊀㊀㊀B ．５㊀㊀㊀C ．５２３㊀㊀㊀D．６５５图２解法１:(坐标法)分别过点Q和Q ᶄ作x 轴的垂线,垂足分别为点M 和N ,如图２．于是øQ M P ＝øP N Q ᶄ＝９０ʎ,则øP Q ᶄN ＋øN P Q ᶄ＝９０ʎ．因为øQ P Q ᶄ＝øQ P M ＋øN P Q ᶄ＝９０ʎ,则øP Q ᶄN ＝øQ P M ．又P Q ＝Q ᶄP ,所以әP M Q ɸәQ ᶄN P (A A S )．故P M ＝Q ᶄN ,Q M ＝P N ．设Q (a ,－１２a ＋２)．因为P (１,０),所以P M ＝Q ᶄN ＝a －１,Q M ＝P N ＝－１２a ＋２．于是O N ＝O P ＋P N ＝３－１２a ．所以Q ᶄ(３－１２a ,１－a )．所以O Q ᶄ＝O N ２＋Q ᶄN ２＝(３－１２a)２＋(１－a )２＝５４(a －２)２＋５ȡ５．故选答案:B ．点评:解法１抓住平面直角坐标系中的有利条件,构造了 一线三垂直 模型证三角形全等．首先设未知数表示出动点Q 的坐标,用坐标来表示线段长度进行转化,然后由勾股定理表示两点之间的距离,用含x 的式子将O Q ᶄ表示出来,最后运用二次函数的知识求出最值．这种方法虽然很巧妙㊁简便,但是有一定的局限性,只能用于有坐标系且旋转角度特殊的题目．图３解法２:(轨迹法)如图３,将әA O B 绕点P 顺时针旋转９０ʎ得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,则Q ᶄ为直线A ᶄB ᶄ上一动点,根据垂线段最短,O Q ᶄ的最小值为点O 到直线A ᶄB ᶄ的垂线段的长度d ．由直线A B 的解析式为y ＝－１２x ＋２,得A (０,２),B (４,０),所以O A ＝２,O B ＝４．由题意,得O ᶄ(１,１),A ᶄ(３,１),B ᶄ(１,－３)．设直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ,则有３k ＋b ＝１,k ＋b ＝－３,{解得k ＝２,b ＝－５．{于是直线A ᶄB ᶄ的解析式为y ＝２x －５,则E (５２,０),F (０,－５),故O E ＝５２,O F ＝５．所以E F ＝O E ２＋O F ２＝(５２)２＋５２＝５５２．由S әO E F ＝１２O E O F ＝１２E F d ,得O Q ᶄ的最小值为O E O F E F ＝５２ˑ５５５２＝５．点评:解法２由旋转的本质出发,直线A B 绕点P顺时针旋转９０ʎ所得直线A ᶄB ᶄ即为动点Q ᶄ的轨迹,但直接求直线A ᶄB ᶄ的解析式不方便,因此旋转整个әA O B ,先求出点A ᶄ和B ᶄ的坐标,再求直线A ᶄB ᶄ的解析式,最后用面积法求出点O 到直线A ᶄB ᶄ的距离．８５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀当然,在求出了直线A ᶄB ᶄ的解析式后,也可以由此设Q ᶄ的坐标,用解法１中的坐标法,运用勾股定理和二次函数来求最值．解法２适用于大部分的动点旋转求最值问题,即先确定动点轨迹．图４解法３:(逆向轨迹法)O Q ᶄ的最小值其实是定点O 到直线y ＝－１２x ＋２绕点P 顺时针旋转９０ʎ所得到直线的距离,问题可转化为O ᶄ(１,－１)(由点O 绕点P 逆时针旋转９０ʎ得到)到直线y ＝－１２x ＋２的距离d ．如图４,过点O ᶄ(１,－１)作O ᶄA 垂直于x 轴交直线y ＝－１２x ＋２于点A ,O ᶄB 垂直于y 轴交直线y ＝－１２x ＋２于点B ．于是A (１,３２),B (６,－１),所以O ᶄA ＝５２,O ᶄB ＝５．故A B ＝O ᶄA ２＋O ᶄB ２＝(５２)２＋５２＝５５２．由S әA O ᶄB ＝１２O ᶄA O ᶄB ＝１２A B d ,得O ᶄQ 的最小值为O ᶄA O ᶄBA B＝５,即为O Q ᶄ的最小值．点评:解法３在求O ᶄQ 的最小值时同样可以用解法１的坐标法来求,在本质上它与解法２是一样的,都是将所求最值转化成定点到定直线的距离,但是解法３对解法２进行了简化,免去了求直线y ＝－１２x ＋２旋转后的直线解析式,直接旋转定点O ,思路新颖巧妙．变式１㊀在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,P 是O B 上一点,O P ＝１,Q 是边A B 上的一个动点,将Q 绕点P 逆时针旋转３０ʎ得到点Q ᶄ,连接O Q ᶄ,则O Q ᶄ的最小值为．图５解析:点Q 在A B 上运动,即点Q 的轨迹为A B ,那么将A B 绕点P 旋转就能得到点Q ᶄ的轨迹．于是,将әA O B 绕点P 逆时针旋转３０ʎ得到әA ᶄO ᶄB ᶄ,如图５,则点O 到A ᶄB ᶄ的距离即为O Q ᶄ的最小值．由旋转,得øB P B ᶄ＝３０ʎ．在R t әA O B 中,O A ＝２,A B ＝４,所以øB ＝øB ᶄ＝øB P B ᶄ＝３０ʎ,于是A ᶄB ᶄʊO B ,则øA E B ᶄ＝øA O B ＝９０ʎ．所以点O 到A ᶄB ᶄ的距离为O E 的长度．如图５,过点B ᶄ作B ᶄF ʅO B 于点F ,则øB ᶄF P ＝９０ʎ,于是四边形O E B ᶄF 是矩形．由O B ＝A B ２－O A ２＝４２－２２＝２３,O P ＝１,得B P ＝B ᶄP ＝２３－１．øB ᶄF P ＝９０ʎ,øB P B ᶄ＝３０ʎ,所以B ᶄF ＝１２B ᶄP ＝２３－１２．故O Q ᶄ的最小值为O E ＝２３－１２．变式１没有坐标系背景,显然解法１不适用,而运用解法３,将点O 绕点P 顺时针旋转３０ʎ以后再求O ᶄ到A B 的距离较为麻烦,经对比发现,此题解法２是最简便的．类似地,还可以变化图形形状和旋转角度,解法一样．图６变式２㊀如图６,在等腰三角形A B C 中,øB A C ＝１２０ʎ,A B ＝A C ,D 是AB 上一点,A D ＝２,B D ＝４,E 是边BC 上的动点,若点E 绕点D 逆时针旋转３０ʎ的对应点是F ,连C F ,则C F 的最小值是．基于以上分析,我们可以总结:解决这类绕定点旋转的最值问题有三种方法,分别为坐标法㊁轨迹法㊁逆向轨迹法,根据不同的题目来选择合适的方法,最常用的是轨迹法．若是动点所在的直线绕定点旋转,则先确定动点旋转后的轨迹,再根据垂线段最短求点到直线的距离,最后解直角三角形得到所求最值．动态问题解题的关键是在 动 中寻找 定 的量,再由这些定量探寻出动点形成的轨迹,从而根据轨迹分析出最值位置,即 由动寻定,由定定轨,由轨求最 [２]．题目只是知识方法的一个素材,解题的过程能让学生理解知识的原理,提炼方法的本质,注重解法的策略,总结问题的归类,从而达到利用有限的题目实现无限的再创造．由解一道题变成会解一类题,乃至通解一种体系的题,这也是解题教学的方向[１]．参考文献:[１]郭源源．旋转位似 似 成双定点定形 轨 一致[J ]．教学月刊 中学版(教学参考),２０２０(１０):１１Ｇ１５．[２]郭源源． 定量 构建动点轨迹 隐圆 巧解最值问题[J ]．中学数学杂志,２０１８(１０):４２Ｇ４４．Z９５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
.旋转中的最值问题 ()
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 到原点的最大距离是。
+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=，动点P CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号10+
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D ，
将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F CF ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的
两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M 处，以M 别交于点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。
专题08旋转中的最值问题
专题08旋转中的最值问题考点一费马点问题求最值【方法点拨】费马点证明都長依据旋转思想.构造三角形全等.然后将三条线段之和转化到是否在一条直线上来决定最小值。
这个思路一走要掌握，因为它会应用在实际的考试题目中。
【典例剖析】1・（经典例题）已知：P是边长为1的正方形2ECD内的一点，求Rl+PB^PC的最小值.B ---------------------- C【点拨】顺时针旋转△EPC60度，可得为等边三角形，若R#PB-PC=AP+PE+EF要使最小只要AP, PE, EF在一条直线上，求岀.妒的值即可.【解析】解：顺时针旋转△BPC60度,可得恥为等边三角形.即得M+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要-IP, PE, M在一条直线上，即如下图：可得最小R1+PB-PC=.4F.此时ZEBC+ZCBP= ZFBE+ZEBC=6L = ZFBC.所以ZABF=90° +60° =150° ,ZMBF=3L ,/Q 1BW=BF・cos3（T =5C>cos30°=分MF=〒则务寺1在△zB/F中，勾股圧理得：3+仃=,护HF== J（坯2 + 2x 字x 尊+（坯 2 = J（学）2 =竿.2.（朝阳区二模）阅读下列材料:小华遇到这样一个问题，如图1，HABC中，ZACB=30° , BC=6, AC=5,在ZU5C内部有一点P，连接EL PB、PC,求R1+PB+PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为左点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求岀这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是，如图2,将ZUPC绕点C顺时针旋转60°,得到连接PD、BE,则EE的长即为所求.（1）请你写出图2中，Ri+PB+PC的最小值为_质_；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3,菱形ABCD中，ZABC=60° ,在菱形.13CD内部有一点P,请在图3中画岀并指明长度等于R1+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画岀一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.图3【点拨】（1）先由旋转的性质得出△ APC^/XEDC.则ZACP=ZECD、AC=EC=5, ZPCD=60° , 再证明Z5CE=90° ,然后在RtABCF中，由勾股迫理求出恥的长度，即为PA+PB-rPC的最小值：（2）①将ZUPC绕点C顺时针旋转60。
旋转中的最值问题
C
C
A
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点
A 在x 轴上运动时，点C
随之在y 距离是。
+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长
3.
如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，
，动点P 满足，线段CP 绕C
顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB
、PB 。
求BD
最大：根号
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D 在AC 上，且AD=8，将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F 为BD ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P AB 的两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M
处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB的周长最小值。
九年级上学期数学旋转中的最值问题
九年级数学——旋转中的最值问题
1、如图，已知PA=2，PB=4，以AB为边作正方形ABCD，连PD，
且P、D在直线AB的两侧，当∠APB变化时，求PD的最大值。
2、如图△ABC中，AB=5，AC=3，以BC为边作等腰Rt△BCD，且∠BDC=90°，当BC的长度发生变化时，求出线段AD的取值范围。
3、在△PAB
中，，PB=1，以AB为边作正方形ABCD，
则PD的最小值是，PC的最大值是。
4、如图，点M是正方形ABCD对角线上的一点，当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。
5、Rt△ACB中，∠ACB=90°，，BC=4，P在△ACB的内部，且∠APC=120°，求的最小值。
6、如图，已知线段AB=4，C为AB的中点，CM=1，CM在
平面内绕C点逆时针旋转角（），以BM为边作
等腰直角三角形，使得PM=BM，∠PMB=90°，求AP的最
小值。
A B。
旋转中的最值问题方法
旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。
题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。
求A'B的最小值。
解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。
2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。
3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。
4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。
5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。
题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。
求线段DE的最大值。
解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。
2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。
3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。
题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。
求BC'的最大值。
解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。
利用旋转法解几何最值问题应用举例
利用旋转法解几何最值问题应用举例一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH ＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC ＝＝2，∴GB+GC ≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．NA BM解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值。
初中旋转变换中的最值问题
初中旋转变换中的最值问题
初中数学中的旋转变换是一个相对较难的概念，但它有助于增强学生对三维空间的理解。
在最值问题的讨论中，常常涉及到的知识点有平面几何、二次函数和三角函数等。
一个典型的例子是，给定一个三角形，通过旋转三角形的一个边，使其成为一个圆周。
然后，需要求出这个圆周上离旋转轴最远和最近的点。
这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合三角函数和二次函数的最值求法，来找到距离旋转轴最远和最近的点。
另一个问题是，给定一个平面上的点集，将其绕一个固定点旋转一定的角度。
然后，需要求出旋转后，点集到固定点的距离的最大值和最小值。
这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合二次函数的最值求法，来找到距离最大和最小的点。
解决这类问题的关键是理解旋转变换的概念，以及如何将其转化为数学模型。
同时，也需要熟悉二次函数和三角函数的最值求法。
在解题过程中，要注意灵活运用各种数学工具和方法，以找到最值问题的解决方案。
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旋转中的最值问题 Revised at 2 pm on December 25, 2020.
A
旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。
2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，求点离是。
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，P 满足CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。
求BD 的最大值最小值。
最大：根号
最小：根号10 4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D 在，将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F 为，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。
6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M
处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△点A 、B 。
（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。