韦达定理经典例题
韦达定理全面练习题及答案
韦达定理全面练习题及答案1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0?≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么nmx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。
韦达定理练习题
韦达定理练习题一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】已知方程组-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ====2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件. 【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程：。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、韦达定理经典例题1.例题一2.例题二3.例题三三、韦达定理解题过程1.确定韦达定理的应用条件2.分析题目中给出的方程3.应用韦达定理求解方程4.总结解题过程并得出答案正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta 定理，是一元二次方程根与系数关系的定理。
它指出，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），其两个根x1 和x2 的和与积分别等于方程中一次项系数和常数项系数的相反数和倒数。
具体来说，韦达定理有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理经典例题1.例题一题目：已知一元二次方程x-3x-4=0，求该方程的两个根。
2.例题二题目：已知一元二次方程2x-5x+3=0，求该方程的两个根。
3.例题三题目：已知一元二次方程x+2x-3=0，求该方程的两个根。
三、韦达定理解题过程假设我们有一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），我们想要求出它的两个根x1 和x2。
1.确定韦达定理的应用条件首先，我们需要确保方程有两个实数根，即b-4ac≥0。
如果b-4ac<0，则方程没有实数根。
2.分析题目中给出的方程对于每一个例题，我们首先需要将方程写成标准形式ax+bx+c=0。
然后，我们可以根据韦达定理的公式x1 + x2 = -b/a和x1 * x2 = c/a来求解。
3.应用韦达定理求解方程对于每一个例题，我们分别代入方程的系数，计算出x1 和x2 的值。
4.总结解题过程并得出答案最后，我们将求得的x1 和x2 的值代入原方程，验证它们是否是方程的根。
如果是，我们便成功求解了该方程。
综上所述，韦达定理是一种非常有用的解一元二次方程的方法。
韦达定理练习
韦达走理练习1、已知关于X的一元二次方程x+x+1二0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是5、已知x1、x2是方程x+6x+3二0的两个实数根，则6、如果关于x的一元二次方程x - 6x+c=0没有实根，那么c 的取值范围是_________ 、7、已知关于x的一元二次方程x+2x-m二0有两个相等的实数根，则m的值是8、方程x - 2x - 1=0的两个实数根分别为xl, x2,则二9、已知a, 0是一元二次方程x-4x-3二0的两实数根，则代数式二________ 、10、已知x二2是方程x+mx-2二0的一个解，则方程的另一个解为11、用指定的方法解方程22 - 25=0 x+4x - 5=0[1 **********]的值等于-10+25=04) 2x - 7x+3=012、+3+2=013、已知关于x的一元二次方程x+2x+m二0、当m二3时，判断方程的根的情况；当m=- 3时，求方程的根、14、当实数k为何值时，关于x的方程x-4x+3-k二0有两个相等的实数根？并求出这两个相等的实数根、15、阅读材料：如果xl, x2是一元二次方程ax+bx+c=O的两根，那么有xl+x2= - , xlx2二、这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例xl, x2是方程x+6x-3二0的两根，求222222xl+x2的值、解法可以这样：Vxl+x2=6, xlx2=-3 则xl+x2=-2xlx2-2X =42、请你根据以上解法解答下题：已知xl, x2是方程x - 4x+2=0 的两根，求：的值；222222222 的值、16、已知xl, x2是方程3x+2x - 1=0的两根，求xl+x2的值、17、已知关于x的一元二次方程x+kx - 1=0,求证：方程有两个不相等的实数根；设方程的两根分别为xl, x2,且满足xl+x2二xl・x2,求k的值、18、已知x1、x2是一元二次方程2x - 2x+l - 3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式xl・x2+2>0,求实数m的取值范围、19、已知xl, x2是方程x-2x-2二0的两实数根，不解方程求下列各式的值：20、已知一元二次方程X - 2x+m二0、若方程有两个实数根，求m的范围；若方程的两个实数根为xl, x2,且xl+3x2=3,求m的值、2222222；、21、阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax+bx+c二0的两根，那么，名的韦达定理、现在我们利用韦达定理解决问题：2已知m与n是方程2x - 6x+3二0的两根填空：m+n= ________ , m* n= _________ ；计算22、已知关于x的一元二次方程x-2x-0二0、如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；如果此方程的两个实数根为xl, x2,且满足23、已知关于x的一元二次方程kx- 2x+k - 1=0有两个不相等的实数根xl, X2、求k的取值范围；是否存在实数k,使+二1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由、222,、这就是著的值、，求a的值、。
韦达定理(精品讲解与专题练习)
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、韦达定理及证明
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 则x1+1= 3 , ∴ x1=
韦达定理
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。 他是第一个引进系统的 代数符号，并对方程论 做了改进的数学家。
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
第一段
做准备：
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a
X=
2.方程合家欢，（
十字相乘 ）
是首选。
第一段
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 X1+x2 7 -3 3 - 2 两根积 x 1x 2 12 -4 -1
又x1 1=
●
m 3
16 3,
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · x2=
3 2 3 )+1= 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解： 由韦达定理，得
韦达定理应用的典型例题
韦达定理应用的典型例题韦达定理（Viviani's theorem）是解析几何中的一条定理，它是由意大利数学家韦达（Vincenzo Viviani）在17世纪提出的。
该定理描述了一个正四面体内部的特殊关系，也可以被看作是勾股定理在空间中的推广。
韦达定理可以用以下方式表述：如果在一个正四面体的每个面上都选择一个点，连接这些点所得到的三条线段的长度之和等于这个正四面体的高，则这三条线段的长度是相等的。
现在，让我们来看几个典型的例题，应用韦达定理来解决。
例题1：一个正四面体的高为6 cm，求连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度。
解析：根据韦达定理，我们知道连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度之和等于正四面体的高。
由于正四面体的高为6 cm，所以这三条线段的长度之和也为6 cm。
由于这三条线段的长度相等，所以每条线段的长度为2 cm。
例题2：一个正四面体的一条棱长为8 cm，求连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度。
解析：首先，我们需要确定正四面体的高。
一个正四面体的高是连接底面的一个顶点与相对面的中点所得到的线段。
根据勾股定理，这个高的长度等于底面棱长的一半，即4 cm。
根据韦达定理，连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度之和等于正四面体的高。
所以，这三条线段的长度之和也为4cm。
由于这三条线段的长度相等，所以每条线段的长度为4/3 cm。
这两个例题展示了如何应用韦达定理来解决正四面体中连接顶点和相对面中点的线段长度问题。
通过理解韦达定理的几何意义，我们能更好地理解空间几何中的关系，并能更灵活地应用于解决其他几何问题。
初中数学精品试题：韦达定理
例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．求：m+n=，m•n=；变式一：已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代数式baa+b的值为一、精题精炼变式四：若一元二次方程2x 2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m 的取值范围．二、问鼎巅峰已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x31＋14x2＋55＝______．三、参考答案【例题】直接根据根与系数的关系求解；得m+n=﹣=3，mn=；变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=，x1•x2=﹣；（1）原式===﹣2；（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；（3）原式===﹣3；（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b ﹣1=0两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=2；变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1所以：+===3当a=b，则原式=2∴答案为2或者3变式四：，解得m＜1．问鼎巅峰【解析】∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，∴x21＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，∴x21＝－4x1－2，而x31＝x21·x1，∴x31＋14x2＋55＝x21·x1＋14x2＋55＝(－4x1－2)·x1＋14x2＋55＝－4x21－2x1＋14x2＋55＝－4(－4x1－2)－2x1＋14x2＋55＝14(x1＋x2)＋8＋55＝14×(－4)＋63＝7.四、回味展望本类题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
韦达定理应用
韦达定理应用(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x1，则相加，得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵又∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
韦达定理经典例题
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
一元二次方程根与系数的关系培优训练
例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根。
求证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则.
例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长．
例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了
q ，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么
例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程
x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．
(1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根，
∴α2-3α-5=0，β2
-3β-5=0，且α+β=3．
∴α2=3α+5，β2=3β+5
∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．
(2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。
3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那
么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少
4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形
的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程
y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。
6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程
x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。