韦达定理经典例题复习课程
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程
摘要：
1.危险的事物
2.普通的事物
3.迅速的事物
4.威武的事物
5.锋利的事物
正文：
在我们的生活中，危险的事物无处不在，比如狂风暴雨、悬崖峭壁等。
这些危险的事物往往会给我们带来威胁，因此我们需要保持警惕，采取防范措施。
与此同时，我们生活中也有很多普通的事物，如阳光、空气和水，它们对我们来说不可或缺，但却常常被我们忽略。
而迅速的事物，如闪电、高铁等，则让我们感受到了世界的快速发展和便捷。
威武的事物，如狮子、老虎等，则代表了一种强大的力量，有时也会引发我们的敬畏之情。
至于锋利的事物，如
刀剑、针尖等，它们既可以是工具，也可能是危险的源头。
因此，我们在使用这些锋利的事物时，需要格外小心，以免造成意外伤害。
数学八下一元二次方程韦达定理课程
数学八下一元二次方程韦达定理课程韦达定理是解一元二次方程的重要工具。
一元二次方程通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。
韦达定理给出了一元二次方程解的特性，它的表述为：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，设其两个根为x₁和x₂，则有以下等式成立：x₁ + x₂ = -b / a （①）x₁x₂ = c / a （②）韦达定理是通过将方程两个根的和与积与方程系数之间的关系来推导得出的。
根据韦达定理，我们可以直接通过方程的系数求出方程的根，而不需要进行因式分解或使用求根公式。
下面我们通过一个具体的例子来理解韦达定理的应用。
假设我们有一个一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
首先，我们可以看出方程的系数分别为a = 1，b = -5，c = 6。
根据韦达定理，我们可以计算出方程的两个根的和和积。
根据公式（①）：x₁ + x₂ = -b / a = -(-5) / 1 = 5。
根据公式（②）：x₁x₂ = c / a = 6 / 1 = 6。
得到方程的两个根的和为5，积为6。
现在我们可以利用以上结果解一元二次方程x² - 5x + 6 = 0。
我们需要找到两个数，使得它们的和为5，积为6。
通过观察我们可以发现，这两个数分别为2和3。
因为2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。
所以，方程的两个根分别为2和3。
因此，方程x² - 5x + 6 = 0的解为x₁ = 2和x₂ = 3。
这个例子展示了如何利用韦达定理求解一元二次方程。
通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
韦达定理不仅可以解一元二次方程，还可以应用于其他方程问题。
例如，我们可以利用韦达定理来解决一些和根相关的问题，比如找出满足一定条件的根的值。
总结一下，韦达定理是解一元二次方程的一种有效方法，通过计算方程系数的和与积，我们可以直接得到方程的根。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、韦达定理经典例题1.例题一2.例题二3.例题三三、韦达定理解题过程1.确定韦达定理的应用条件2.分析题目中给出的方程3.应用韦达定理求解方程4.总结解题过程并得出答案正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta 定理，是一元二次方程根与系数关系的定理。
它指出，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），其两个根x1 和x2 的和与积分别等于方程中一次项系数和常数项系数的相反数和倒数。
具体来说，韦达定理有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理经典例题1.例题一题目：已知一元二次方程x-3x-4=0，求该方程的两个根。
2.例题二题目：已知一元二次方程2x-5x+3=0，求该方程的两个根。
3.例题三题目：已知一元二次方程x+2x-3=0，求该方程的两个根。
三、韦达定理解题过程假设我们有一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），我们想要求出它的两个根x1 和x2。
1.确定韦达定理的应用条件首先，我们需要确保方程有两个实数根，即b-4ac≥0。
如果b-4ac<0，则方程没有实数根。
2.分析题目中给出的方程对于每一个例题，我们首先需要将方程写成标准形式ax+bx+c=0。
然后，我们可以根据韦达定理的公式x1 + x2 = -b/a和x1 * x2 = c/a来求解。
3.应用韦达定理求解方程对于每一个例题，我们分别代入方程的系数，计算出x1 和x2 的值。
4.总结解题过程并得出答案最后，我们将求得的x1 和x2 的值代入原方程，验证它们是否是方程的根。
如果是，我们便成功求解了该方程。
综上所述，韦达定理是一种非常有用的解一元二次方程的方法。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、经典例题解析1.线性方程组解的性质2.非线性方程组解的性质3.方程组解的应用问题三、解题步骤与方法1.确定未知数2.建立方程组3.应用韦达定理4.求解方程组四、易错点与注意事项五、总结与提高正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）提出的一个有关多项式方程的定理。
它揭示了多项式方程系数与根之间的关系。
根据韦达定理，多项式方程的系数可以表示为根的线性组合，而且这种表示是唯一的。
二、经典例题解析1.线性方程组解的性质线性方程组是多项式方程的一种特殊形式。
对于线性方程组，我们可以利用韦达定理求解其解的性质。
例如：解：设线性方程组为：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 3根据韦达定理，我们可以知道：x + y + z = 12x - y + z = 2x + 2y - z = 32.非线性方程组解的性质非线性方程组是指含有非线性项的方程组。
对于非线性方程组，我们同样可以利用韦达定理求解其解的性质。
例如：解：设非线性方程组为：x - 2x + 1 = 0x + y + 1 = 0根据韦达定理，我们可以知道：x + x = 2xx = 13.方程组解的应用问题韦达定理不仅在求解方程组方面有重要作用，还可以应用于解决一些实际问题。
例如：解：设方程组为：x + y = 5x - y = 1根据韦达定理，我们可以知道：x + y = 5x - y = 1求解得：x = 3，y = 2实际问题：一家商店出售两种商品，一件商品的价格为5元，另一件商品的价格为1元。
已知两种商品的销售额之和为80元，求每种商品的销售额。
三、解题步骤与方法1.确定未知数：分析题目，找出需要求解的未知数。
2.建立方程组：根据题目的条件，建立方程组。
3.应用韦达定理：将方程组中的系数和常数项表示为根的线性组合。
韦达定理应用复习 精品数学教学课件
3.某商场将进货单价为18元的商品, 按每件20元销售时,每日可销售100 件.若每件提价1元,日销售量就要减 少10件,那么把商品的售出价定为多 少时,才能使每天获得的利润最大? 每天的最大利润是多少?
4.某公司试销一种成本单价为500元 /件的新产品,规定试销时的销售单 价不低于成本单价,又不高于800元/ 件.经试销调查,发现销售y(件)与销 售单价x(元/件)可近似看作一次函 数y=kx+b的关系(如图) y ⑴根据图 400 象,求一 300 200 次函数的 100 x o 10 解析式; 607080
复习十二
二次函数应用(二)
复习目标:
通过复习进一步理解并掌握 二次函数有关性质,提高对二 次函数综合题的分析和解答 的能力.
1.某学生推铅球，铅球飞 行时的高度y(m)与水平距 离x(m)之间的函数关系式 3 1 2 1 是y=- 15 x + 30 x+ 2 ，则铅球 落地的水平距离为 m.
2 1.设二次函数y=ax +bx+c的图象
与y轴交于点C(如图),若
AC=20，BC=15， 0 ∠ACB=90 ,求这个 二次函数的解析式.
A
y C
o
Bx
2.抛物线y x px q与x轴
2
交于A, B两点, 交y轴负半 轴交于C点, ACB 90 ,
0
1 1 2 且 , 求P, q及 OA OB OC ABC的外接圆的面积。
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A、B两点（A在原点左侧，B在 原点右侧），与y轴交于C点，若AB=4， OB＞OA，且OA、OB是方程x2+kx+3=0 的两根. 1)求A、B两点的坐标;2)若点O 3 2 到BC的的距离为 , 求此二次函 2 数的解析式. 3)若点P的横坐标为2，且⊿PAB的 外心为M（1，1），试判断点P是否在2) 中所求的二次函数图象上.
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
九年级数学思维培训第四讲 韦达定理
第四讲 充满活力的韦达定理一、知识要点与思维方法一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是：aac b b x 2422,1-±-= 由此不难得到()ab a b a ac b b ac b b x x -=-=---+-+-=+222442221， ()()ac a ac a ac b b x x ==---=22222214444. 这表明一元二次方程两根之和与两根之积可用一元二次方程系数表示:ac x x a b x x =-=+2121, 被称为一元二次方程的根与系数的关系,也称为韦达定理.韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法.二、例题选讲例1、 已知βα,是方程012=--x x 的两个实数根,求代数式553223+--++βααβα的值.例2、 如果方程()()0212=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范围是( )A 、10≤≤mB 、43≥mC 、143≤<mD 、143≤≤m 例3、设21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值？并求出这个最小值.例4、设实数b a ,满足()()()81,402122=++=+++b b a a b b b a ，求2211ba +的值.三、课堂练习1、设21,x x 是方程020162=--x x 的两个实数根，则=-+20162017231x x2、设21,x x 是方程0342=-+x x 的两个实数根，且()23522221=+-+a x x x ，则=a 3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121,，请根据以上结论，解决下列问题：⑴已知关于x 的方程()002≠=++n n mx x ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.(2)已知b a ,满足0515,051522=--=--b b a a ,求ba ab +的值. (3)已知c b a ,,满足16,0==++abc c b a ,求正数c 的最小值.。
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一元二次方程根与系数的关系培优训练
例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-
=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使
21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根。
求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程
的两个实数根为 ，若 ，则 .
例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．
例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?
例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．
(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，
∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．
∴α2=3α+5，β2=3β+5
∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．
(2)已知x
1、x
2
是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．
2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，
若ｓ＝1
α
＋
1
β
，求ｓ的取值范围。
3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?
4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
5．已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。
6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。