2021年韦达定理经典例题
韦达定理练习题
韦达定理练习题一、选择题A. x1 + x2 = b/aB. x1 x2 = b/aC. x1 x2 = √(b^2 4ac)/aD. x1 x2 = c/a2. 已知一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的两根为x1和x2，则x1 x2的值为？A. 5B. 6C. 5D. 63. 若一元二次方程2x^2 4x + 1 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2的值为？A. 2B. 4C. 2D. 4二、填空题1. 已知一元二次方程x^2 3x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
2. 若一元二次方程3x^2 6x + 2 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
3. 已知一元二次方程4x^2 + 8x 9 = 0的两根为x1和x2，则x1 + x2 = ______，x1 x2 = ______。
三、解答题1. 已知一元二次方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
2. 设一元二次方程x^2 (k+3)x + 2k = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
3. 已知一元二次方程x^2 (a+b)x + ab = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
4. 若一元二次方程x^2 (m+n)x + mn = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
5. 已知一元二次方程x^2 (2a1)x + a^2 a = 0的两根为x1和x2，求x1 + x2和x1 x2的值。
四、应用题1. 在一个一元二次方程中，两根的和是10，两根的积是21，请写出这个方程。
2. 如果一元二次方程的两根分别是方程系数的倒数，且两根的积是1/6，求这个方程。
3. 有一个一元二次方程，它的两根的和是它们积的3倍，且两根的积是12，求这个方程。
韦达定理经典例题
一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根。
求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 .例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。
3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形4．已知关于x的方程x的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程
摘要：
1.危险的事物
2.普通的事物
3.迅速的事物
4.威武的事物
5.锋利的事物
正文：
在我们的生活中，危险的事物无处不在，比如狂风暴雨、悬崖峭壁等。
这些危险的事物往往会给我们带来威胁，因此我们需要保持警惕，采取防范措施。
与此同时，我们生活中也有很多普通的事物，如阳光、空气和水，它们对我们来说不可或缺，但却常常被我们忽略。
而迅速的事物，如闪电、高铁等，则让我们感受到了世界的快速发展和便捷。
威武的事物，如狮子、老虎等，则代表了一种强大的力量，有时也会引发我们的敬畏之情。
至于锋利的事物，如
刀剑、针尖等，它们既可以是工具，也可能是危险的源头。
因此，我们在使用这些锋利的事物时，需要格外小心，以免造成意外伤害。
韦达定理全面练习题及答案 (1)
1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。
微专题一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)-上海市 2021-2022高一上学期期中复习数学讲义
微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________．4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值．【教师版】 微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；【提示】注意：首先通过判别式确定参数的取值范围；【解析】（1）由题得Δ＝(2k ＋3)2－4k 2>0，解得k >－34，所以，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞； （2）由题知，x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，所以，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2k －3k 2＝－1，解得k 1＝3，k 2＝－1，又因为k >－34，所以，k ＝3；【说明】一元二次方程的根与系数关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结合代数变换。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理，也称作维特定理或者勒让德-费尔马定理，是解决几何问题的一种重要方法之一。
该定理通过运用面积比较，可以在一定条件下求得未知的长度或者位置关系。
本文将通过一系列的练习题，来帮助读者更好地理解和运用韦达定理。
练习题一已知三角形ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（-1，4），C （1，-2），求BC边的长度。
解答：根据韦达定理的原理，我们可以得出以下公式：BC² = (AC² + AB²) - 2(AC × AB × cos∠CAB)首先，我们需要计算AC、AB两条边的长度：AC = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]= √[(1 - 2)² + (-2 - 3)²]= √[1 + 25]= √26AB = √[(-1 - 2)² + (4 - 3)²]= √[9 + 1]= √10接下来，我们可以计算∠CAB的余弦值：cos∠CAB = [( (AC² + AB²) - BC² ) / 2AC × AB ]将AC、AB的值代入公式，得：cos∠CAB = [( (26 + 10) - BC² ) / 2× √26 × √10 ]由于我们已知∠CAB的余弦值为正值，所以∠CAB是锐角，也就是说∠CAB的余弦值在(0,1)之间。
根据余弦函数的性质，我们可以推出BC²的最大值为36，最小值为0。
因此，我们可以将推导出的余弦值的范围带入公式，计算BC²的区间：0 ≤ [( (26 + 10) - BC² ) / 2× √26 × √10 ] ≤ 1经过计算，得到：0 ≤ [36 - BC² / 2× √26 × √10 ] ≤ 1通过推导和计算，我们得出BC边的长度满足以下条件：0 ≤ BC ≤ 6练习题二已知平行四边形ABCD，AB边长为5，AD边长为9，对角线AC 的长度为12，求BC和CD两条边的长度。
韦达定理应用的典型例题
韦达定理应用的典型例题韦达定理（Viviani's theorem）是解析几何中的一条定理，它是由意大利数学家韦达（Vincenzo Viviani）在17世纪提出的。
该定理描述了一个正四面体内部的特殊关系，也可以被看作是勾股定理在空间中的推广。
韦达定理可以用以下方式表述：如果在一个正四面体的每个面上都选择一个点，连接这些点所得到的三条线段的长度之和等于这个正四面体的高，则这三条线段的长度是相等的。
现在，让我们来看几个典型的例题，应用韦达定理来解决。
例题1：一个正四面体的高为6 cm，求连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度。
解析：根据韦达定理，我们知道连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度之和等于正四面体的高。
由于正四面体的高为6 cm，所以这三条线段的长度之和也为6 cm。
由于这三条线段的长度相等，所以每条线段的长度为2 cm。
例题2：一个正四面体的一条棱长为8 cm，求连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度。
解析：首先，我们需要确定正四面体的高。
一个正四面体的高是连接底面的一个顶点与相对面的中点所得到的线段。
根据勾股定理，这个高的长度等于底面棱长的一半，即4 cm。
根据韦达定理，连接每个顶点与相对面的中点所得到的三条线段的长度之和等于正四面体的高。
所以，这三条线段的长度之和也为4cm。
由于这三条线段的长度相等，所以每条线段的长度为4/3 cm。
这两个例题展示了如何应用韦达定理来解决正四面体中连接顶点和相对面中点的线段长度问题。
通过理解韦达定理的几何意义，我们能更好地理解空间几何中的关系，并能更灵活地应用于解决其他几何问题。
韦达定理应用
韦达定理的应用一、典型例题例 1：关于 x 的方程 2x－〔 m＋ 1〕x＋ 1－ m=0的一个根为 4，求另一个根。
解：设另一个根为 x1，那么相加，得 x例 2：方程x－ 5x＋ 8=0 的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 .解：∵又∴代入得，∴新方程为例 3：判断是不是方程 9x－ 10x－ 2=0 的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭，∴假设是，那么另一根为∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例 4：解方程组解：设∴.∴A=5.∴ x-y=5又xy=-6.∴解方程组∴可解得例 5： RtABC中，两直角边长为方程 x－〔 2m＋ 7〕x＋ 4m〔 m－ 2〕 =0 的两根，且斜边长为13，求 S 的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a， b，那么 2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m〔 m-2〕∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或 6当m=6时，∴ m=5∴ S.例 6： M为何值时，方程8x－〔 m－ 1〕x＋ m－ 7=0 的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴ m>7②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】〔答题时间： 30 分钟〕1.设n为方程x＋mx＋n=0〔n≠ 0〕的一个根，那么m＋ n 等于2.方程 x＋ px－ q=0 的一个根为－ 2＋，可求得 p= ,q=3.假设方程 x＋ mx＋ 4=0 的两根之差的平方为48，那么 m的值为〔〕A．± 8 B.8 C.－8 D. ±44.两个数的和比 a 少 5，这两个数的积比a 多 3，那么 a 为何值时，这两个数相等5.方程〔 a＋ 3〕 x＋ 1=ax 有负数根，求 a 的取值范围。
6.方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7.ABC中， AB=AC， A ， B，C 的对边分别为 a，b， c， a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x＋mx＋ 2－ m=0的两个实数根，求ABC的周长。
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一元二次方程根与系数的关系
培优训练
欧阳光明（2021.03.07）
例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的
m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。
（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。
例3.已知关于x 的一元二次方程
有两个相等的实数根。
求证：（1）方程
有两个不相等的实数根；
（2）设方程
的两个实数根为 ，若 ，则
. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程
的两个实数根，求△ABC 的周长．
例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?
例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。
练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．
(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；
解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，
∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．
∴α2=3α+5，β2=3β+5
∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-
3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．
(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求
的值．
2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两
实数根为α,β，若ｓ＝1
α
＋
1
β
，求ｓ的取值范围。
3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面
积。
5．已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。
6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。