韦达定理公式介绍及典型例题

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韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。

求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。

能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ，立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。

请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。

由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。

韦达定理——精选推荐

则两根与系数关系（韦达定理）1212b x x ac x x a ì+=-ïïíï·=ïî。

推导过程：由求根公式可得2142b b ac x a -+-=，2242b b acx a ---=。

1、2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-；2）1211x x +；（3）2112x xx x +；（4）12x x -。

一元二次方程的根与系数关系一、一元二次方程的根与系数关系（一、一元二次方程的根与系数关系（韦达定理韦达定理）如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的两个的两个实数实数根分别是12,x x 。

、22222122244()(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a aa-+-------·=·===。

二、一元二次方程的根与系数关系定理的主要应用：应用条件：240b ac D =-³。

1、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或、已知一元二次方程的一个根，求另一个根或字母字母系数。

系数。

例1、已知关于x 的方程226250x x m m -+-+=的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。

的值。

2、不、不解方程解方程，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

，求关于一元二次方程两根的某些代数式的值。

例2、已知方程22310x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值：，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）求作一个一元二次方程，使它的两根分别是122-+和122--；（23、已知、已知一元二次方程一元二次方程的两个根，求这个方程。

的两个根，求这个方程。

例3、解下列各题：、解下列各题：（1）求作一个以2的相反数和2的倒数为根的一元二次方程。

韦达定理练习题

韦达定理练习题一个伟大的发现—韦达定理【知识要点】1．若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为1x , 2x ，则：1x +2x =-b/a ；1x .2x =c/a2．若1x , 2x 是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(1x +2x )x+1x 2x =0.【经典例题】【例1】已知1x ,x2为方程x 2+px+q=0的两根，且1x +x 2=6, 1x 2+2x 2=20，求p 和q 的值.【例2】已知：方程12212+=x x 的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值：(1)(x1-x2)2；(2) 321231x x x x +【例3】已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且1+2k>0,求满足上述条件的k 的整数值.【例4】已知方程组-==+--)12(0212x k y y x kx (x,y 为未知数)，有两个不同的实数解 ====2211,y y x x y y x x (1)求实数k 的取值范围； (2)若,3112121=++x x y y 求实数k 的值.【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根.(1)求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值.【方法总结】1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根之积.(1)容易忘记除以二次项系数；(2)求两根之和时易弄错符号.2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次项系数的符号.3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件，比如隐含的二次方程必有实数根的条件. 【经典练习】一、选择题1.下列说法中不正确的是 ( )A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/52.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )A.5/4B.9/4C.11/4D.73.已知关于x的一元二次方程X2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是( )A.5B.-1C.5或-1D.-5或14.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 ( )A.-18B.18C.-3D.35.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为( )A.-2B.2C.3D.-16.已知：a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程cx 2+(a+b)x+c/4=0的根的情况是 ( )A.无实数根B.有两个不相等的正实根C.有两个不等的负实根D.有两个异号的实根二、填空题1.请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程：。

韦达定理的应用讲义及练习

韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲破解规律例 1. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，设，证明：，；分析:设直线的方程为：，与抛物线联立得，利用韦达定理即可证得；答案:见解析解析:设直线的方程为：，联立方程化简得： ,易知所以，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的下顶点为，直线与椭圆交于两个不同的点，是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知，联立方程，整理得，（化简可得），①设，则，,设中点为，>0∆(),0n由，知，所以点的坐标为，因为，所以，又直线斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足．故存在使得以为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2）解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设联立得满足由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，，，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线与椭圆相交于，两点，求弦长．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为，，，，且长轴长为故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线代入椭圆的方程化简可得，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知，设则直线，直线，两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y，则由（2）（4）解得代入（3）式得，化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立：得：，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得消去x 得，所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

韦达定理应用

韦达定理的应用一、典型例题例 1：关于 x 的方程 2x－〔 m＋ 1〕x＋ 1－ m=0的一个根为 4，求另一个根。

解：设另一个根为 x1，那么相加，得 x例 2：方程x－ 5x＋ 8=0 的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 .解：∵又∴代入得，∴新方程为例 3：判断是不是方程 9x－ 10x－ 2=0 的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭，∴假设是，那么另一根为∴，。

∴以为根的一元二次方程即为.例 4：解方程组解：设∴.∴A=5.∴ x-y=5又xy=-6.∴解方程组∴可解得例 5： RtABC中，两直角边长为方程 x－〔 2m＋ 7〕x＋ 4m〔 m－ 2〕 =0 的两根，且斜边长为13，求 S 的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a， b，那么 2。

又a，b为方程两根。

∴ab=4m〔 m-2〕∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或 6当m=6时，∴ m=5∴ S.例 6： M为何值时，方程8x－〔 m－ 1〕x＋ m－ 7=0 的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴ m>7②∵∴不存在这样的情况。

③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】〔答题时间： 30 分钟〕1.设n为方程x＋mx＋n=0〔n≠ 0〕的一个根，那么m＋ n 等于2.方程 x＋ px－ q=0 的一个根为－ 2＋，可求得 p= ,q=3.假设方程 x＋ mx＋ 4=0 的两根之差的平方为48，那么 m的值为〔〕A．± 8 B.8 C.－8 D. ±44.两个数的和比 a 少 5，这两个数的积比a 多 3，那么 a 为何值时，这两个数相等5.方程〔 a＋ 3〕 x＋ 1=ax 有负数根，求 a 的取值范围。

6.方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。

7.ABC中， AB=AC， A ， B，C 的对边分别为 a，b， c， a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x＋mx＋ 2－ m=0的两个实数根，求ABC的周长。

用韦达定理解决问题

用韦达定理解决问题韦达定理（Vieta's formulas），又称为韦达方程，是代数学中一种重要的方法，它通过系数与根之间的关系，将多项式求根问题转化为系数之间的关系问题。

韦达定理在解决多项式方程的根与系数之间的联系上，有着重要的应用价值。

本文将以一个具体的问题为例，通过韦达定理来解决问题。

假设我们有一个二次多项式f(x) = ax^2 + bx + c，并已知该多项式有两个根α和β。

现在的问题是，如何通过已知的根α和β求解系数a、b和c的值。

这时就可以运用韦达定理来解决这个问题。

根据韦达定理，对于二次多项式f(x) = ax^2 + bx + c，我们有以下三个重要关系式：1. 根之和与二次项系数的关系：α + β = -b/a2. 根之积与常数项系数的关系：αβ = c/a3. 根之差与一次项系数的关系：α - β = √((α+β)^2 - 4αβ) = √((b/a)^2 - 4(c/a))根据这三个关系式，我们可以得到以下结论：1. 已知根α和β之和等于-b/a，可以得到：α = (-b/a) - β2. 已知根之积等于c/a，可以得到：αβ = c/a3. 已知根之差等于√((b/a)^2 - 4(c/a))，可以得到：α - β = √((b/a)^2 - 4(c/a))通过这些关系式，可以通过已知的根求解系数a、b和c的值。

举个例子，假设已知一个二次多项式f(x)的根分别为2和3。

现在的问题是，求解该多项式的系数a、b和c的值。

根据韦达定理的第一个关系式，根之和与二次项系数的关系，我们有：α + β = -b/a2 +3 = -b/a因此，我们可以得到一个方程：2 + 3 = -b/a。

根据韦达定理的第二个关系式，根之积与常数项系数的关系，我们有：αβ = c/a2 *3 = c/a因此，我们可以得到另一个方程：2 * 3 = c/a。

有了这两个方程，我们可以解得系数b和c的值。

韦达定理初三练习题

韦达定理初三练习题韦达定理是解决三角形问题的重要定理之一，在初中数学学习中起着关键的作用。

在本篇文章中，我们将通过一些实际的练习题来巩固和应用韦达定理的知识。

请您认真阅读题目，并按照题目要求进行解答。

练习一：已知三角形的两个边长和夹角，求第三边的长度。

1. 已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，夹角为60度。

请计算第三边的长度。

解答：根据韦达定理，我们可以使用以下公式求解：c² = a² + b² - 2abcosC。

其中，c代表第三边，a和b分别代表已知的两个边长，C代表已知的夹角。

根据题目信息，已知的两条边分别为5cm和8cm，夹角为60度。

我们可以将这些数据代入韦达定理的公式中进行计算。

c² = 5² + 8² - 2 × 5 × 8 × cos60°= 25 + 64 - 80 × 0.5= 89 - 40= 49因此，第三边的长度为√49，即7cm。

练习二：已知三角形的两个边长和一条高的长度，求另一条高的长度。

2. 已知一个三角形的两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

请计算另一条高的长度。

解答：我们可以利用韦达定理的性质来求解这个问题。

首先，我们需要找到一个关系式来表示两条高的长度。

根据韦达定理，我们可以得到以下关系式：（a² - b²）/ （a² + b²）= （h₁² - h₂²）/ （h₁² + h₂²）。

其中，a和b代表已知的两边长，h₁和h₂分别代表已知的两条高的长度。

根据题目中的信息，已知两边长分别为6cm和10cm，其中一条高的长度为8cm。

假设另一条高的长度为h₂。

根据关系式，我们可以将这些数据代入，得到以下等式：（6² - 10²）/ （6² + 10²）= （8² - h₂²）/ （8² + h₂²）我们可以通过化简这个等式，解得h₂的值。

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韦达定理公式介绍及典型例题
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX+bX+C=0﹙a0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a
【定理内容】
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a0 且△=b^2-4ac0)中，设两个根为x1，x2 则
X1+X2= -b/a
X1X2=c/a
1/X1+1/X2=X1+X2/X1X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax+bx+c=0 (a0)中，
若b-4ac0 则方程没有实数根
若b-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根
【定理拓展】
(1)若两根互为相反数，则b=0
(2)若两根互为倒数，则a=c
(3)若一根为0，则c=0
(4)若一根为1，则a+b+c=0
(5)若一根为-1，则a-b+c=0
(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根
【例题】
已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1x2.由韦达定理，得
x1+x2=-p，x1x2=q.
于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198，
即x1x2-x1-x2+1=199.
运用提取公因式法(x1-1)(x2-1)=199.
注意到(x1-1)、(x2-1)均为整数，
解得x1=2，x2=200;x1=-198，x2=0.。