韦达定理
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理：
1、设两点（x1，y1），（x2，y2），距离公式：d=√[（x1-x2）²+（y1-y2）²]。
2、设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2。
3、韦达定理：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
两点间距离公式用韦达定理推导过程：x1-x2的绝对值等于
（x1-x2）的平方再开根号，（x1-x2）的平方等于（x1-x1）×（x1-x2）-4x1x2=（b/a）（b/a）-4c/a（x1+x2=b/a，x1/x2=c/a），得到两点间的距离为根号下（b×b-4ac）再除以a的绝对值。
扩展资料：
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理
韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
基本介绍英文名称：Vieta's formulas韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a定理内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理公式推导方法三种
韦达定理公式推导方法三种
：
（一）基本定理法 1. 令S(x,y)为满足条件的集合，即存在x，y使得S(x,y)=0； 2. 把所有的变量放入函数中，并把变量用未知量表示，如a1,a2,…an； 3. 用韦达定理将函数分解成n个部分，如S1，S2，…Sn； 4. 将每个部分作为一个式子，并逐步求解，从而得到韦达定理公式。
（二）特例定理法 1. 首先选取一个特例，使得变量满足某些条件； 2. 根据特例，将原函数的多项式化为n 项式，并用不等式的形式表示； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。
（三）图像定理法 1. 根据函数的定义，绘制函数的图像，并确定其所有极值点； 2. 在极值点处，将函数的多项式分解为n项式，并将其表示为不等式； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。
韦达定理坐标公式
韦达定理坐标公式韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多与方程相关的难题。
咱们先来说说韦达定理到底是啥。
韦达定理指出，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$ 是实数且$a ≠ 0$）中，两根 $x_1$、$x_2$ 有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$ 。
记得我之前教过一个学生小明，他在刚开始接触韦达定理的时候，那叫一个迷糊。
每次做题，不是把公式记错，就是不知道该怎么用。
有一次做作业，碰到一道题：已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根为$x_1$ 和 $x_2$，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \times x_2$ 的值。
小明愣是盯着题目看了半天，然后乱写一通。
我一看，他把 $a$、$b$、$c$ 的值都找错了，导致结果完全不对。
我就把小明叫到身边，耐心地给他讲解：“小明啊，你看这个方程$x^2 - 5x + 6 = 0$ ，这里 $a = 1$，$b = -5$，$c = 6$ 。
所以根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$，$x_1 \times x_2 = \frac{6}{1} = 6$ 。
你可别再记错啦！”小明听了之后，似懂非懂地点点头。
为了让小明彻底搞明白，我又给他出了几道类似的题目让他练习。
一开始，他还是会出错，但慢慢地，他掌握了诀窍，做得越来越顺。
后来有一次考试，试卷上有一道比较难的题目：已知方程 $2x^2 +3x - 5 = 0$ 的一根为 $1$，求另一根。
这道题可把好多同学都难住了，但小明看到题后，心里有了底。
他先根据韦达定理算出两根之和为 $-\frac{3}{2}$，因为已知一根为 $1$，所以另一根就很容易算出来是 $-\frac{5}{2}$ 。
韦达定理
韦达定理韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为3.141592653……。
精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。
他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。
请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程ax2+px+q=0两个根为α和β，则α+β=-p，αβ=q定理2.一元三次方程x3+px2+qx+r=0的三个正根是α、β、γ，则α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程x n+ax n-1+ax n-2+x n-3+…+a n-1x+a n=0的n个正根为x1，x2，x3，…x n，则x1+x2+x3+…x n=-a1x1x2+x1x3+x1x4+…x2x3+x2x4+…x n-1x n=a2x1x2x3+x1x2x4+…+x2x3x4+x2x3x5+…+x n-2x n-1x n=-a3……。
x1x2…xn=（-1）n a n定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。
韦达定理7个公式
韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一，是描述多个向量之间关系的一种方法。
在三维空间中，韦达定理可以表示为：若三个向量a,b,c满足a·b×c=0，则这三个向量共面。
其中，a·b表示向量a与向量b的点积，a×b表示向量a与向量b 的叉积。
在韦达定理的基础上，可以推导出一系列与向量相关的公式。
以下是七个基于韦达定理的公式。
公式一：点积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则(a+b)·c=a·c+b·c证明：(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二：叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则a×(b+c)=a×b+a×c证明：左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三：叉积的差的负若a,b为任意两个向量，则a×(b-c)=a×b-a×c证明：左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四：叉积的反交换若a,b为任意两个向量，则a×b=-b×a证明：a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五：叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量，则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明：右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六：叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量，则，a×b， = ，a，b，sinθ其中，θ为a、b之间的夹角。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
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1、定理：如果方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2， 那么 x1+x2=
b a
， x1•x2=
c a
。
2、在实数范围内，韦达定理成立的条件是什么？ （答：△≥0） 应用韦达定理的前提是什么？ [答：一般形式: ax²+bx+c=0(a≠0)]
一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
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二、已知方程的一个根，求另一个根。
5 例3、若关于x的方程 4x² +(k-2)x-10=0 的一个根是-2， 则另一个根= 4 k= 5 。
提示：设另一个为，根据韦达定理，得
，
10 5 2 , 4 4
k 2 5 3 2 2 k 5. 4 4 4
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
八、解方程或方程组。
九、二次三项式的因式分解。 十、利用韦达定理还可以解决其它问题。
一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
3、推论：如果方程 x² +px+q=0的两根是x1、x2，那么 x1+x2= - p， x1•x2= q 。
4、以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x² - (x1+x2)x + x1•x2 = 0
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5、口答：
（1）方程 3x² -7x+2=0 的两个根之和是
7 3
，两根之积是
2 3
。
（2）方程 x² +4x+2=0 的两个根之和是 - 4
，两根之积是
2
。
（3）写出以3-√2与3+√2为两根的一元二次方程是
x²-6 x +7 =0 。
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说明：
韦达定理所反映的一元二次方程的根与系数关系是一 元二次方程的重要性质，它在方程的有关研究和讨论中有 着重要的地位。 只要有牵涉到一元二次方程的根与系数的问题，就可 以运用韦达定理去解决。 主要归纳如下十个方面：
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四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。
例5、设x1, x2 是方程 x² +2x-1=0 的两个根，则 x1² + x2 ² = 6 ；（x1- x2）² = 8。
提示：根据韦达定理可得， x1+x2 = -2，x1• x2 = -1。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
Байду номын сангаас
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
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