韦达定理ppt课件
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韦达定理PPT教学课件
电阻器的种类很多：常用的电阻器按照导电体的结构特征分为实芯电 阻器、薄膜电阻器和线绕电阻器；按电阻器的材料、结构又分为碳膜 电阻器、金属氧化膜电阻器、线绕电阻器、热敏电阻器、压敏电阻器 等。另外，按照各种电阻器的特性，还可分为高精度、高稳定、高阻、 大功率、高频以及超小型等各种专用类型的电阻器 。
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
—
0
×100
±1%
1
1
×101
±2%
2
2
×102
±3%
3
3
×103
±4%
4
4
×104
—
5
5
×105
±0.5%
6
6
×106
±0.2%
7
7
×107
±0.1%
88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
×109
—
—
—
×10-1
±5%
—
—
×10-2
±10%
—
—
—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
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88Βιβλιοθήκη ×108—9
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×109
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×10-1
±5%
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×10-2
±10%
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±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
数学家韦达PPT课件
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8
当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定 了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的 类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要 进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西 方称为“代数学之父”。1593年，韦达又出版了另一 部代数学专著——《分析五篇》。《论方程的识别与 订正》是韦达逝世后由他的朋友A．安德森在巴黎出版 的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方 程变换的公式，给出了G．卡尔达诺三次方程和L．费 拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是 记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。 韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲 要，1600年以《幂的数值解法》为题出版。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角 学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年） 是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角 形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代 数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了 正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角 学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成 COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
.
5
平面三角学与球面三角学； 《应用于三角形的数学定律》是韦 达最早的数学专著之一，也是早期 系统论述平面和球面三角学的著作 之一。韦达还专门写了一篇论文 “截角术”，初步讨论了正弦，余 弦，正切弦的一般公式，首次把代 数变换应用到三角学中。他考虑含 有倍角的方程，具体给出了将表示 成的函数，并给出当n等于任意正 整数的倍角表达式了。
姓名：齐慧杰 学号： 班级：
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韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
韦达定理
2 2 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
Thanks
for watching
韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 4 x1x 2
x13 x23 ( x1 x2)(x12 x1x2 x22 )
判断根的正负性，包括：
• 两根为正： ≥0 x1+x2＞0 x1x2＞0 • 两根为负： ≥0 x1+x2＜0 x1x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＞0 • 一正一负且 正根绝对值＞负根绝对值： ＞0 x1x2＜0 x1+x2＜0 • 两根同号： ≥0 x1x2＞0 • 两根异号：x1x2＜0 a*c＜0
原式
b x1 x 2 a
c x1* x 2 a
已知根求方程：以x1、x2为根的一元二次方程
变形式
a( x x1)(x x2) 0
x1 x 2 ( x1 x 2) 2 x1x 2 1 1 x1 x 2 x1 x 2 x1* x 2 x 2 x1 x12 x 2 2 x1 x 2 x1* x 2
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韦达定理 —知识总结
简介Βιβλιοθήκη 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关 系。因为他是由法国数学家韦达最早发现，所以人 们把这个关系称为韦达定理。
韦达（1540-1603）他一生中最重要的贡献是对代数学 的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论。 他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐 述并改良了多次方程的解法，指出了根与系数之间的关 系。主要著有《分析法入门》、《论方程的识别与修 正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》。
韦达定理
也可先把 -2 代入方程求得 k 后，再求另一个根。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
韦达定理ppt
包权
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∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
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特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
年VIP
月VIP
连续包月VIP
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VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
23.9 韦达定理
课后作业 《优等生数学》九年级 P22-23 T1、T2写在作业本上； P25-26 T1、T3写在作业本上； 预习《优等生数学》九年级的第12节、 遗留问题.
如何提高数学解题能力？
基础问题全面做，困难问题典型做； 数学基础打牢固，简单问题不犯错； 系统知识弄明白，常见方法弄清楚； 多学多练多总结，数学难题轻松解！
第二十三章 一元二次方程
23.9 韦达定理
典型例题
例. 已知关于x的方程2x2－9x+a=0有一个根
9 17 为 . 4
（1）求方程的另一个根及a的值； （2）求作一个一元二次方程，使它的一个根 为上面方程两个根的倒数和，另一个根为上 面方程两根的差的平方.
+q=0(p、q为参数)
练4. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没
有实数根.甲由于看错了二次项系数，求得两 个根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符 号，求得两根－1和4.求(2b+3c)/a的值.
课堂小结
1. 韦达定理，是方程理论的一个重要的内容，运用这 个定理，我们可以不解方程，就可以确定根的符号 ，可以求出关于两根的对称式的值，可以构造以某 两个数为根的一元二次方程等等； 2. 在运用韦达定理解题时，首先要注意运用判别式判 断这个方程有没有实数根，必要时要将韦达定理与 判别式综合运用； 3. 在求关于两根的非对称式的值时，除了运用根与系 数的关系得关系外，还要注意运用根的定义来解题 .
的两个根α、β，求作一个以α3、β3为根的一 元二次方程.
练2. 设关于x的方程4x2+2mx+m=0有两个根x1、
x2，且满足 求m的值.
m 6 x mx1 4 x2 3 0 ， 2
韦达定理PPT课件
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）x1 以x2
,
为两根的方程是？
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1
(x 1) x2 1
2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为
x1
,
x2，那x1么 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即b2 4ac 0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，
使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
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一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1
x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
4 ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1x2 -b
x1x2 c
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1) 1 1 x1 x2
(2) x12+x22
(3)
x2 x1 x1 x2
2a
x1 b b24ac x2 b b2 4ac
2a
2a
x1x2 b
b2 4ac +
2a
=
2b 2a
=
-b a
b b2 4ac 2a
x1x2b2 b a 24a* cb2 b a 24ac
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac 4a2
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1
x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
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3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
4 ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1x2 -b
x1x2 c
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1) 1 1 x1 x2
(2) x12+x22
(3)
x2 x1 x1 x2
2a
x1 b b24ac x2 b b2 4ac
2a
2a
x1x2 b
b2 4ac +
2a
=
2b 2a
=
-b a
b b2 4ac 2a
x1x2b2 b a 24a* cb2 b a 24ac
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac 4a2