(完整版)韦达定理教学案例
教案韦达定理
教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
教案韦达定理
教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．（一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x 1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴a acbbx24 21-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值；⑤韦达（法国1540－1603）在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
例题1：若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣7x-2007=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】练习：①下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】A ．x 2+2x ﹣4=0B ．x 2﹣4x+4=0C ．x 2+4x+10=0D ．x 2+4x ﹣5=0②若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3（2）、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
初中数学韦达定理教案
教案：初中数学韦达定理教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用。
2. 能够运用韦达定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的内容及应用。
2. 运用韦达定理解题的方法和技巧。
教学难点：1. 理解并掌握韦达定理的推导过程。
2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例。
2. 准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的解法，例如因式分解、配方法等。
2. 提问：解一元二次方程时，我们能否直接得到方程的根与系数之间的关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义。
2. 推导韦达定理的公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
3. 解释韦达定理的推导过程，引导学生理解并掌握。
三、实例讲解（15分钟）1. 通过具体的例子，展示如何运用韦达定理解题。
2. 引导学生观察方程的根与系数之间的关系，并运用韦达定理进行解答。
四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成一些练习题，巩固对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调韦达定理的重要性和应用范围。
2. 提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握韦达定理的内容及应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励他们提出问题和解决问题。
同时，通过练习题的设置，检验学生对韦达定理的理解和应用能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
对于学习有困难的学生，可以适当给予个别辅导，帮助他们理解和掌握韦达定理。
韦达定理教案
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）教学设计——191403228周小凤1. 韦达公式的定义及推导。
设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：，。
利用求根公式代入推导换算。
2. 韦达定理应用。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数（3）经典例题b,利用两根和，积去求相关代数式的值（4）经典例题c,根与系数的关系与根的判别式综合运用（5）课后巩固师：同学们，在我们已经学习了一元二次方程的基础上，今天我将和大家一起探究一元二次方程根与系数的关系。
首先，老师问一下大家，你们还记的一元二次方程的求根公式么？学：师：好，非常棒！一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0）的求根公式,不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数的联系还有其他表现方式么?学：（同学们大多答不上来）或答不清楚师：同学们，看老师的板书。
同学们最后我们得出了一个这样的关系：，这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
以上引出一个概念“韦达定理”，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达提出的，设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：。
应用该定理时，我们一定要注意两个前提条件：一是a≠0，二是满足根的判别式b² - 4ac ≥0.如果当a=0，它是一个一元一次方程与我们探究的一元二次方程与根的关系无关，那么如果当b² - 4ac ‹0，无根，就没有关系上的探究了。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积师：接下来我们就要运用到这个定理。
请同学们完成例四，有同学敢上黑板来展示么示（较为简单代入，直接对答案，给予同学表扬）（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数师：大家学的都很不错，下面我们将更深入的去应用韦达定理。
一元二次方程之韦达定理教学文案
例1：不解方程，判别方程 两根的符号。
分析：对于 来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或 的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或 的正负情况。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中 ＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若 ＞0，仍需考虑 的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
6、已知方程 和 有一个相同的根，求 的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数 在什么范围取值时，方程 有正的实数根？
2、已知关于 的一元二次方程
（1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根 、 满足 ，求 的值。
3、若 ，关于 的方程 有两个相等的正的实数根，求 的值。
当 时， ，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为： ；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的 的值必须满足这两个不等式才有意义。
当堂练习
1、如果关于 的方程 的两根之差为2，那么 。
2、已知关于 的一元二次方程 两根互为倒数，则 。
4、是否存在实数 ，使关于 的方程 的两个实根 ，满足 ，如果存在，试求出所有满足条件的 的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于 的一元二次方程 （ ）的两实数根为 ，若 ，求 的值。
6、实数 、 分别满足方程 和 ，求代数式 的值。.
二、求值题：
1、已知 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求 的值。
韦达定理教案
韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。
2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。
2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。
2. 准备课本和练习题集等教材资料。
3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。
例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。
这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。
讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。
2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。
3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。
实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。
2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。
总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。
2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。
课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。
教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。
2. 课本和练习题集等教材。
3. 白板和彩色笔等。
评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。
2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。
韦达定理的教案
韦达定理的教案教案标题：韦达定理的教案教学目标：1. 理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形边长和角度的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和公式推导。
2. 运用韦达定理解决实际问题。
3. 引导学生进行逻辑推理和问题解决。
教学难点：1. 理解韦达定理的几何意义。
2. 运用韦达定理解决复杂的三角形问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算器、教学课件、实物三角形模型。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、量角器。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾勾股定理的概念和应用，并与韦达定理进行对比。
2. 提问：你们知道韦达定理是什么吗？它有什么作用？讲解：1. 通过教学投影仪展示韦达定理的定义和公式推导过程，并解释其几何意义。
2. 引导学生理解韦达定理的应用场景，如计算三角形的边长和角度。
示范：1. 通过实物三角形模型，展示如何使用韦达定理计算三角形的边长和角度。
2. 指导学生进行模仿实践，自主解决一些简单的韦达定理问题。
练习：1. 分发练习题，包括计算三角形边长和角度的各种情况。
2. 引导学生在小组内讨论解题思路，并互相检查答案。
拓展：1. 提供一些复杂的韦达定理问题，鼓励学生进行深入思考和解决。
2. 鼓励学生在解题过程中进行逻辑推理和问题分析，培养其问题解决能力。
总结：1. 总结韦达定理的定义和应用，并强调其在几何问题中的重要性。
2. 鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，如测量建筑物高度等。
作业：1. 布置相关的作业题目，巩固学生对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生在作业中提出自己的问题，并积极探索解决方法。
教学反思：1. 回顾本节课的教学过程和效果，总结教学中存在的问题和不足。
2. 提出改进措施，并在下一次教学中加以改进。
通过以上教案的设计和实施，学生将能够全面理解韦达定理的概念和应用，并能够运用韦达定理解决各种三角形问题。
同时，通过引导学生进行逻辑思维和问题解决的训练，培养其综合素质和学习能力。
韦达定理教案范文
韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。
韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。
本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。
二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。
三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。
四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。
2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。
3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。
4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。
5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。
五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。
教具：教师课件、习题、实物类比。
六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。
七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。
八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。
在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。
同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。
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教学环节
教师活动
预设学生行为设计Βιβλιοθήκη 图问题引探解下列方程：
2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
尝试发展
根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）
④当a≠0，b2<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生学习活动评价设计
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力
教学反思
1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。
若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
x1=，x2=。
则
x1+x2= + =；
x1x2= ·
此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。
这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。
探索发现
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2<-4ac>可判定根的情况；
④当a≠0，b2<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。
教学案例
基本信息
题目
一元二次方程根与系数的关系
学科
数学
年级
九年级
教材内容
人教版九年级上册第二十三章第3节：一元二次方程根与系数的关系
个人信息
设计者
姓名
单位
徐跃鉴
江西省万年县石镇中学
教材分析
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。
1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________
（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
教学重点和难点
1、重点：一元二次方程根与系数的关系。
2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。
回顾总结
板书设计
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。
问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b2<-4ac>可判定根的情况；
此试一试、巩固知识
拓展创新
利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。
讨论：解上面问题的思路是什么？
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;
将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
师生共同归纳小结
本课主要研究了什么？
1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。
教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。