积分第二中值定理的证明

上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。 积分第二中值定理：

()f x 在区间[,]a b 上可积，()x ϕ在区间[,]a b 上单调，那么在[,]

a b 上存在内点ξ，使得：

()()(0)()(0)()b

b

a

a

f x x dx a f x dx b f x dx ξξ

ϕϕϕ=++-⎰

⎰⎰

特别的，当()x ϕ在区间[,]a b 两端连续时，有

()()()()()()b

b

a

a

f x x dx a f x dx b f x dx ξξ

ϕϕϕ=+⎰

⎰⎰

积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel 引理。

Abel 引理：数列{}n a 和{}n b ，对于任意的210n n >>，有

2

2

22111

1

1111()()n n n

n

n n n n n n n n n n n n a b

b b a a a b a b -++-==-=-+-∑∑

实际上：

2

1111112221

1111111122222

1111111122111111111211111121()()()...()

()()...()()()...(n n

n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b

b a b b a b b a b b a b b a a b a a b a a a b a b b a a b a a b a --++-=-++++---++++---=-+-++-=-+-+-++-+=-+-+-++∑222222

2

22111111111

)()()n n n n n n n n

n

n n n n n n n a b a a a b b a

a a

b a b ++++-=-+-+-+-∑

下面给出Abel 引理的一个理解方式，便于记忆。众所周知，积

分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一

个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现异曲同工之处。那么就来回顾一下分部积分的方法：

区间[,]a b 上的连续函数()f x 与()x ϕ，有

()()()()|()()b

b

b a

a

a

f x d x f x x x df x ϕϕϕ=-⎰

⎰

再看上面的Abel 引理，n a 对应()f x ，n b 对应()x ϕ，符号21

n n n =∑对应b

a

⎰

，()d x ϕ对应1n n b b --，()df x 对应1n n a a +-，最后你会发现上面

的Abel 引理就对应了分部积分的这种形式。我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel 引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。

用T 表示区间[,]a b 上的一个划分012,,...n x x x x ， T l 表示划分的最大长度，接下来设()x ϕ非负且单调不增。将得到：

1

1

()()()()k

k n

x b

k

x a

k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰

⎰，其中1k k k x x ξ-≤≤。用μ表示

|()|

f x 在区间

[,]

a b 的上确界，令

1

1

()()()()k

k n

b

x k a

x k f x x dx f x dx ϕϕξ-=∆=-∑⎰⎰

，则：

1

1111

|||[()()]()|

[()()]()

[()()]

k

k n

x k x k n

k k k k k T x f x dx x x x x l a b ϕξϕϕϕμμϕϕ-=--=∆=-≤--≤-∑⎰

∑

因为0T l →，则0∆→，即1

1

()()()()k

k n

x b

k x a

k f x dx f x x dx ϕξϕ-=→∑⎰

⎰。

下面将用Abel 引理变换上面的式子：

令()k

x k a

A f x dx =⎰，(0,1,2,..,)k n =，那么，

1

111

111

()()()()

[()()]()

k

k n

n

x k

k k k x k k n k k k n n k f x dx A A A A ϕξϕξϕξϕξϕξ--==-+==-=-+∑∑⎰

∑

分别用M 和m 来表示()x

a

f u du ⎰的在区间[,]a b 的上下确界，显然

有k m A M ≤≤，令1

11

[()()]()n k k k n n k S A A ϕξϕξϕξ-+==-+∑，由于()x ϕ单

调不增且非负，则有：

11()()m S M ϕξϕξ≤≤，当0T l →时，

有1()(0)a ϕξϕ→+，()()b

a

S f x x dx ϕ→⎰，不等式可写为：

(0)()()(0)b a

m a f x x dx M a ϕϕϕ+≤≤+⎰，根据()x

a

f u du ⎰的连续性，

区间[,]a b 存在内点ξ，使得()()(0)()b a

a

f x x dx a f x dx ξ

ϕϕ=+⎰⎰。

如果()x ϕ非负且单调不减，令x b y =-，则，

()()()()(0)()(0)()b

b a

a

b b f x x dx f b y b y dy b f b y dy

b f x dx

ξ

η

ϕϕϕϕ--=--=--=-⎰

⎰

⎰⎰

其中a b b ξη<=-<，因此()()(0)()b

b

a

f x x dx b f x dx ξ

ϕϕ=-⎰⎰，

综合可得，当()x ϕ在区间[,]a b 上单调，积分第二中值定理可表述为：()()(0)()(0)()b

b

a

a

f x x dx a f x dx b f x dx ξξ

ϕϕϕ=++-⎰⎰⎰。

特别地，若()x ϕ在区间[,]a b 上单调且连续，则

()()()()()()b

b

a

a

f x x dx a f x dx b f x dx ξξ

ϕϕϕ=+⎰

⎰⎰

这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。